（课堂设计）2020高中数学 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4

3.2简单的三角恒等变换自主学习 知识梳理1半角公式(1)S：sin _；(2)C：cos _；(3)T：tan _(有理形式)2辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，cos _，sin _其中称为辅助角，它的终边所在象限由_决定 自主探究1试用cos 表示sin2、cos2、tan2.2证明：tan .对点讲练知识点一半角公式的应用例1已知sin ，且3，求cos 和tan 的值回顾归纳在运用半角公式时，要注意根号前符号的选取，不能确定时，根号前应保持正、负两个符号变式训练1已知为钝角，为锐角，且sin ，sin ，求cos .知识点二利用辅助角公式研究函数性质例2已知函数f(x)sin2sin2 (xR)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合回顾归纳研究形如f(x)asin2xbsin xcos xccos2x的性质时，先化成f(x)Asin(x)B的形式后，再解答这是一个基本题型，许多题目化简后都化归为该题型变式训练2已知函数f(x)sin(x)sincos xa(aR)(1)求函数yf(x)的单调增区间；(2)若函数f(x)在上的最大值与最小值的和为，求实数a的值知识点三三角函数在实际问题中的应用例3如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积回顾归纳利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围变式训练3某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图所示)1学习三角恒等变换，不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要立足于在推导过程中记忆和运用公式2形如f(x)asin xbcos x，运用辅助角公式熟练化为一个角的一个三角函数的形式，即f(x)sin(x) (由sin ，cos 确定)进而研究函数f(x)性质如f(x)sin xcos xsin，f(x)sin xcos x2sin等.课时作业一、选择题1已知180360，则cos 的值等于()A B. C D. 2如果|cos |，bc BabcCacb Dbc0)的定义域为，值域为5,4，求常数a，b的值3.2简单的三角恒等变换答案知识梳理1(1) (2) (3) 2.点(a，b)自主探究1解cos cos2sin212sin22sin21cos ，sin2.cos 2cos21，cos2由得：tan2.2证明tan .tan ，同理可证：tan .tan .对点讲练例1解sin ，3.cos .又.cos .tan 2.变式训练1解为钝角，为锐角，sin ，sin .cos ，cos .cos()cos cos sin sin .又，0，0.0.cos .例2解(1)f(x)sin2sin2sin21cos2212sin12sin1，T.(2)当f(x)取得最大值时，sin1，有2x2k，即xk (kZ)，所求x的集合为x|xk，kZ变式训练2解(1)f(x)sinsincos xasin xcos xa2sina，解不等式2kx2k(kZ)，得yf(x)的单调增区间是(kZ)(2)当x时，x，sin，f(x)的值域是a,2a故(a)(2a)，即a1.例3解在直角三角形OBC中，OBcos ，BCsin .在直角三角形OAD中，tan 60.OADABCsin ，ABOBOAcos sin 设矩形ABCD的面积为S，则SABBCsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin.由于0，所以2，所以当2，即时，S最大.因此，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.变式训练3解如图所示，连OC，设COB，则0，OC1.ABOBOAcos ADcos sin ，S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2sin cos (1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)cos当20，即时，Smax(m2)，割出的长方形桌面的最大面积为(m2)课时作业1C2.C3C由题可得asin 24，bsin 26，csin 25，所以acb.4Df(x)2sin，f(x)的单调递增区间为 (kZ)，令k0得增区间为.5Bf(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin.T.6.解析(1)ycos xcoscos xcos xcos sin xsin cos xsin xcos.当cos1时，y有最大值.7解析3sin xcos x22sin.8解析由2，a3，f(x)sin 2xcos 2x2sin，T.9解(1)由题意知，f(x)sin xcos xcos 2xsin(2