解析几何教程+(廖华奎王宝富)+课后习题

第一章 向量代数 习题 1.1 1.试证向量加法的结合律，即对任意向量, , , , ,a b ca b ca b ca b c成立 ()().()().()().()().abcabcabcabcabcabcabcabc+=+=+=+=+ 证明：作向量, uuuruuuruuu r ABa BCb CDcABa BCb CDcABa BCb CDcABa BCb CDc=（如下图） ， A A A AB B B B C C C C D D D D a a a a b b b b c c c c abababab+ + + + bcbcbcbc+ + + + 则()(),()(),()(),()(), uuuruuuruuu ruuuruuu ruuur abcABBCCDACCDADabcABBCCDACCDADabcABBCCDACCDADabcABBCCDACCDAD+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+= ()(),()(),()(),()(), uuuruuuruuu ruuuruuuruuur abcABBCCDABBDADabcABBCCDABBDADabcABBCCDABBDADabcABBCCDABBDAD+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+= 故()().()().()().()().abcabcabcabcabcabcabcabc+=+=+=+=+ 2.设, , , , ,a b ca b ca b ca b c两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件 是0. 0. 0. 0.abcabcabcabc+=+=+=+= 证 明 ： 必 要 性 ， 设, , , , ,a b ca b ca b ca b c的 终 点 与 始 点 相 连 而 成 一 个 三 角 形ABCABCABCABC ， A A A AB B B B C C C C a a a a b b b b c c c c 则0. 0. 0. 0. uuuruuuruuu ruuuruuu ruuu r abcABBCCAACCAAAabcABBCCAACCAAAabcABBCCAACCAAAabcABBCCAACCAAA+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+= 充分性，作向量, uuuruuuruuu r ABa BCb CDcABa BCb CDcABa BCb CDcABa BCb CDc=，由于 0,0,0,0, uuuruuuruuu ruuuruuu ruuur abcABBCCDACCDADabcABBCCDACCDADabcABBCCDACCDADabcABBCCDACCDAD=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=所以点A A A A与D D D D重合，即三向量 , , , , ,a b ca b ca b ca b c的终点与始点相连构成一个三角形。 3.试证三角形的三中线可以构成一个三角形。 证明：设三角形ABCABCABCABC 三边,AB BC CAAB BC CAAB BC CAAB BC CA的中点分别是,D E FD E FD E FD E F（如下图） ，并且记 A A A AB B B B a a a a b b b b c c c c E E E EF F F F D D D D , uuuruuuruuu r aAB bBC cCAaAB bBC cCAaAB bBC cCAaAB bBC cCA=， 则 根 据 书中 例 1.1.1 ， 三 条 中 线表 示 的 向 量 分 别是 111111111111 (),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(), 222222222222 uuu ruuuruuur CDcbAEacBFbaCDcbAEacBFbaCDcbAEacBFbaCDcbAEacBFba= 所以， 111111111111 ()()()0,()()()0,()()()0,()()()0, 222222222222 uuu ruuuruuur CDAEBFcbacbaCDAEBFcbacbaCDAEBFcbacbaCDAEBFcbacba+=+=+=+=+=+=+=+=故由上题结论得三角形 的三中线,CD AE BFCD AE BFCD AE BFCD AE BF可以构成一个三角形。 4.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 证明： 如下图， 梯形ABCDABCDABCDABCD两腰, , , ,BC ADBC ADBC ADBC AD中点分别为, , , ,E FE FE FE F， 记向量, , , , uuuruuu r ABa FAbABa FAbABa FAbABa FAb=， A A A AB B B B a a a a b b b b E E E EF F F F 则, , , , uuur DFbDFbDFbDFb= = = =而向量 uuur DCDCDCDC与 uuur ABABABAB共线且同向， 所以存在实数0, 0, 0, 0, 使得. . . . uuuruuur DCABDCABDCABDCAB = = = =现在 , , , , uuu r FBbaFBbaFBbaFBba=+=+=+=+, , , , uuur FCbaFCbaFCbaFCba = += += += +由于E E E E是BCBCBCBC的中点，所以 1111111111111111 ()()(1)(1).