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核心素养测评六十二 圆锥曲线的范围问题1. 已知抛物线c:x2=2py(p0)上一点m(m,9)到其焦点f的距离为10.(1)求抛物线c的方程.(2)设过焦点f的直线l与抛物线c交于a,b两点,且抛物线在a,b两点处的切线分别交x轴于p,q两点,求|ap|bq|的取值范围.【解析】(1)已知m(m,9)到焦点f的距离为10,则点m到准线的距离为10.因为抛物线的准线为y=-p2,所以9+p2=10,解得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,因为f(0,1),则l:y=kx+1.设ax1,x124,bx2,x224,由y=kx+1x2=4y消去y得,x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由于抛物线c也是函数y=14x2的图像,且y=12x,则pa:y-x124=12x1(x-x1).令y=0,解得x=12x1,所以p12x1,0,从而|ap|=14x12(4+x12).同理可得|bq|=14x22(4+x22),所以|ap|bq|=116(x1x2)2(4+x12)(4+x22)=116(x1x2)216+4(x12+x22)+(x1x2)2=21+k2.因为k20,所以|ap|bq|的取值范围为2,+).2.已知椭圆c1,抛物线c2的焦点均在x轴上,c1的中心和c2的顶点均为原点o,从每条曲线上各取两个点,其坐标分别是(3,-23),(-2,0),(4,-4),2,22.(1)求c1,c2的标准方程.(2)过点m(0,2)的直线l与椭圆c1交于不同的两点a,b,且aob为钝角(其中o为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.【解析】(1)由题意,抛物线的顶点为原点,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),所以点(-2,0)一定在椭圆上,且a=2,则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于2,所以2,22也在椭圆上,24+222b2=1,b2=1,故椭圆标准方程为x24+y2=1,所以点(3,-23)、(4,-4)在抛物线上,且抛物线开口向右,设其方程为y2=2px(p0),12=6p,p=2,所以方程为y2=4x.(2)当直线l斜率不存在时,易知a,o,b三点共线,不符合题意.当l斜率存在时,设l:y=kx+2,a(x1,x2),b(x2,y2),x2+4y2-4=0,y=kx+2,x2+4(kx+2)2-4=0,(4k2+1)x2+16kx+12=0,令=(16k)2-48(4k2+1)0,256k2-192k2-480,64k248,k32,=(x1,y1),=(x2,y2),x1+x2=-16k4k2+1,x1x2=124k2+1,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=12k24k2+1-32k24k2+1+16
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