微分方程总结

第十章：微分方程总结姓名：刘桥 学号：40905237 班级：工商49班小组：第八小组 组长：刘洪材一、 微分方程的基本概念1. 微分方程及其阶的定义微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程） 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程）l 微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数.分类2：一阶微分方程 高阶(n)微分方程分类3：线性与非线性微分方程.分类4：单个微分方程与微分方程组.2. 微风方程的解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.） 特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.）初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线二、 一阶微分方程1. 可分离变量的方程可分离变量的微分方程：形如： 的一阶微分方程.例题回味：求方程的通解分离变量得，两边同时积分得， 于是得到通解为，2. 齐次方程如果一阶微分方程可化为的方程，那么久称之为齐次方程.解法：作变量代换 两边分求微分得， 代入原式得， 则对上式分离变量得，. 两边分别积分得， 求出积分后，将代入，就求得了原微分方程的通解.例题回味：求解微分方程 解， 微分方程的解为3. 一阶线性微分方程形如的方程称为一阶线性微分方程称方程式为非齐次线性微分方程称方程为齐次线性微分方程解法：1. 线性齐次方程（分离变量法） 2. 线性非齐次方程例题回味： 解 4. 伯努利方程形如（n为常数）的方程称为伯努利方程.三、 高阶微分方程1. n阶线性微分方程解的结构n阶线性微分方程的一般形式：称方程式为非齐次线性方程，称方程式为齐次线性方程。定义：对于定义在区间（a,b）上的函数组，如果存在不全为0的常数，使得等式在区间（a,b）上恒成立，则称函数在区间（a,b）上线性相关，否则，则称线性无关. 定理：.如果函数都是其次线性方程式的解，则他们的线性组合也是齐次线性方程式的解，其中是n个任意常数。. 如果是n阶齐次线性方程式的两个线性无关的特解, 则方程式的通解为.其中是n个任意常数，而且方程式的任意解都可以表示成这个形式。. 设是n阶非齐次线性方程的一个特解, 是对应的齐次方程式的通解, 则非齐次线性微分方程的通解为. 设非齐次方程(2)的右端 是几个函数之和, 如而与分别是方程，的特解, 那么 就是原方程的特解.2. 二阶常系数线性方程n阶常系数线性微分方程的标准形式：二阶常系数齐次线性方程的标准形式：二阶常系数非齐次线性方程的标准形式：特征根情况：(1)特征方程有两个不相等的实根 特征根为 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 (2)特征方程有两个相等的实根特征根为一特解为 得齐次方程的通解为3)特征方程有一对共轭复根特征根为 重新组合 得齐次方程的通解为特征方程法步骤：(1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.例题回味： 特征方程为