()()(1)(1).()()(1)(1).()()(1)(1). 2222222222222222 uuuruuu ruuuruuur FEFBFCbaabaABFEFBFCbaabaABFEFBFCbaabaABFEFBFCbaabaAB=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+且 111111111111 (1)()().(1)()().(1)()().(1)()(). 222222222222 uuuruuuruuuruuuruuuruuur FEABABABABDCFEABABABABDCFEABABABABDCFEABABABABDC=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。 5.试证命题 1.1.2。 C C C C D D D DC C C C 证明：必要性，设, , , , ,a b ca b ca b ca b c共面，如果其中有两个是共线的，比如是, , , ,a ba ba ba b，则, , , ,a ba ba ba b线性相 关，从而, , , , ,a b ca b ca b ca b c线性相关。现在设, , , , ,a b ca b ca b ca b c两两不共线，则向量c c c c可以在两个向量, , , ,a ba ba ba b上的进 行分解，即作以c c c c为对角线，邻边平行于, , , ,a ba ba ba b的平行四边形，则存在实数, , , , 使得 cabcabcabcab=+=+=+=+，因而, , , , ,a b ca b ca b ca b c线性相关。 充分性， 设, , , , ,a b ca b ca b ca b c线性相关， 则存在不全为零的数 123123123123 ,k kkk kkk kkk kk， 使得 123123123123 0 0 0 0k ak bk ck ak bk ck ak bk ck ak bk c+=+=+=+=。 不妨设 3 3 3 3 0 0 0 0k k k k ， 则向量c c c c可以表示为向量, , , ,a ba ba ba b的线性组合， 因此由向量加法的平行四边形法 则知道向量c c c c平行于由向量, , , ,a ba ba ba b决定的平面，故, , , , ,a b ca b ca b ca b c共面。 6.设,A B CA B CA B CA B C是不共线的三点， 它们决定一平面 ， 则点P P P P在 上的充要条件是存在唯 一的数组( , )( , )( , )( , ) 使得 , , , , (*)(*)(*)(*) 1, 1, 1, 1, uuu ruuu ruuu ruuur OPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOC =+=+=+=+ +=+=+=+= 其中，O O O O是任意一点。P P P P在ABCABCABCABC 内的充要条件是(*)与0,0,00,0,00,0,00,0,0同时成立。 证明：必要性，作如下示意图，连接APAPAPAP并延长交直线BCBCBCBC于R R R R。 A A A A B B B B C C C C O O O O R R R R P P P P 则由三点,B R CB R CB R CB R C共线，存在唯一的数组 12121212 , , , ,k kk kk kk k使得 12121212 ORk OBk OCORk OBk OCORk OBk OCORk OBk OC=+=+=+=+ uuu ruuu ruuur ，并且 12121212 1 1 1 1kkkkkkkk+=+=+=+=。由三点,A P RA P RA P RA P R共线，存在唯一的数组 12121212 , , , ,l ll ll ll l使得 12121212 OPl OAl OROPl OAl OROPl OAl OROPl OAl OR=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ，并且 12121212 1 1 1 1llllllll+=+=+=+=。于是 1212122121212212121221212122 OPl OAl ORl OAl k OBl k OCOPl OAl ORl OAl k OBl k OCOPl OAl ORl OAl k OBl k OCOPl OAl ORl OAl k OBl k OC=+=+=+=+=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuur ，设 12122121221212212122 ,ll kl kll kl kll kl kll kl k=由 12121212 , , , ,k kk kk kk k， 12121212 , , , ,l ll ll ll l的 唯 一 性 知 道( , )( , )( , )( , ) 的 唯 一 性 ， 则 , , , ,OPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOC=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu ruuur 且 12122121221212212122 1 1 1 1ll kl kll kl kll kl kll kl k+=+=+=+=+=+=+=+=。 