《向量空间》PPT课件.ppt

第四章第一节n维向量,高等代数,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、维向量的概念,例如,二、维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,向量,三、向量空间,空间,叫做维向量空间,时，维向量没有直观的几何形象,叫做维向量空间中的维超平面,确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,课堂讨论,在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明,向量的表示方法：行向量与列向量；,向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；,向量在生产实践与科学研究中的广泛应用,四、小结,维向量的概念，实向量、复向量；,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,思考题,如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,思考题解答,答36维的,结束,第二节向量组的线性相关性,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,向量组,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量能由向量组线性表示,定理1,定义,从而,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关,定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示,证明,充分性,设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.,即有,三、线性相关性的判定,故,因这个数不全为0，,故线性相关.,必要性,设线性相关，,则有不全为0的数使,因中至少有一个不为0，,不妨设则有,即能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理2,下面举例说明定理的应用.,证明（略）,解,例,解,例,分析,证,定理3,证明,说明,说明,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）,四、小结,思考题,证明（）、（）略,（）充分性,必要性,思考题解答,结束,第三节向量组的秩,定义,一、最大线性无关向量组,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,结论,说明,事实上,定理,三、向量组秩的重要结论,推论1,推论2,思考,证一,证二,注意,最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性,矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论,求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,比较教材例7的证法一、二、三，并总结这类题的证法,思考题,证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；,思考题解答,证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价”这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；,证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组的最大线性无关组等价这一结论,结束,第四节向量空间,说明,2维向量的集合是一个向量空间,记作.,一、向量空间的概念,定义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间,1集合对于加法及乘数两种运算封闭指,例2判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,定义2设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间,实例,二、子空间,设是由维向量所组成的向量空间，,三、向量空间的基与维数,定义3设是向量空间，如果个向量，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为,（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.,向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法,四、小结,思考题,思考题解答,结束,第五节线性方程组解的结构,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若为的解，为实数，则也是的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对取下列组数：,依次得,从而求得原方程组的个解：,下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基,所以个维向量亦线性无关.,由于是的解故也是的解.,所以是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若是的基础解系，则其通解为,定理1,解,对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有,例2解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组有解等价的命题,线性方程组有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例4求解方程组,解,解,例5求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解