共轭解析函数为常数的条件

第2卷第5期第2期苏州大学学报第01.25期第2期2010年2月j o u r N a lo fs u z h u N I v e r s I t y f e b 201d o I:10.39 69/j s N 1 6 7 3-2 0 6.2 0.02 0 5共轭金守博1，王艳丽2 (1。安徽省苏州市苏州大学应用数学系23000；2.摘要：首先，给出了共轭解析函数的概念，并给出了共轭解析函数在区域内的充要条件和唯一性定理。然后，利用共轭解析函数的这些特殊性质，从几个不同的方面详细讨论了共轭解析函数为常数的条件。一方面，从共轭导数的定义出发，可以得到当复变函数在该区域的共轭导数为常数时，复变函数在该区域为常数。另一方面，利用共轭解析函数的共轭幂级数展开，分析了共轭解析函数的模为常数时必须满足的条件。此外，证明了如果共轭解析函数的实部和虚部满足一定的关系，则该函数在该区域内也可以是常数。关键词：共轭解析函数；共轭导数。在共轭解析条件下，图形分类号：0174.5文件识别码：A文号：16073-2006 (2100) 020-0014-003共轭解析函数是一种与解析函数对称的复变函数，它可以描述被动场或非旋转场。王，童和分别从不同的角度讨论了共轭解析函数的充要条件，得到了许多有用的结论。这些函数在力学中的应用已在参考文献4中详细介绍。共轭解析函数在一定条件下是常数，这对复变函数的研究具有重要意义。解决力学领域的一些实际问题可以起到简化的作用。本文从不同的正方形平面出发，研究了常数共轭解析函数的条件，得到了一些重要的结论。王在文献1中给出了共轭导数的概念。定义集函数W=，(z)是在该区域中定义的。给自变量z D一个圆柱的增量，做(z A z) D，并计算由自变量引起的函数铷=plant (2)的增量：w-f(z z z z l z)A/(z)，如果它以任何方式接近零！平等的界限是存在的。如果它的值是有限的，它被称为函数W=工厂(z)在点2的共轭导数，它被表示为(z):严1 1 k a l i m朱与一个o趾。然后它被称为函数工厂(2)在点2的共轭可导或共轭可微。如果函数W=工厂(z)在d区是共轭可导的，则/(z)是d区或工厂(2)的共轭解析函数接收日期：2009-09-23基金项目：苏州大学硕士研究启动基金(2008年y月24日)。作者简介：金守博(1898 01)。河南洛阳。讲师。研究方向：应用功能分析。本文的主要结论和证明是设置复变函数工厂(z)-u I v，其中U=u (x，y)和端口-v (x，y)是二进制实函数，f在不同的公式中。代表不同的常数。在参考文献1中，王给出了共轭解析函数的以下等价刻画。引理1:如果函数工厂(z)=U在区域中定义，)，则函数(2)在区域d中共轭分析的充要条件是：(1)偏导数t，U，t，在d中是连续的。(2) u，第二满足在d: u f中的共轭分析条件。当满足上述条件时， 点z-z I y d处的共轭导数可表示为以下形式之一：f t l l (z)=U，i v，=t，i v，I u，I U J=v yy U y2。此外，与解析函数类似，共轭解析函数也具有以下唯一性定理。 引理2 t 1 3(共轭解析函数的唯一性定理)是区域d中的共轭解析函数f(z)等于子区域(或弧)上的f z (2)。它们在d中也是常数。定理3如果函数工厂(2)=区域d中的U i v共轭分析和/(z)d(z)=0中的共轭导数f t l，工厂(z)在d中必须是常数。证明：因为函数工厂(2)是d中的U i v共轭解。因此，利用引理1，我们可以得到：U，=1 t，和U，=t，因为它是函数/(z) 13 (2) a u，i v，a 0的共轭导数工厂。在万芳数据中，U，=0，U，O，7，1，O，端口，=0是已知的共轭分析条件，所以U=C，端口=f。所以/(z)在D中是常数。定理4建立了函数工厂(2)在区域D中的共轭分析，如果有一个点a D，使得工厂名称(n)=o (n=1，2，3，)。证明了由于函数(z)是在点n(2)上共轭分析的，在点a的邻域k: iz-aip (kcd)中，它可以展开成共轭幂级数：factory(2)=factory(port)resin-1(port)西施刹车片表面z.制动器f表面1。因为f t 1(端口)=o (n=1，2，3，)，工厂(2)=工厂(to)，(z K)，然后使用引理2，可以看到/(2)在d中是常数。定理5让函数工厂(Z)在整个Z平面上共轭分析。如果z 0存在，那么当I=I R时，存在I/(2) I M，工厂(2)在整个2平面内是常数。证明了因为函数/(g)在整个2个平面上是共轭解析的，所以共轭幂级数可以用来设置工厂(2)=a o a l 3 a 2 3 a (I z I l，让r a o .可用的吼=O (k-1，2，3，)。因此，当l z l R r时，工厂(z)=a(1 z I-1和正数R，M 0使它i/(2) i mi z i 7。那么工厂(2)在整个z平面上是常数。证明了如果F(名称)是1和1，因为工厂(2)在整个名称平面上有共轭分析并且没有零点，F (z)在整个2平面上有共轭分析。