充分性，由已知条件有(1)(1)(1)(1)OPOAOBOCOAOBOCOPOAOBOCOAOBOCOPOAOBOCOAOBOCOPOAOBOCOAOBOC=+=+=+=+=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu ruuuruuu ruuu ruuur ()()()()()()()()OAOCOBOCOCOAOCOBOCOCOAOCOBOCOCOAOCOBOCOC=+=+=+=+ uuu ruuuruuu ruuuruuur CACBOCCACBOCCACBOCCACBOC=+=+=+=+ uuu ruuu ruuur ,得到CPCACBCPCACBCPCACBCPCACB=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ， 因而向量,CP CA CBCP CA CBCP CA CBCP CA CB uuu r uuu r uuu r 共面，即P P P P在,A B CA B CA B CA B C决定的平面上。 如果P P P P在ABCABCABCABC 内，则P P P P在线段ARARARAR内，R R R R在线段BCBCBCBC内，于是 1212121212121212 0,10,10,10,1k kl lk kl lk kl lk kl l， 则0, ,10, ,10, ,10, ,1 。 如果 （*） 成立且0,10,10,10,1 ， 则有CPCACBCPCACBCPCACBCPCACB=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ， 这说明点P P P P在角ACBACBACBACB 内。 同样可得到APABACAPABACAPABACAPABAC=+=+=+=+ uuuruuuruuur ，这说明点P P P P在角BACBACBACBAC 内。故P P P P在ABCABCABCABC 内。 7.在ABCABCABCABC 中，点, , , ,D ED ED ED E分别在边BCBCBCBC与CACACACA上，且 11111111 , 33333333 BDBC CECA ADBDBC CECA ADBDBC CECA ADBDBC CECA AD=与 BEBEBEBE交于R R R R，试证 14141414 ,.,.,.,. 77777777 RDAD REBERDAD REBERDAD REBERDAD REBE= 证明：作如下示意图， A A A AB B B B C C C C R R R RD D D D E E E E 由三点,B R EB R EB R EB R E共线，存在k k k k使得(1)(1)(1)(1)CRkCBk CECRkCBk CECRkCBk CECRkCBk CE=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ，由三点,A R DA R DA R DA R D共线，存 在l l l l使得(1)(1)(1)(1)CRlCAl CDCRlCAl CDCRlCAl CDCRlCAl CD=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ，由于 11111111 , 33333333 BDBC CECABDBC CECABDBC CECABDBC CECA=有 21212121 , 33333333 CDCB CECACDCB CECACDCB CECACDCB CECA= uuu ruuu r uuu ruuu r 因而 1 1 1 1(1 )(1)(1)(1) 3 3 3 3 CRkCBk CACRkCBk CACRkCBk CACRkCBk CA=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r 2 2 2 2(1 )(1)(1)(1) 3 3 3 3 lCAl CBlCAl CBlCAl CBlCAl CB=+=+=+=+ uuu ruuu r 。由于 向量, , , ,CA CBCA CBCA CBCA CB uuu r uuu r 不共线，所以 21212121 (1),(1)(1),(1)(1),(1)(1),(1) 33333333 kl lkkl lkkl lkkl lk=，解此方程组得 41414141 , , , , 77777777 klklklkl=。 由 此得 43434343 77777777 CRCBCECRCBCECRCBCECRCBCE=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ， 4344434443444344 ()()()() 7777777777777777 ERCRCECBCECECBCEEBERCRCECBCECECBCEEBERCRCECBCECECBCEEBERCRCECBCECECBCEEB=+=+=+=+= uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuur 。 