高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 破解抛物线问题五法素材 北师大版选修2-1_第1页
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文档简介

破解抛物线问题“五法”1、定义法抛物线是一种重要的圆锥曲线，解题中活用它的定义，常常能收到事半功倍之效.例1 动点P到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求动点P的轨迹方程.解析：此问题的条件可转化为“动点P到定点F(4,0)和它到定直线x=-4的距离相等”.由抛物线的定义可知, 动点P的轨迹是以F(4，0)为焦点、定直线x=-4为准线的抛物线. 显然, 动点P的轨迹方程是2、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是抛物线问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题.例2 设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA与OB的数量积为（ ）A. B. C.3 D.3解析：对动直线AB，取其垂直于x轴的特殊位置，即线段AB为抛物线的通径(如图1). 由于焦点F的坐标为，则A、ABxOyFB，于是OA . OB= .=根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案B正确. (图1)3、巧设方程确定抛物线的方程是一类重要的题型，在许多情况下，若恪守常规，不但过程繁琐，运算量大，对于有些问题甚至还可能陷入困境若能根据题目的特点，采用相应的设法，则可达到避繁就简的目的例3抛物线的顶点为原点，焦点在轴上，且被直线所截的弦长为，求此抛物线的方程解：设抛物线的方程为（，则有，消去得，设弦的端点为，则，由弦长公式得，即，解得或所以所求抛物线方程为或.4、整体相减法涉及到抛物线上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足抛物线的方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题.例4求抛物线中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解析：设斜率为2的平行弦（动弦）的两个端点A、B的坐标分别为，中点M的坐标为. 则.两式整体相减得，. 显然. 而, 联立与解得， 因此抛物线中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是.5、向量法由于平面向量在直角坐标系下可以用坐标表示，这就为用向量法处理抛物线问题提供了可能性. 对于某些抛物线问题，若能活用平面向量知识求解，往往十分简捷, 给人以耳目一新之感.xyAB例5 A(x1, y1), B(x2, y2)是抛物线x2=2py(p0)上的两点，且OAOB(O为原点). 求证：x1x2=4p2，y1y2 = 4p2.证明：如图2，x12= 2py1, x22= 2py2,y1= , y2= . oOA=(x1,y1)=(x1, ), OB=(x2, y2)=(x2, ). (图2)OAOB，OAOB=0，即 x1x2+(x1x2)2=0, 而x1x20，x1x2= 4p2. 进而y1y2=(x1x2)2=4p2.以上介绍了
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