傅里叶级数通俗解析

傅里叶级数本文旨在阐述傅里叶级数是什么，在数学上如何导出，傅里叶级数表示的物理意义。1 .完整的正交函数集要研究傅里叶级数，首先要研究正交函数集。 当n个函数1t、2t、和nt构成一个函数集时，在区间t1、t2中填充这些函数t1t2itjtdt=0，ij Ki，i=j (1)在多集合的情况下，正交条件为t1t2itj*tdt=0，ij Ki，i=j (2)j*t是函数jt的共轭复函数。从该定义可以证明若干函数集合是完整的正交函数集合。 例如，三角函数集和复指数函数集是一个周期中完整的正交函数集。首先证明一组三角函数使nt=cosnt、mt=cosmt，将nt、mt代入(1)中而得到t0t0titjtdt=t0t0tcosmtbtnm时=12t0t0 Tcosn mt cosn-mt dt=12 sinnmt (nm )sinn-mt (n-m )t0t0t=0 (n，m=1，2，3，nm )n=m时=12t0t0 Tcos2nt dt=T2再证明两者都是正弦设nt=sinnt、mt=sinmt，将nt、mt代入(1)时t0t0titjtdt=t0t0tsnntsinmTDTnm时=12t0t0 Tcosn mt-cosn-mt dt=12 sinnmt (nm )- sinn-mt (n-m )t0t=0 (n，m=1，2，3，nm )n=m时=12t0t0 Tcos2nt dt=T2最后，证明两个是不同名称的三角函数使nt=cosnt、mt=sinmt，将nt、mt代入(1)中而得到t0t0titjtdt=t0t0tcosntsinmTDT=12t0t0 Tsinn mt-sinn-mt dt=12-cos nmt (nm )cosn-mt (n-m )t0t0t=0 (n，m为任意整数)这是因为两个三角函数仅在以上三种情况下相乘。 两个乘以馀弦函数的正弦函数都相乘。一个乘以正弦函数，另一个乘以馀弦函数。三角函数集是正交函数集，因为三种情况都满足正交函数集的定义。 三角函数集合的完整性可由n、m的值为任何整数导出，其中三角函数集合为完整的正交函数集合。 已经证明。由于三角函数集合是完全正交函数集合，所以根据Euler方程式，可容易地联想到复指数函数集合是否也是完全正交函数集合。其次是复指数函数集的证明若设nt=ejnt、mt=ejmt，则j*t=e-jmt是将nt、j*t代入(2)而得到t0t0titj * TDT=t0t0tejnte-JMTDT=t0t0 Tej(n-m)tdtnm时，根据欧拉公式=t0t0 Tcosn-mt jsin(n-m)tdt=sinn-mTN-m- jcos (n-m )TN-mt0t=0 (n，m=1，2，3，nm )n=m时=t0t0 Te0dt=1 (n，m=1，2，3，n=m )因此，复指数函数集合也是正交函数集合。 由于n、m取值的范围为所有整数，所以复指数函数集合是完整的正交函数集合。正在讨论傅里叶级数，为什么第一部分提到了完整的正交函数集？ 因为自然界没有寻找正弦波信号等规则的信号。 杂乱的信号堆，也有不规则的波形。 我们必须研究那个。 基本思想是将其分解成规律的可研究波形，这些波形可以用数学公式正确表示。可以理解，用于分离复杂信号的过程可以准确表示的已知函数(诸如复杂信号fx )来表示。 将其分解后，fx=n11t n22t nnnt中变为1t、1。 的333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 我们的任务是求出分解的函数和前方的系数n，并对其进行研究。 怎么求呢？ 完整的正交函数集为我们提供了方法。 完整的正交函数集类似于空间正交坐标系，集合中的每个元素对应于坐标系的轴，可以发现三个完整的空间正交坐标系，因为仅三个轴和三个轴足以表示空间上所有点的位置，不需要另一个，但是仅仅两个轴无法准确地表示立体空间上的所有点。 为了表示任何一个周期信号，正如可以理解一个函数集合的完整性的，可以用少于该函数集合中的元素的函数来表示它们。 正交性是指，函数集合中的两个不同函数的乘积的积分为0，正交性或者函数集合中的任意两个函数是无关的。