同理得到 1 1 1 1 7 7 7 7 DRDADRDADRDADRDA= = = = uuuruuur 。故得 14141414 ,.,.,.,. 77777777 RDAD REBERDAD REBERDAD REBERDAD REBE= 8.用向量法证明ABCABCABCABC 的三条中线交于一点P P P P，并且对任意一点O O O O有 1 1 1 1( ).().().(). 3 3 3 3 uuu ruuu ruuu ruuur OPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOC=+=+=+=+ 证明：设,D E FD E FD E FD E F分别是边,AB BC CAAB BC CAAB BC CAAB BC CA的中点，则, , , ,AE BFAE BFAE BFAE BF交于一点P P P P，连接 A A A A B B B B C C C C D D D D E E E E F F F F P P P P , , , ,CP CDCP CDCP CDCP CD。 由,A P EA P EA P EA P E三点共线， 存在k k k k使 1 1 1 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2 2 2 2 CPkCFk CBkCAk CBCPkCFk CBkCAk CBCPkCFk CBkCAk CBCPkCFk CBkCAk CB=+=+=+=+=+=+=+=+ uuu ruuuruuu ruuu ruuu r ， 由,B P FB P FB P FB P F三点共 线，存在l l l l使 1 1 1 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1) 2 2 2 2 CPlCEl CAlCBl CACPlCEl CAlCBl CACPlCEl CAlCBl CACPlCEl CAlCBl CA=+=+=+=+=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r ，于是 得 11111111 1,11,11,11,1 22222222 kllkkllkkllkkllk=， 解 得 2 2 2 2 3 3 3 3 klklklkl=。 从 而 有 11111111 33333333 CPCBCACPCBCACPCBCACPCBCA=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ， 然 而 11111111 22222222 CDCBCACDCBCACDCBCACDCBCA=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ，故 2 2 2 2 3 3 3 3 CPCDCPCDCPCDCPCD= = = = uuu ruuu r ，即,C P DC P DC P DC P D三点共线，ABCABCABCABC 的三条中线交于一点 P P P P。 任取一点O O O O， 由 11111111 33333333 CPCBCACPCBCACPCBCACPCBCA=+=+=+=+ uuu ruuu ruuu r ， 得到 11111111 ()()()()()()()() 33333333 OPOCOBOCOAOCOPOCOBOCOAOCOPOCOBOCOAOCOPOCOBOCOAOC=+=+=+=+ uuu ruuuruuu ruuuruuu ruuur ， 于是 1 1 1 1( ).().().(). 3 3 3 3 uuu ruuu ruuu ruuur OPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOCOPOAOBOC=+=+=+=+ 9.用向量法证明四面体ABCDABCDABCDABCD的对棱中点连线交于一点P P P P，且对任意一点O O O O有 1 1 1 1( ).().().(). 4 4 4 4 uuu ruuu ruuu ruuuruuur OPOAOBOCODOPOAOBOCODOPOAOBOCODOPOAOBOCOD=+=+=+=+ 证明： 设四面体ABCDABCDABCDABCD的棱,AB AC ADAB AC ADAB AC ADAB AC AD的中点分别是,B C DB C DB C DB C D， 棱,BC CD DBBC CD DBBC CD DBBC CD DB的 中点分别是,E F GE F GE F GE F G，如下图。则对棱中点连线为,B F C G D EB F C G D EB F C G D EB F C G D E。 A A A A B B B B C C C C G G G G E E E E F F F F D D D D B B B B C C C C D D D D 则容易知道 1 1 1 1 2 2 2 2 C EABD GC EABD GC EABD GC EABD G= uuuu ruuuruuuur ， 1 1 1 1 2 2 2 2 C DCDEGC DCDEGC DCDEGC DCDEG = = uuuuruuu ruuur ，因此四边形C D GEC D GEC D GEC D GE 是平行 四边形，, , , ,C G D EC G D EC G D EC G D E相交且交点是各线段的中点。