排列组合经典例题(含解析)

1 排列与组合习题 16 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4 人，则不同的乘车方法数为() A40B50C60D70 解析 先分组再排列，一组2 人一组 4 人有 C 2 6 15 种不同的分法；两组各 3 人共有 C 3 6 A 2 2 10 种不同的分法，所以 乘车方法数为25250，故选 B. 2有 6 个座位连成一排，现有3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A36 种B48 种C72 种D96 种 解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A 3 3A 2 472 种排法，故选C. 3只用1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 () A6 个B9 个C18 个D36 个 解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C 1 33(种) 选法， 即 1231,1232,1233，而每种选择有A 2 2C 2 36(种)排法， 所以共有 3618(种)情况，即这样的四位数有18 个 4男女学生共有8人，从男生中选取2 人，从女生中选取1 人，共有30 种不同的选法，其中女生有() A2 人或 3 人B3 人或 4 人C3人D4 人 解析 设男生有n 人，则女生有 (8n)人，由题意可得C 2 nC 1 8n30，解得 n5 或 n6，代入验证，可知女生为 2 人或 3 人 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8 步走 完，则方法有() A45 种B36 种C28 种D25 种 解析 因为 10 8 的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6 步，一步两个台阶的有2 步，那么共有C 2 828 种 走法 6某公司招聘来8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外 三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有() A24 种B36 种C38 种D108 种 解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2 种方法，第二步将3 名 电脑编程人员分成两组，一组1 人另一组2 人，共有 C1 3种分法，然后再分到两部门去共有 C1 3A 2 2种方法，第三步只需 将其他 3 人分成两组，一组1 人另一组2 人即可，由于是每个部门各4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故 第三步共有C1 3种方法，由分步乘法计数原理共有 2C1 3A 2 2C 1 3 36(种) 7已知集合A5 ，B1,2 ， C1,3,4 ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确 定的不同点的个数为() A33 B34 C 35 D36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1 的有 C 1 2 A 3 312 个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1 个 1 的有 C 1 2 A 3 3A 3 318 个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2 个 1 的有 C 1 33 个 故共有符合条件的点的个数为1218333 个，故选A. 8由 1、 2、3、4、5、6 组成没有重复数字且1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是() A72 B96 C108 D144 解析 分两类：若1 与 3 相邻，有 A 2 2 C 1 3A 2 2A 2 372(个)，若 1 与 3 不相邻有 A 3 3 A 3 336(个) 故共有 72 36108 个 9如果在一周内(周一至周日 )安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观 两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有() A50 种B60 种C120 种D210 种 解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6 种： (1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲 任选一种为C1 6，然后在剩下的 5 天中任选2 天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A 2 5种，按照分步乘法计数 原理可知共有不同的安排方法C 1 6 A 2 5120 种，故选 C. 10安排 7 位工作人员在5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5 月 1 日和 2 日， 不同的安排方法共有_种 (用数字作答 ) 解析 先安排甲、乙两人在后5 天值班，有A 2 520(种)排法，其余 5 人再进行排列，有A5 5120(种)排法，所以共 有 201202400(种)安排方法 11今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这9 个球排成一列有_种不同的排法(用数 字作答 ) 解析 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C 4 9 C 2 5 C 3 31260(种)排法 12将 6 位志愿者分成4 组，其中两个组各2 人，另两个组各1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配 方案有 _种(用数字作答 ) 解析 先将 6 名志愿者分为4 组，共有 C 2 6C 2 4 A 2 2 种分法，再将4 组人员分到4 个不同场馆去， 共有 A 4 4种分法，故所有分配方案有： C 2 6 C 2 4 A 2 2 A 4 41 080 种 13要在如图所示的花圃中的5 个区域中种入4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 _种不同的种法 (用数字作答 ) 解析 5 有 4 种种法， 1 有 3 种种法， 4 有 2 种种法若1、3 同色， 2 有 2 种种法，若1、3 不同色， 2 有 1 种种 法， 有 432(12 11)72 种 14. 