由于三角函数集和复指数函数集是完整的正交函数集，因此可以在其中一个函数集中表示周期信号。复杂信号ft由复指数函数集合来表示ft=n11t n22t =n=1nnnt其中，nt=ejnt (n=1，2，3，n )。用三角函数集表示复杂的信号ftft=a0a1cos0 ta2c OS 20 tb1sin0 TB2sin0 t=a0 n=1ancosn0t bnsinn0t这就是三角形式的傅里叶展开公式。2 .傅里叶级数如上所述，如果三角函数集合和复指数函数集合是正交完整函数集合，则信号的分解任务可被简化为在三角函数或复指数函数之前确定系数的问题。 首先探讨三角形式的傅里叶级数满足狄利关系的周期信号ftft=a0a1cos0 ta2c OS 20 tb1sin0 TB2sin0 t=a0 n=1ancosn0t bnsinn0t以此形式，现在求各基函数前面的系数。先求a0。 三角形的傅立叶展开式写作如下ft=a02 n=1ancosn0t bnsinn0t (3)用-、积分上式-ftdt=-a02dt -n=1ANC osn0tb sinn0 TDT=-a02dt 0=a022=a0a0=1-ftdt展开到一般周期时：a0=1-T2T2ftdt求an和bn。 将(3)乘以cos(kt )，并且将cos的两侧分别乘以-和-ftcdoskTDT=A02 -cos (kt ) DTN=1an -cosktcosnTD tbn -cos (kt ) sin (nt ) dt由于三角函数集合是完整的正交函数集合，因此上述方程的右边第一至第三项全部为0的第二项仅有k=n项的积分不为0。 所以呢-ftcdoskTDT=an -cosktcosnTDT=an-cosntcosntdt=an2-1 cos2ntdt=an有an=1-ftcosntdt部署到一般周期：an=1T-T2T2ftcosntdt同样，通过将sin(kt )乘以(3)，能够求出bn=1-ftsinntdt部署到一般周期：bn=1T-T2T2ftsinntdt以上是三角形傅里叶级数的参数导出。复指数形式傅里叶级数其次研究复指数形式傅里叶级数。根据欧拉公式，ejnt=cosnt jsin(nt) (4)e-jnt=cosnt-jsin(nt) (5)(4) (5)/2得分cosnt=12ejnt e-jnt (6)(4)-(5)/2得分sin(nt)=12jejnt-e-jnt (7)使(6)、(7)代(3)。 可以得到复指数形式的傅里叶级数公式ft=a02n=1an12 ehjnte-jntbn 12 jejnt-e-jnt用a0代替a02化简并购ft=a0n=1an-jbn2e jntbanjbn2e-jnt (8)关于(8)式。 其中的参数是an-jbn2和an jbn2另外，Fn=an-jbn2、F-n=an jbn2、F0=a0(8)式ft=-Fnejnt (9)(9)式是傅里叶级数的复指数形式。现在求出Fn，在上式的两侧乘以e-jmt，以1个周期求出积分-f (t ) e-JMTDT=-e-JMt -fne jnTDT=-Fn-ej(n-m)tdtm=n时=-Fn-e0dt=Fn2mn时=-Fn-ej(n-m)tdtEuler展开=-fn-cosn-mtbt-sinn-mtbt三角函数在其周期内将内积分为0=0各复指数项的系数Fn=1-f(t)e-jmtdt扩展到正常循环时Fn=1T-T2T2f(t)e-jmtdt3 .傅里叶级数的物理意义傅立叶级数的重要性不仅可以将复杂的周期信号分解为简单函数的线性迭代，而且更重要的是提供用于分析信号的新方案来研究。 我们绘图的时候，把x轴设为时间轴，我们强行把信号作为时间的函数，对信号随时间的变化进行研究。 因为我们即使使一个信号进一步变化，也难以深入研究，但仅从时间这个角度来看，更难发掘与该信号相关的信息。 然而，当信号被叠加在三角函数上时，可以产生有关信号的信息。 通过叠加的三角函数的，可以将x轴设为x轴并且作为频谱研究叠加有一个信号的不同频率。 通过叠加的三角函数，信号的相位角可以被设为x轴并且被设为相位谱。我只是学习很浅薄，在学习和理解的时候借用了网络照片和文集受到了启发。 我想照一