同理, , , ,B F C GB F C GB F C GB F C G也相交于各线段的中点， 故,B F C G D EB F C G D EB F C G D EB F C G D E交于一点P P P P。 由以上结论知道，对任意一点O O O O，由P P P P是D ED ED ED E 的中点，有 11 111111 111111 111111 1111 ()()()()()()()() 22 222222 222222 222222 2222 OPODOEOAODOCOBOPODOEOAODOCOBOPODOEOAODOCOBOPODOEOAODOCOB =+=+=+=+=+=+=+=+ uuu ruuuu ruuuruuu ruuuruuuruuu r ， 即 1 1 1 1( ).().().(). 4 4 4 4 uuu ruuu ruuu ruuuruuur OPOAOBOCODOPOAOBOCODOPOAOBOCODOPOAOBOCOD=+=+=+=+ 10.设(1,2, )(1,2, )(1,2, )(1,2, )L i i i i A inA inA inA in= = = =是正n n n n边形的顶点，O O O O是它的中心，试证 1 1 1 1 0. 0. 0. 0. uuuu r n n n n i i i i i i i i OAOAOAOA = = = = = = = = 证明： 设 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i aOAaOAaOAaOA = = = = = = = = uuuu r ， 将正n n n n边形绕着中心旋转 2 2 2 2 n n n n 。 一方面向量a a a a绕点O O O O旋转了角度2 2 2 2 n n n n 而得到一个新的向量a a a a ；另一方面，正n n n n边形绕着中心旋转 2 2 2 2 n n n n 后与原正 n n n n边形重合，因而 向量a a a a没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故 1 1 1 1 0. 0. 0. 0. uuuu r n n n n i i i i i i i i OAOAOAOA = = = = = = = = 证 法 2 ： 由 于(1,2, )(1,2, )(1,2, )(1,2, )L i i i i A inA inA inA in= = = =是 正n n n n边 形 的 顶 点 ，O O O O是 它 的 中 心 ， 所 以 21212121( 1,2, )(1,2, )(1,2, )(1,2, ) iiiiiiiiiiii OAOAkOAinOAOAkOAinOAOAkOAinOAOAkOAin + +=+=+=+= uuuu ruuuuuruuuuur L，其中 1122112211221122 , , , , nnnnnnnn AA AAAA AAAA AAAA AA + =。由三角不等式得到 2121212121212121 2(1,2, )2(1,2, )2(1,2, )2(1,2, ) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii OAOAk OAOAOAOAinOAOAk OAOAOAOAinOAOAk OAOAOAOAinOAOAk OAOAOAOAin + +=+=+=+=+=+=+=+= uuuu ruuuuuruuuuuruuuu ruuuuuruuuuur L，故有2 2 2 2k k k k 。所以 2 2 2 2 111111111111 ()2()2()2()2 nnnnnnnnnnnn iiiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiii OAOAOAkOAOAOAOAkOAOAOAOAkOAOAOAOAkOA + + + + = +=+=+=+= uuuu ruuuuuruuuu ruuuu r ，由于2 2 2 2k k k k 。如果两平面平行，则选直角坐标系 使得其中一个平面为xOyxOyxOyxOy面，另一个平面的方程为0,00,00,00,0zddzddzddzdd=，于是k zzdk zzdk zzdk zzd=， 当1 1 1 1k k k k= = = =时，得 2 2 2 2 d d d d z z z z= = = =。当1 1 1 1k k k k 时，得(1).(1).(1).(1).k zdk zdk zdk zd= 如果两平面相交，则选两平面的角平分面为两坐标面xOyxOyxOyxOy和xOzxOzxOzxOz，则两平面的方程可 设为0,0,00,0,00,0,00,0,0yczyczcyczyczcyczyczcyczyczc+=+=+=+=，于是, , , ,k yczyczk yczyczk yczyczk yczycz+=+=+=+=即(1)(1)0.(1)(1)0.(1)(1)0.(1)(1)0.k yk czk yk czk yk czk yk cz=m 4.证明：空间中满足条件(0)(0)(0)(0)xyza axyza axyza axyza a+的点位于中心在原点，顶点在坐标轴 上，且顶点与中心距离为a a a a的八面体的内部。 