2017考研数学基础精讲内部辅导讲义(高等数学)数学名师

目 录 第一讲 函数、极限、连续性 . 1 第二讲 导数与微分 . 6 第三讲 微分中值定理及导数的应用 . 9 第四讲 一元函数积分学 . 12 第五讲 微分方程 . 17 第六讲 多元函数微分学 . 20 第七讲 重积分 . 25 第八讲 曲线积分与曲面积分* . 29 第九讲 无穷级数* . 35 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 1 第一讲 函数、极限、连续性 一、函数 1. 函数 (1)函数的定义 设数集DR， 则称映射:fDR为定义在D上的函数， 简记为( )yf x=，xD， 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记为 f D，()f D为值域，记为 f R. (2)函数定义的两要素：定义域，对应法则. 2. 函数的特性 (1)有界性 若0M，对于Ix，都有Mxf)(，则称)(xf在I上有界. (2)单调性 设函数)(xf的定义域为D，区间DI，若对于Ixx 21, ，当 21 xx T， 对 于Ix， 使 得)()(xfTxf=+ )(ITx+，则称)(xf为周期函数，T为)(xf的周期，通常周期是指最小正周期. 3. 反函数 设函数:()fDf D是单射，则它存在逆映射 1 :()ff DD ，则称映射 1 f 为函 数f的反函数. 注：(1) 1 ( ) ff xx =，xxff= )( 1 . (2)单调函数存在反函数，反之不成立. 4. 复合函数 设函数( )yf x=的定义域为 f D，函数( )ug x=的定义域为 g D，且其值域 gf RD， 则函数 ( ) , g yf g xxD=称为由函数( )ug x=与函数( )yf u=构成的复合函数. 注：只有当函数)(xu=的值域与)(ufy=的定义域的交非空时，才能将它们复合成 复合函数. 5. 初等函数 (1)基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 2 (2)初等函数： 由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个 式子表示的函数. 二、数列极限 1. 数列极限的定义 设 n x为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得 当nN时，有 n xaM，使得n有 Mxn. (3)保号性：如果axn n = lim，且0a(或0时，有 0 n x(或0 n x). 3. 数列极限的四则运算法则 设有数列 n x， n y，如果Axn n = lim，Byn n = lim，则： (1)BAyx nn n = )(lim； (2)BAyx nn n = lim； (3) B A y x n n n = lim (0 n y且0B). 4. 数列极限存在的判定 (1)夹逼定理 如果数列 n x， n y， n z满足：1) nnn yxz(?3 , 2 , 1=n)；2)ayn n = lim， azn n = lim，则数列 n x的极限存在，且axn n = lim. (2)单调有界准则 单调增加(或单调减少)且有上界(或有下界)的数列 n x必定存在极限. 三、函数极限 1. 函数极限的定义 (1) 0 xx 时函数极限的定义 设函数( )f x在点 0 x的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ，总存在正数，使得当x满足 0 0 xx， 使得当A(或0，使得当 K， 使得,bax， 有( )f xK， 且 1 ， 2 , a b使得mf=)( 1 ，Mf=)( 2 ， 其中m，M分别为)(xf在,ba上的最大值和最小值. (2)零点定理 设函数)(xf在,ba上连续，且0)()(u，如果)(),(xvvxuu=都可导，则： ln v vu yuvu u =+ . 4. 高阶导数 (1)高阶导数的定义 2 00 2 0 ()() lim x fxxfxd ydy d dxdxx dx + = ，记为( )fx； () 3 00 3 0 ()() ( )lim x fxxfxd y d fx dxx dx + = ，记为( )fx. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数. (2)n阶导数公式 () )()( )( nn n vuvu=， )()( 0 )( )( kkn n k k n n vuCuv = =. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 8 二、微分 1. 函数的微分 设 函 数( )yf x=在 某 区 间 内 有 定 义 ， 0 x及 0 xx+在 这 区 间 内 ， 如 果 增 量 00 ()()yf xxf x =+可表示为()yA xox = +其中，A是不依赖于x的常数，那 么称函数( )yf x=在点 0 x是可微的，而A x叫做函数( )yf x=在点 0 x相应于增量x的 微分，记作dy，即dyA x=. 注：函数)(xf在 0 xx =可导)(xf在 0 xx =可微)(xf在 0 xx =连续. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 9 第三讲 微分中值定理及导数的应用 一、微分中值定理 1. 罗尔定理 如果函数( )f x满足：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间( , )a b内可导； (3)( )( )f af b=；则( , )a b ，使得( )0f=. 2. 拉格朗日中值定理 如果函数( )f x满足：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间( , )a b内可导；则 ( , )a b ，使得( )( )( )()f bf afba=. 