将标号为1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入3 个不同的信封中若每个信封放2 张，其中标号为1，2 的卡片 放入同一信封，则不同的方法共有 （A） 12 种（B）18 种（C）36 种（D）54 种 2 【解析】标号1,2 的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共 有种，故选B. 15. 某单位安排7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班， 每天 1人， 每人值班1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天， 丙不排在10 月 1 日，丁不排在10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A. 504 种B. 960 种C. 1008 种D. 1108 种 解析：分两类：甲乙排1、2 号或 6、7 号 共有 4 4 1 4 2 2 2AAA种方法 甲乙排中间 ,丙排 7 号或不排7 号，共有 )(4 3 3 1 3 1 3 4 4 2 2 AAAAA种方法 故共有 1008 种不同的排法 16. 由 1、2、 3、4、5、6 组成没有重复数字且1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 （A）72（B）96（C） 108（D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 解析：先选一个偶数字排个位，有3 种选法 w_w_w.k*s 5*u.c o*m 若 5在十位或十万位，则1、3 有三个位置可排，3 22 32 A A 24 个 若 5排在百位、千位或万位，则1、3 只有两个位置可排，共3 22 22 A A 12 个 算上个位偶数字的排法，共计3( 24 12) 108 个 答案： C 17. 在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所 用数字只有0 和 1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B.11 C.12 D.15 18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工 作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安 排方案的种数是 A 152 B.126 C.90 D.54 【解析】分类讨论：若有 2人从事司机工作， 则方案有 23 33 18CA； 若有 1人从事司机工作， 则方案有 123 343 108CCA 种，所以共有18+108=126 种，故 B 正确 19. 甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出2 名同学，则选出 的 4 人中恰有1 名女同学的不同选法共有( D ) （A）150 种（B）180 种（C） 300种(D)345 种 解: 分两类 (1)甲组中选出一名女生有 112 536 225CCC种选法 ; (2)乙组中选出一名女生有 211 562 120CCC种选法 . 故共有 345 种选法 . 选 D 20. 将甲、 乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班， 则不同分法的种数为 .18A.24B.30C.36D 【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 2 4C ，顺序有 3 3A 种， 而甲乙被分在同一个班的有 3 3 A 种，所以种数是 233 433 30C AA 21. 2 位男生和 3 位女生共5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法 的种数是 A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 【解析】解法一、从 3 名女生中任取2 人“捆”在一起记作A， （A 共有6 2 2 2 3 AC种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A、 B 之间（若甲在A、B 两端。则为使A、B 不相邻，只有把男生 乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6212 种排法（ A 左 B 右和 A 右 B 左） 最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12448 种不同排法。 解法二； 同解法一，从3 名女生中任取2 人“捆”在一起记作A， （A 共有 6 2 2 2 3A C种不同排法） ，剩下一名女生记 作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生A、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有 2 2 2 2 6AA=24 种排法； 第二类：“捆绑” A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有 2 2 6A12 种排法 第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。 此时共有 2 2 6A12 种排法 三类之和为24121248 种。 22. 从 10 名大学生毕业生中选3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C A 85 B 56 C 49 D 28 【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有： 12 27 CC42，另一类是甲乙都去的选法有 21 27 CC=7，所以共有42+7=49，即选 C 项。 23. 3 位男生和 3 位女生共6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法 3 的种数是 A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 解析： 6 位同学站成一排，3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有332 2 2 2 4 2 3 3 3 AACA种，其中男生甲站两端的 有144 2 2 2 3 2 3 2 2 1 2 AACAA，符合条件的排法故共有188 解析 2：由题意有 222112222 232232324 2()()188ACACCACAA,选 B。 