证明：条件(0)(0)(0)(0)xyza axyza axyza axyza a+等价于八个不等式：(0)(0)(0)(0)xyza axyza axyza axyza a，这些 点对于平面(0)(0)(0)(0)xyza axyza axyza axyza a=来说都在负侧，即包含原点的那一侧。故它们位于由八 个平面(0)(0)(0)(0)xyza axyza axyza axyza a=构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为a a a a的八面体的内 部。 5.在仿射坐标系中，设 1111111111111111 (,)(,)(,)(,)MxyzMxyzMxyzMxyz， 2222222222222222 (,)(,)(,)(,)MxyzMxyzMxyzMxyz都不在平面 :0:0:0:0AxByCzDAxByCzDAxByCzDAxByCzD+=+=+=+= 上，且 12121212 MMMMMMMM 。证明： 1 1 1 1 MMMM与 2 2 2 2 MMMM在平面 的同侧的充分必要条件是 1111111111111111 FAxByCzDFAxByCzDFAxByCzDFAxByCzD=+=+=+=+与 2222222222222222 FAxByCzDFAxByCzDFAxByCzDFAxByCzD=+=+=+=+ 同号。 证明： （1） 12121212 M MM MM MM M uuuuuuu r 与平面:0:0:0:0AxByCzDAxByCzDAxByCzDAxByCzD+=+=+=+=平行的充要条件是 12111222121112221211122212111222 ()()()()FFAxByCzDAxByCzDFFAxByCzDAxByCzDFFAxByCzDAxByCzDFFAxByCzDAxByCzD=+=+=+=+ 121212121212121212121212 ()()()0()()()0()()()0()()()0A xxB yyC zzA xxB yyC zzA xxB yyC zzA xxB yyC zz=+=+=+=+= 即 1111111111111111 0 0 0 0FAxByCzDFAxByCzDFAxByCzDFAxByCzD=+=+=+=+与 2222222222222222 0 0 0 0FAxByCzDFAxByCzDFAxByCzDFAxByCzD=+=+=+=+同号。 （2）如果 12121212 M MM MM MM M uuuuuuu r 与平面:0:0:0:0AxByCzDAxByCzDAxByCzDAxByCzD+=+=+=+=不平行，则设直线 12121212 M MM MM MM M与平面 相交于点MMMM，且 12121212 M MkMMM MkMMM MkMMM MkMM= = = = uuuuuu ruuuuuu r 。 因而 1 1 1 1 MMMM与 2 2 2 2 MMMM在平面 的同侧的充分必要条件是0 0 0 0k k k k 。因为 1111111111111111 2222222222222222 0 0 0 0 AxByCzDFAxByCzDFAxByCzDFAxByCzDF k k k k AxByCzDFAxByCzDFAxByCzDFAxByCzDF + = = = = = = 。 现在从两直线上分别任取一点( , ),( ,)( , ),( ,)( , ),( ,)( , ),( ,)t kt asksat kt asksat kt asksat kt asksa，则它们的中点( , , )( , , )( , , )( , , )x y zx y zx y zx y z满足 ()()()() ,0,0,0,0 22222222 tsk tstsk tstsk tstsk ts xyzxyzxyzxyz + =，这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨 迹是公垂线段的垂直平分面。 13.设在直角坐标系中，平面 1 1 1 1 与 2 2 2 2 的方程分别为 2230223022302230 xyzxyzxyzxyz+=+=+=+=和32610326103261032610 xyzxyzxyzxyz+=+=+=+= 求由 1 1 1 1 与 2 2 2 2 构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点(1,2, 3)(1,2, 3)(1,2, 3)(1,2, 3)P P P P 。 解：角平分面上的点( , , )( , , )( , , )( , , )x y zx y zx y zx y z到两平面的距离相等，所以 223223223223 3 3 3 3 xyzxyzxyzxyz+ = = = = 3261326132613261 7 7 7 7 xyzxyzxyzxyz+ ， 由 于 该 二 面 角 内 有 点(1,2, 3)(1,2, 3)(1,2, 3)(1,2, 3)P P P P ， 且 2 122 ( 3)390,2 122 ( 3)390,2 122 ( 3)390,2 122 ( 3)390,+= += += +=+= ，所以(1,2, 3)(1,2, 3)(1,2, 3)(1,2, 3)P P P P 在 1 1 1 1 的负侧，在 2 2 2 2 的正侧，因此角平分面上的点在 1 1 1 1 的负侧，在 2 2 2 2 的正侧， 或在 1 1 1 1 的正侧， 在 2 2 2 2 的负侧，所以角平分面上的点满足7(223)7(223)7(223)7(223)xyzxyzxyzxyz+=+=+=+=3(3261)3(3261)3(3261)3(3261)xyzxyzxyzxyz+，整 理得到234240.234240.234240.234240.xyzxyzxyzxyz= 14.