高二数学不等式证明二人教版知识精讲

高二数学高二数学不等式证明二不等式证明二人教版人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 不等式证明二 二. 重点、难点解析： 不等式的其它证明方法 1. 反证法 （1）作出与命题结论相反的假设 （2）在假设的基础上，经过合理的推理，导出矛盾 （3）肯定命题的正确性 2. 放缩法 利用不等式的传递性，适当放缩，对正分数常用分子变大，整体变大，分母变 大整体变小，进行放缩。 3. 函数法 构造函数，利用函数单调性得到不等式。 4. 换元法 在已知出现1 22 yx，1 22 yx时，经常采用三角代换。 5. 判别式法 构造二次函数，或将不等式整理为二次函数，利用判别式，得到不等式。 【典型例题】 例 1 已知a、b、c（0，1），求证：ba)1 ( ，cb)1 ( ，ac)1 ( ，不能均 大于 4 1 。 证明： 假设ba )1 (，cb )1 (，ac )1 (均大于 4 1 )1 (a，b均为正 2 1 4 1 )1 ( 2 )1 ( ba ba 同理 2 1 4 1 )1 ( 2 )1 ( cb cb 2 1 2 )1 ( ac 2 1 2 1 2 1 2 )1 ( 2 )1 ( 2 )1 ( accbba 2 3 2 3 不正确 假设不成立 原命题正确 例 2 * Nn，求证：12 1 3 1 2 1 1) 11(2n n n。 证明： 反缩法： )1(2 1 221 kk kkkkk )1(2 1 221 kk kkkkk )1(2)23(2) 12(21 1 2 1 1nn n 12n )1(2)23(2) 12(2 1 2 1 1nn n ) 11(2n 例 3 a、Rb，求证： 36 5 136 6 2 1 b b a a 。 证明： 函数法：左 16 6 6 1 16 6 )1(2 1 22 a a a a 12 1 12 1 6 1 6 1 6 1 6 1 1 1 a a 右 12 1 12 1 ) 2 3 ( 3 1 6 5 3 2 2 bb b 左 12 1 右 例 4 1a，1b，求证：1)1)(1 ( 22 baab。 证明： 令sina 2 k k sinb 2 k k 左coscossinsincoscossinsin 1)cos( 1)1)(1 ( 22 baab 例 5 A、B、C 为ABC的内角，x、y、z 为任意实数，求证： Ayzzyxcos2 222 CxyBxzcos2cos2。 证明： 构造函数，判别式法 令)cos2cos2cos2()( 222 CxyBxzAyzzyxxf )cos2()coscos(2 222 AyzzyCyBzxx 为开口向上的抛物线 )cos2(4)coscos(4 222 AyzzyCyBz )cos2coscos2sinsin(4 2222 AyzCByzCyBz )sinsincos(cos2coscos2sinsin 4 2222 CBCByzCByzCyBz sinsin2sinsin 4 2222 CByzCyBz 0)cossin(4 2 CyBz 无论y、z 为何值，0 Rx 0)(xf 命题真 例 6 a、b、Rc，0cba，0cabcab，0cba，求证：a、 b、c均为正数。 证明： 反证法：假设a、b、c不均为正数 又 0cba a、b、c两负 一正 不妨设0a，0b，0c 又 0cba 0)(bac 同乘以)(ba 2 )()(babac 即0)( 22 babaabbcac，与已知0cabcab矛盾 假设不成立 a、b、c均为正数 例 7 求证：)()()( 22223222 zxyzxyzyxzyxzyx。 证明： zxyzxyzyxzyx222)( 2222 设pzyx qzxyzxy 原不等式为： 22232 )2()2(qqppqp 左右)96()8126( 224632246 qpqppqqpqpp 2)2(3)83(83 2222322 qqpqqpqqqp )(2)(3 2222 zxyzxyzyxq 0)()()()( 2222222 xzzyyxzyxq 【模拟试题】 1. x、y（0，）且4 yx，则下列各式恒成立的是（ ） A. 4 11 yx B. 1 11 yx C. 2 yx D. 1 1 xy 2. ba（0，）则)()( 11 kkkk babaab的符号为（ ） A. 恒正 B. 恒负 C. 与a、b有关 D. 与k奇偶有关 3. x、y（0，+）， yx yx a 1 ， y y x x b 11 ，则a、b关系为 。 4. a、Rb，32 ba，则 ba2 22 的最小值为 。 5. a、b、c、d（0，）， cad d bdc c acb b dba a S ，求证：21 S。 6. 求证：1 122 32 4 2 2 xx xx 7. 求证：7 43 43 7 1 2 2 xx xx 8. 1 a， n aa 2 （0，），求证对任意 * Nn 2 21 )( n aaa 2 2 2 1 (aan ) 2 n a。 试题答案 1. B 2. B 3. ba 4. 24 5. 证明： 0,dcba cad d bdc c acb b dba a S 1 dcba d dcba c dcba b dcba a cad d bdc c acb b dba a S 2 dc d dc c ba b ba a 6. 证明： Rx0122 2 xx 原不等式 4 122 32 1 122 32 2 2 2 2 xx xx xx xx ) 122(432 12232 22 22 xxxx xxxx 0) 13(169 0)2(44 22 22 xxx xxx 显然成立 7. 证明： 设)( 43 43 2 xf xx xx y 0x 0y 由)(xfy 得 044)33() 1( 2 yxyxy 1y时，Rx 0)44)(1(4)33( 2 yyy 7