（课堂设计）2020高中数学 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教A版必修4

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义自主学习 知识梳理1平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量_叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角(2)规定：零向量与任一向量的数量积为_(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是_，向量b在a方向上的投影是_2数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3向量数量积的运算律(1)ab_(交换律)；(2)(a)b_(结合律)；(3)(ab)c_(分配律) 自主探究根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(1)ab_；(2)当a与b同向时，ab_，当a与b反向时，ab_；(3)aa_或|a|；(4)cos _；(5)|ab|_.对点讲练知识点一求两向量的数量积例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积回顾归纳求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，180；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去变式训练1已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).知识点二求向量的模长例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.回顾归纳此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方变式训练2已知|a|b|1，|3a2b|3，求|3ab|.知识点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角回顾归纳求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，变式训练3已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2数量积对结合律一般不成立，因为(ab)c|a|b|cosa，bc是一个与c共线的向量，而(ac)b|a|c|cosa，cb是一个与b共线的向量，两者一般不同3向量b在a上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于角，注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分.课时作业一、选择题1|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()A3 B2 C2 D12已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则等于()A. B C D13在边长为1的等边ABC中，设a，b，c，则abbcca等于()A B0 C. D34设非零向量a、b、c满足|a|b|c|，abc，则a，b等于()A150 B120 C60 D305若向量a与b的夹角为60，|b|4，(a2b)(a3b)72，则向量a的模为()A2 B4 C6 D12二、填空题6已知向量a，b且|a|5，|b|3，|ab|7，则ab_.7已知向量a与b的夹角为120，且|a|b|4，那么b(2ab)的值为_8已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b(ab)0，则|b|的取值范围是_三、解答题9已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积10已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的投影2.4平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义答案知识梳理1(1)|a|b|cos (2)0(3)|a|cos |b|cos 2|b|cos 3(1)ba(2)(ab)a(b)(3)acbc自主探究(1)ab0(2)|a|b|a|b|(3)|a|2(4)(5)|a|b|对点讲练例1解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.变式训练1解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120.|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.例2解ab|a|b|cos 55.|ab| 5.|ab| 5.变式训练2解由|3a2b|3，得9|a|212ab4|b|29，|a|b|1，ab，|3ab|2.例3解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.变式训练3解要想(kab)(a2b)，则需(kab)(a2b)0，即k|a|2(2k1)ab2|b|20，52k(2k1)54cos 602420，解得k，即当k时，向量kab与a2b垂直课时作业1Da在b方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.2A(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180.3Aab|cos 60.同理bc，ca，abbcca.4Babc，|c|2|ab|2a22abb2.又|a|b|c|，2abb2，即2|a|b|cosa，b|b|2.cosa，b，a，b120.5Cab|a|b|cos 602|a|，(a2b)(a3b)|a|26|b|2ab|a|22|a|9672.|a|6.6解析|ab|2|a|22ab|b|249，ab.70解析b(2ab)2ab|b|2244cos 120420.80,1解析b(ab)ab|b|2|a|b|cos |b|20，a是单位向量，|a|1，|b|a|cos cos (为a与b的夹角)，0，0|b|1.9解(1)当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角0，ab|a|b|cos 43cos 012.若a与b反向，则a与b的夹角为180，ab|a|b|cos 18043(1)12.(2)当ab时，向量a与b的夹角为90，a