西城区2016届高三一模数学（理）试题

北京市西城区2016年高三一模试卷 数 学（理科） 2016.4第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合，集合，则（ ） （A） （B） （C）（D）2. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，则曲线C是（ ） （A）关于轴对称的图形 （B）关于轴对称的图形 （C）关于原点对称的图形 （D）关于直线对称的图形 3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） （A） （B） （C） （D）4. 在平面直角坐标系中，向量(1, 2)，(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，则（ ） （A）输出是否 输入A,开始结束（B） （C）（D）5. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0, 1， 则输出的（ ）（A）4（B）16（C）27（D）366. 设，则“”是“”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件Oxy7. 设函数（，是常数，），且函数的部分图象如图所示，则有（ ） （A） （B） （C） （D）BB1CDC1D1A1A8. 如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱,上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为V，设，对于函数，则（ ） （A）当时，函数取到最大值 （B）函数在上是减函数 （C）函数的图象关于直线对称 （D）存在，使得（其中为四面体的体积）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则_.侧(左)视图正(主)视图俯视图2210已知等差数列的公差， ，则_；记的前项和为，则的最小值为_.11若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_；双曲线C的渐近线方程是_.12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是_.13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A, B, C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A, B项目，乙不能参加B, C项目，那么共有_种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）sB14. 一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系DssCsAs （图1） （图2）根据图1，有以下四个说法： 在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加； 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km； 大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； 在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹.其中，所有正确说法的序号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设，.（）若，求的值；（）求的值.16（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.O 体育成绩 45 55 65 75 85 95u142uuuuuuuuu4121068各分数段人数（）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；（）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；（）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，三组中，其中当数据的方差最小时，写出的值.（结论不要求证明）（注：，其中为数据的平均数）17（本小题满分14分）如图，四边形是梯形，四边形为矩形，已知，.（）求证：平面；（）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；ABCDD1C1（）设为线段上的一个动点（端点除外），判断直线与直线能否垂直？并说明理由.18（本小题满分13分）已知函数，且. （）求的值及的单调区间； （）若关于x的方程存在两不相等个正实数根，证明：19（本小题满分14分）已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.（）求椭圆的方程和离心率；（）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在y轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.20（本小题满分13分）设数列和的项数均为m，则将数列和的距离定义为.（）给出数列和数列的距离； （）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为A中的两个元素，且项数均为m，若， 和的距离小于，求m的最大值；（）记是所有7项数列或的集合，且中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准 高三数学（理科） 2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1C 2A 3B 4B 5D 6A 7D 8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 11 12 1321 14注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：因为 ， 由正弦定理 ， 得 . 3分 由余弦定理 及， 5分 得 ， 所以 ， 解得 . 7分（）解：由，得. 所以 . 8分 即， 11分 所以， 所以. 13分16（本小题满分13分）（）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. 4分 （）解：设 “至少有1人体育成绩在”为事件， 5分由题意，得， 因此至少有1人体育成绩在的概率是. 9分 （）解：, , 的值分别是为, , ；或, , . 13分17（本小题满分14分）（）证明：由为矩形，得，又因为平面，平面，所以平面， 2分同理平面，又因为，所以平面平面, 3分又因为平面，所以平面. 4分（）解：由平面中，得，又因为，所以平面，所以，又因为四边形为矩形，且底面中与相交一点，所以平面，因为，所以平面.过在底面中作，所以两两垂直，以分别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， 6分则，所以,.ABCDD1C1P yxz设平面的一个法向量为， 由，得 令，得. 8分易得平面的法向量. 所以.即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 10分（）结论：直线与不可能垂直. 11分证明：设，由， 得， . 12分 若，则，即， 因为， 所以，解得，这与矛盾. 所以直线与不可能垂直. 14分18.（本小题满分13分）（）解：对求导，得， 2分 所以，解得. 3分 故，. 令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：00所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 5分（）解：方程，即为， 设函数. 6分 求导，得 由，解得，或. 7分 所以当变化时，与的变化情况如下表所示：0 所以函数在单调递减，在上单调递增. 9分 由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根）， 因为函数在单调递减，且， 所以. 11分 同理根据函数在上单调递增，且， 可得， 所以， 即 . 13分19（本小题满分14分）（）解：由题意，椭圆C：， 1分 所以， 故，解得， 所以椭圆的方程为. 3分因为， 所以离心率. 5分（）解：设线段的中点为， 因为，所以， 7分 由题意，直线的斜率存在，设点， 则点的坐标为， 且直线的斜率， 8分 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为：. 10分 令，得，则， 由，得， 化简，得. 11分 所以四边形的面积 12分 . 当且仅当，即时等号成立. 所以四边形面积的最小值为. 14分 20（本小题满分13分）（）解：由题意，数列和数列的距离为7. 2分（）解：设，其中，且. 由，得， 所以， 因此A中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. 4分 所以中，（）， 所以中，（）. 5分 由，得项数m越大，数列和的距离越大. 由， 6分 得. 所以当时，. 故m的最大值为. 8分（）证明：假设中的元素个数大于或等于17个. 因为数列中，或， 所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，. 那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的. 10分 设这三个数