“错误”在初中数学教学中的价值

“错误”在初中数学教学中的价值【摘要】初中生学习数学会不可避免地出现错误.学生的错误是学生认知过程的重要组成部分，也是一种值得利用的教育资源.错误在初中数学教学中有其重要的价值：以错显正，可以使学生对知识有深刻的理解；以错攻错，可以使学生掌握元认知监控策略；因才施教，可以使学生从错误中找回信心.【关键词】错误；初中数学；教学；价值在教学中，教师通常传授科学的知识和讲解正确的方法，但是教师也经常不可避免地要面对学生的错误.初中的教学对象是身心发展尚未成熟的青少年，这个年龄的心理特点决定了他们常会产生理解错误或解题错误.事实上，错误并不可怕.学生所犯的错误及其对错误的认识，都是学生认知的重要组成部分.学生作出错解，从知识与技能掌握的角度来说，他失败了；但是，他因为对数学活动的参与而获得了一种体验，尝试用已有的知识和经验解决问题，从这个角度来说，他是有收获的.教师应当把错误看成是学生在学习中自然存在的现象，把错误看成认识学生思维规律的重要手段.另外，从教学角度来看，错误本身也是一种值得利用的教育资源.一方面，行为心理学知识告诉我们，把“错误”作为反面材料，通过警示、否定、修正等方式刺激，可以达到强化学习的目的，这种刺激的“加强”效果也尤为明显.另一方面，针对学生的错误，引导学生自主反思、客观分析、总结经验，不仅可以让学生日后减少出错，而且能帮助学生掌握有效的学习策略.一、以错显正，可以使学生对知识有深刻的理解教学实践表明，教师把“错误”展现出来，引导学生共同探讨导致错误的原因，有利于活跃课堂气氛和提高学生的学习兴趣.教师对“错误”的点评，可以加深学生对知识的理解和记忆，警惕易犯的错误.（一）利用错误，讲清本质初中生的抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持，在概念教学中展示错例，可以丰富学生的感性经验，教师进一步引导学生分析这些错误，可以起到突出概念的本质特征的作用，使学生比较迅速准确地掌握概念.例如，学习对顶角这个知识的时候，学生对“对顶角的判断”经常出错，以为图1-1至图1-3中的1和2是对顶角.这时教师借助这几个错例来讲解.提问：“这两个角有没有公共顶点？是不是由两条直线相交构成？”通过错例，概念的学习有了形象的依托，学生更容易从具体图例当中提炼和记忆对顶角的本质属性.（二）通过对比，防止混淆随着教学的推进，学习内容的增多，学生容易发生混乱错误.在教学中，可以通过对比来防止学生混淆.对比，既可以把同一道题的正误解法进行比较，也可以把学生混淆的两个题型进行类比.例如，学生学了分式方程后，常常与分式化简题混淆.教师展示了错解，还要讲解正确解法，在对比之中让学生找出解题错误的步骤.接着，教师可以针对学生混乱致错的原因，设计一道分式方程的题目进行对比，通过对比，学生明白了错因，同时又知道了两种题型的解法的区别与联系，既能防止错误再次发生，又达到了深刻理解解法的目的.二、以错攻错，可以使学生掌握元认知监控策略元认知监控策略，是指学生对自己学习过程的有效监视和控制.监控策略使学习者警觉自己在注意和理解方面可能出现的问题，以便找出来，并加以修改.以错攻错，就是指教师要利用错误来培养学生的元认知监控策略，使其在解题过程能够自我监控、在解题之后能够进行反思，及时调整问题解决的方法，避免出错.（一）在错误中学会提问利用错误来培养学生的元认知监控策略，首先要培养学生自我提问的能力.教师在题目评讲时，示范性地对错解进行自我提问，引导学生发现错误然后找到正确解法.教师可事先制订一个体现思考程序的“问题单”，分三步进行自我提问.第一步，属于问题表征类：题目说什么，求什么？有什么数量关系？第二步，属于解题方法类：以前有没有做过类似题目？怎样求，什么方法？第三步，属于思维方式类：我进行双向推理了吗？我注意发散思维和集中思维了吗？例2甲乙两根蜡烛燃烧时剩余部分高度y（cm）与燃烧时间x（h）之间的关系如图2所示，分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式错解设y=kx+b，把（2，30）和（2.5，25）代入得30=2k+b，25=2.5k+b，解得k=-10，b=50.所以，y=-10x+50.问：题目求什么？谁的？多少个？答：求函数关系式，甲的乙的，两两个！怎么才求出一个，哦，可能错了.问：求函数关系式的方法是什么？