使用已知条件，当1 2ir时，下列公式成立。然后，从定理5获得的工厂(2)在整个2个平面内是常数。定理7设置函数/(2)=“I v共轭分析在区域d，K是一个子区域(或弧)在d，如果有一个二进制实函数F (x，j，)，有一阶偏导数，它使F (u (x，y)，v (x，j，=C为任何意义(z，y) K，和F l (z，y)，v (x，y) 0或F 2 (z，y)，v (x，y) (2)在d中是常数。证明：对于任何(d，y)K K . 7(“(z，y)，v (x，y) 0都有f是不错的，因为函数/。 (z)通过共轭分析条件获得的区域d和u中的共轭分析。一个接一个，t3y U .此外，对于任何意义(t，y) K，都有F (u，u)=C，从而分别得到z和y在两边的导数：F l (，v) u，F 2 (，v) v，=0 F I (Ji v) uy F 2 (，v) v，=0，因为F，7(比率，F)0，所以结合函数的共轭解析条件表明：U，=U，1 0，秒，1t d y=0。因此，对于任何(z，y) K，U=f，和u-f2，so/(2)在K中是常数。此外，因为K是d中的子区域(或弧)，它可以通过求导2获得，并且工厂(z)对于任何(z，y) jd是常数。推导出，如果8设置函数工厂(2)=区域d中的U i v共轭分析和区域d中的u 31，则函数工厂(z)在中必须是常数。证明：F (x，y)到z y的阶。对于任何(z，y) D，都有F (u，t，)，一个u-端口和F(D，j，=1 0，所以二进制实函数F (x，y)满足定理7的条件。因此，在D中，工厂(z)必须是常数。推论9假设函数/(z)=U I V在区域D中是共轭的，并且在D中有U 1端口2，则函数工厂(z)在D中必须是常数。证明了如果F (x，y)=z-y2，对于任何(z，y) D，都有F (u，u)=u-v2-0和F l7 (T，j)，1 0，则二进制实函数F (x，y)定理1 0如果函数/(:)=u I v在区域D中是共轭的，并且它的实部(或虚部)在区域D中是常数，那么/(z)在区域D中是常数.证明了函数的实部=c (当虚部为常数时，证明是相同的)。因为函数/(z)在d中是共轭分析的。因此，从共轭分析的充要条件可以知道U。一个u，一个0，u，=。=0，因此，U=c 1，7 2=C2，这在脚工厂(z)的d中是常数。定理1 1让函数/(2)=u和7(。)a u-a和d区的所有共轭分析，则/(2)在d区是常数。证明了因为函数/(2)=u I v和7 (z)=u I，它们在d区都是共轭分析。因此，我们可以从共轭分析的充要条件中得知： ，= v y. U y=chi和U，=V，u y-u。因此，从上面的公式中，= O y=U，=U，a 0 ， 因此“=f1和u-c 2，所以在d中工厂(z)是常数。定理1 2设置函数/(z)-U i v(下一页1 0 5) 1 5万芳数据以培养学生的创新能力和提高他们的综合素质。 参考文献：1 2徐。高等数学教学改革探索。湖北师范大学学报，2000年6期。(2): 9.6-9.8。2.2方展华。:中国高等教育如何持续发展？中国教育日报，2.08-0.9-2.7 (0.3)。3.2张景中。从数学的困难出发J。世界科学技术研究与发展。(2) 120-29。4教育部高等教育司。深化教育改革培养21世纪高素质人才M。北京：高等教育出版社。1 9 9 8.5高润霞。在高职数学教学中培养学生良好的学习心理。苏州大学学报，2000年8期，23 (1): 1 41-1 42。(续第1 5页)区域D中的共轭分析。如果有一个点a D和一个圆K都包含在D中，则：1 2 a l r和K A :1 2 a I R (r英尺)，因此m(，)是一个M (R)，其中M (r)=m是一个xl (z)I，M (R)=m是一个XL，(2) I，那么，(2)在D F2 a l7r l uu l=R内是常数。证明了如果有，R是M(，)-M (R)，即在122-AI-r中有一点铂=a，使l f (z o) I=弯头(R)，即在内点达到最大模数，并且因为(名称)在d和k内共轭解析。所有都包含在d中，因此是工厂。因此，根据共轭解析函数的最大模原理1，工厂(2)在k-1内是常数，并且可以通过使用引理2来获得，并且工厂(z)在d内是常数。半解析函数和共轭解析函数。北京：北京理工大学出版社，198.8。2佟朱泽，楼郑恺。2复变函数共轭分析的充要条件.徐州工程学院学报。2 000 6 (3): 9 7-10 6。3王海英。复变函数共轭可微的另一个充要条件。吉林樊氏大学学报(自然科学版)，2 000 8 (2): 8 2-8 3。4王.半解析函数和共轭解析函数及其在力学中的应用。力学进展。1 9 9 7，2 7 (2): 2 5 7-2 6 3。(续第1 2页)我们有0 N l (5 1) a iv l(和)N 2(52)a iv 2(52)N l(51)a iv l(51)N 2(52)a iv 2(&)因此，在o，port，I N，(z) n，(f) I summer 0，i=1，2。类似地，在,