24. 12 个篮球队中有3 个强队， 将这 12 个队任意分成3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为 （） A 1 55 B 3 55 C 1 4 D 1 3 解析因为将12 个组分成4 个组的分法有 444 1284 3 3 C C C A 种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 3144 3984 2 2 C C C C A ，故个强队 恰好被分在同一组的概率为 314424443 9984212843 3 C C C C A C C C A = 55 。 25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的 站法种数是（用数字作答） 【解析】对于7 个台阶上每一个只站一人，则有 3 7 A种；若有一个台阶有2 人，另一个是1 人，则共有 12 37 C A种，因 此共有不同的站法种数是336 种 26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6 个，花生馅汤圆5 个，豆沙馅汤圆4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到1 个的概率为（） A 8 91 B 25 91 C 48 91 D 60 91 【解析】因为总的滔法 4 15, C而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按 1.1.2；1，2， 1；2，1，1 三类，故所求概率为 112121211 654654654 4 15 48 91 CCCCCCCCC C 27. 将 4 名大学生分配到3 个乡镇去当村官， 每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种 （用数字作答） 【解析】分两步完成：第一步将4 名大学生按， 2，1，1 分成三组，其分法有 211 421 2 2 CCC A ; 第二步将分好的三组分配 到 3 个乡镇，其分法有 3 3 A所以满足条件得分配的方案有 211 3421 32 2 36 CCC A A 28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子 的编号，则不同的放球方法有（） A10 种B20 种C36 种D52 种 解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒 子的编号， 分情况讨论： 1 号盒子中放1 个球， 其余 3 个放入 2 号盒子， 有 1 4 4C种方法； 1 号盒子中放2个球， 其余 2 个放入 2 号盒子，有 2 4 6C种方法；则不同的放球方法有10 种，选 A 29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有 （A）种（ B）种（C）种（D）种 解析：将5 名实习教师分配到高一年级的3 个班实习，每班至少1 名，最多2 名，则将5 名教师分成三组，一组1 人，另两组都是2 人，有 12 54 2 2 15 CC A 种方法，再将3 组分到 3 个班，共有 3 3 1590A种不同的分配方案，选B. 30. 某校从 8 名教师中选派4 名教师同时去4 个边远地区支教( 每地 1 人), 其中甲和乙不同去, 甲和丙只能同去或同 不去 , 则不同的选派方案共有种 解析：某校从8 名教师中选派4 名教师同时去4 个边远地区支教( 每地 1 人) ，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去 或同不去， 可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去， 有 24 54 CA=240 种选法；甲、丙同不去， 乙去，有 34 54 CA=240 种选法；甲、乙、丙都不去，有 4 5 120A种选法，共有600 种不同的选派方案 31. 用数字 0，1，2，3， 4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2 相邻的偶数有个（用数字作答） 解析：可以分情况讨论：若末位数字为0，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为 1 个数字，共可以组 成 3 3 212A个五位数； 若末位数字为2，则 1与它相邻， 其余 3 个数字排列， 且 0 不是首位数字， 则有 2 2 24A 个五位数；若末位数字为4，则 1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为 1 个数字，且0 不是首位数字，则 有 2 2 2 (2)A=8 个五位数，所以全部合理的五位数共有24 个。 32有一排8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3 个二极管点亮，但相邻的两个二 极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信 息种数共有多少种？ 解析 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3 个点亮的二极管插放在未点亮的5 个二极管之间及两端 的 6 个空上，共有C3 6种亮灯办法然后分步确定每个二极管发光颜色有 2228(种)方法，所以这排二极管能表 示的信息种数共有C3 6222 160(种) 33按下列要求把12 个人分成 3 个小组，各有多少种不同的分法？ (1)各组人数分别为2,4,6 个； (2)平均分成3 个小组； (3)平均分成3 个小组，进入3 个不同车间 解析 (1)C 2 12C 4 10C 6 6 13 860(种)；(2) C 4 12C 4 8C 4 4 A 3 3 5 775(种)； (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有 C 4 12C 4 8C 4 4 A 3 3 A 3 3C 4 12 C 4 8 C 4 434 650(种) 不同的分法 346 男 4 女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？ (1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定