答：待定系数法，找两个点的坐标代入.问：求一个函数关系式需要多少个点的坐标？两个函数关系式呢？答：求一个函数关系式需要两个点的坐标.两个函数关系式对啊，怎么才两个点的坐标？哦！我明白错在哪里了！类似于上述过程，经过自我提问和回答，多数学生能意识到解题的错误.教师对错解进行自我提问示范，目的是培养学生形成自我提问的习惯.当自我提问成为一种稳定的能力时，学生就掌握了初步的元认知监控策略.（二）在错误中学会反思作为初中数学教师，不能无视学习者的己有经验，特别是错误的经验.教师要想办法让学生经历发现错误的过程，反思错误的原因，然后寻找解决问题的办法.例3如图3，四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别是3，4，13，12，CBA=90，求S四边形ABCD.错解S四边形ABCD=（3+13）42=32.正解：连接AC，CBA=90，AB=3，BC=4，AC=5，CD=13，DA=12，AC=5，CAD=90.S四边形ABCD=SABC+SADC=342+5122=36.教师若直接给出上述解法，学生可能仍不明白做错的原因，无法吸取教训.事实上，当学生出现上述错误时，教师可以让学生先按题目所述的数据画图，让学生发现题目中的四边形ABCD并不是自己主观认为的梯形，犯了“添加条件”的错误，此时教师不失时机地引导学生反思：题目没有说到的条件不能擅自添加；题目说了的条件不可能无需用到.这时学生才意识到题目并没有说四边形ABCD是梯形，而条件“DA=12”却被丢在一边.教师趁热打铁：不规则图形求面积还有什么办法？学生恍然大悟：分割法，我懂了！所以说，教师要懂得利用学生的错误来让学生学会反思.只有学生自己意识到错误之后，他们才能从根本上改正错误，也才能在以后处理类似的问题时否定以前的解法，而把正确的解法作正迁移，从而提高解题能力.三、因才施教，可以使学生从错误中找回信心没有学生愿意主动出错，面对自己的错误解答，他们心理上也有压力.学生渴望得到尊重，他们敏锐地感受着教师言行的点点滴滴.教师应做到具体问题具体分析，针对个体差异区别对待，并且教会学生积极地面对挫折，在错误中找回信心.（一）善意批评与严格要求相结合“错误”有一定的教学价值，但并不意味着教师可以放任学生犯错.教师要对学生的“小错误”给予足够的重视，弄清楚该错误是“新病”或是“顽疾”.对首次犯错的学生，可以在评讲时指明致错的原因，暴露产生错误的思维过程；对同一错误一犯再犯的学生，除了强调正确解法之外，还应该对这名学生给予善意的批评.例4如图4，O是ABC内一点，AO平分BAC，1=2.求证：AB=AC.错证一AO平分BAC，BAO=CAO.1=2，BO=CO.又AO=AO，BAOCAO，AB=AC.该题的证明错误在于学生错把SSA当作SAS来用了.如果学生一直认为SSA能证明全等，教师对出现这种知识性错误的学生理应批评提醒和严格要求，杜绝再错；如果学生知道SSA并不能证明全等，是因为想不出证法而不得不“错证”出来，教师则应当和学生作适当的交流，提出要认真思考问题、不能马虎对待数学的要求.（二）个别辅导与肯定鼓励相结合有的学生因为思维定式出错，有的学生因为情绪焦虑出错，有的学生因为问题表征困难出错，等等.教师可以找学生谈心，分析致错的心理因素，进一步培养学生战胜困难的勇气和决心.例如上述例4，有的学生证明如下：错证二：如图5，作ODBC，垂足为D1=2，BO=CO，即OBC是等腰三角形.ODBC，BD=CD.在ABD和ACD中，BD=CD，BDA=CDA=90，AD=AD，ABDACD，从而AB=AC.显然，出现上述错误的学生没有意识到作ODBC后，点A，O，D不一定在同一条直线上，从而证明失败.但是该学生作了辅助线，说明他对题目的思考已经较为充分，属于思维活跃、敢于尝试的学生.教师一方面要肯定他不怕困难勇于尝试的精神，另一方面，教师还要引导他查找错误，促使其全面思考，鼓励他再作尝试.学生很快找到了正确的辅助线的作法：作OMAB，ONAC即可完成证明.总之，错误是伴随学习过程的常见现象，错误不等于失败.对学生而言，错误增加了他数学经验的积累.对教师而言，学生的错误使老师更好地了解到学生头脑中的想法，在教学中能及时作出有针对性的调整.如果学生能在教师的支持下，尝试按照自己的想法解释错误，他就有机会整理自己的观点，并检查自己思维过程的合理性