证明：两异面直线 1 1 1 1 l l l l， 2 2 2 2 l l l l的公垂线段的长度就是 1 1 1 1 l l l l， 2 2 2 2 l l l l之间的距离。 证明：以公垂线为z z z z轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为xOyxOyxOyxOy面，两异面直线 在xOyxOyxOyxOy面上的投影直线的角平分线为x x x x轴和y y y y轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方 程可设为 1 1 1 1: : : : 10101010 xyzaxyzaxyzaxyza l l l l k k k k =与 2 2 2 2: ,:,:,:, 10101010 xyzaxyzaxyzaxyza l l l l k k k k + + + + = 其中2 2 2 2a a a a是两直线的距离即公垂线段 的长度，0 0 0 0k k k k 。 现在从两直线上分别任取一点( , ),( ,)( , ),( ,)( , ),( ,)( , ),( ,)P t kt aQ sksaP t kt aQ sksaP t kt aQ sksaP t kt aQ sksa，两点距离为 2222222222222222 ()()(2 )2 ,()()(2 )2 ,()()(2 )2 ,()()(2 )2 ,PQtsktsaaPQtsktsaaPQtsktsaaPQtsktsaa=+=+=+=+ uuur 即公垂线段的长度是最小的， 因此两异面直线 1 1 1 1 l l l l， 2 2 2 2 l l l l的公垂线段的长度就是 1 1 1 1 l l l l， 2 2 2 2 l l l l之间的距离。 第三章 常见曲面 习题 3.1 1.证明：如果 222222222222 0 0 0 0abcdabcdabcdabcd+，那么由方程 222222222222 2220222022202220 xyzaxbyczdxyzaxbyczdxyzaxbyczdxyzaxbyczd+=+=+=+= 给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。 证明：将方程配方得 222222222222222222222222 ()()()()()()()()()()()()xaybzcabcdxaybzcabcdxaybzcabcdxaybzcabcd+=+=+=+=+，由 222222222222 0 0 0 0abcdabcdabcdabcd+，得到方 程表示球心是(,)(,)(,)(,)abcabcabcabc，半径为 222222222222 abcdabcdabcdabcd+的球面。 2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。 解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表 示，设过该三点的球面方程为 222222222222 0 0 0 0 xyzaxbyczdxyzaxbyczdxyzaxbyczdxyzaxbyczd+=+=+=+=，得到 930,930,930,930, 420,420,420,420, 10101010 adadadad bdbdbdbd cdcdcdcd +=+=+=+= +=+=+=+= +=+=+=+= 球面方程为 222222222222 94949494 (1)0(1)0(1)0(1)0 32323232 dddddddd xyzxyd zdxyzxyd zdxyzxyd zdxyzxyd zd + +=+=+=+=，其中d d d d任意。 过该三点的平面方程是1 1 1 1 32323232 xyxyxyxy z z z z+=+=+=+=，所以所求圆的方程可以为 222222222222 6()2(9)3(4)6(1)60,6()2(9)3(4)6(1)60,6()2(9)3(4)6(1)60,6()2(9)3(4)6(1)60, 23660236602366023660 xyzd xd yd zdxyzd xd yd zdxyzd xd yd zdxyzd xd yd zd xyzxyzxyzxyz +=+=+=+= +=+=+=+= 其中d d d d任意。 3.证明曲线 24242424 2 2 2 2 24242424 3 3 3 3 24242424 , , , , 1 1 1 1 ,(,),(,),(,),(,) 1 1 1 1 , , , , 1 1 1 1 t t t t x x x x tttttttt t t t t ytytytyt tttttttt t t t t z z z z tttttttt = = = = + = += += += + + = = = = + 在一球面上，并此球面方程。 证明：因为曲线满足 23232323 222222222222222222222222 242424242424242424242424 2 2 2 2 224224224224 242424242424242