3. 柯西中值定理 如果函数( )f x及( )g x满足：(1)在闭区间 , a b上连续；(2)在开区间( , )a b内可导；且 ( )0g x；则( , )a b ，使得 ( )( )( ) ( )( )( ) f bf af g bg ag = . 二、洛比达法则 1. ax时的未定型 设(1)当ax 时，函数)(xf和)(xg都趋于零； (2)在点a的某去心邻域内，)(x f 和)(x g 都存在，且0)( x g； (3) )( )( lim xg xf ax 存在(或为无穷大)， 则 )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf axax = . 2. x时的未定型 设(1)当x时，函数)(xf和)(xg都趋于零； (2)当Ax 时，)(x f 和)(x g 都存在，且0)( x g； (3) )( )( lim xg xf x 存在(或为无穷大)， 则 )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf xx = . 三、泰勒公式 1. 泰勒中值定理 设)(xf在含有 0 x的某开区间I内有直到) 1( +n阶导数，则对于xI ，有 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 10 ( )(1) 1 0 00000 ()( ) ( )()()()()() !(1)! nn nn fxf f xf xfxxxxxxx nn + + =+ + ?， 其中介于 0 x与x之间. 2. 麦克劳林公式 设)(xf在含有0=x的某开区间I内有直到) 1( +n阶导数，则对于xI ，有 ( )(1) 1 (0)() ( )(0)(0) !(1)! nn nn ffx f xffxxx nn + + =+ + ? (01) x f，只能得到0)( x f. 五、曲线的凸凹性和拐点 1. 凸凹性的定义 设( )f x在I上连续，对于 12 ,x xI，若 1212 ()() 22 xxf xf x f + ，则称( )f x在I上的图 形是(向上)凸的(或凸弧). 2. 凸凹性的判定 设函数)(xfy =在),(ba内二阶可导，若在),(ba内0)( x f，则)(xf在,ba上图 形是凹的；若在),(ba内0)( x f，而),( 00 +xxx时，0)( x f，则)(xf在 0 x处 取得极大值. 若),( 00 xxx时，0)( x f，则)(xf在 0 x处 取得极小值. (2)第二充分条件 设函数)(xf在 0 x处具有二阶导数且 0 ()0fx=， 0 ()0fx，则当0)( 0 x f时，函数)(xf在 0 x处取得极小值. 七、渐近线 1. 水平渐近线 若cxf x = )(lim，则直线cy =是曲线)(xfy =的一条水平渐近线. 2. 垂直渐近线 如果= )(lim 0 xf xx ，则直线 0 xx =是曲线)(xfy =的一条垂直渐近线. 3. 斜渐近线 若 x xf k x x x )( lim + =，kxxfb x x x = + )(lim，则bkxy+=是曲线)(xfy =的渐近线. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 12 第四讲 一元函数积分学 一、不定积分 1. 原函数的定义 如果在区间I上， 可导函数( )F x的导函数为( )f x， 即对任一xI， 都有( )( )F xf x= 那么函数( )F x就称为( )f x(或( )f x dx)在区间I上的原函数. 注：若函数)(xf在区间I上连续，则它在区间I上存在原函数. 2. 不定积分的定义 在区间I上，函数( )f x的带有任意常数项的原函数称为( )f x在区间I上的不定积分， 记作( )f x dx ， 其中，记号称为积分号，( )f x称为被积函数，( )f x dx称为被积表达 式，x称为积分变量. 3. 基本积分公 (1)kdxkxC=+ (k为常数)， (2)() 1 1 1 x x dxC + =+ + ， (3)ln dx xC x =+ ， (4) 2 arctan 1 dx xC x =+ + ， (5) 2 arcsin 1 dx xC x =+ ， (6)cossinxdxxC=+ ， (7)sincosxdxxC= + ， (8) 2 2 sectan cos dx xdxx C x =+ ， (9) 2 2 csccot sin dx xdxx C x =+ ， (10)sec tansecxxdxxC=+ ， (11)csc cotcscxxdxxC= + (12) xx e dxeC=+ ， (13) ln x x a a dxC a =+ . 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 13 二、不定积分的积分法 1. 第一换元积分法(凑微分法) 设)(uf具有原函数，)(xu=可导，则 =)()()()(xdxfdxxxf ( ) ( )f u duF uCFxC=+=+ . 2. 第二换元积分法 设( )xt=单调、可导，且( )0t，若( )( )( )ftt dtG tC=+ ，则 1 ( ) ( )( )( )( )f x dxftt dtG tCGxC =+=+ . 3. 分部积分法 设),(xuu =)(xvv =具有连续导数，则 =dxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(. 三、定积分 1. 定积分的定义 设函数( )f x在, a b上有界，在, a b中任意插入若干个分点把区间, a b分成n个小 区间 01 ,x x， 12 ,x x，?， 1,nn xx ，各个小区间的长度为 110 xxx=， 221 xxx=， ?， 1nnn xxx =在每个小区间 1,ii xx 上任取一点 i ( 1iii xx )， 作函数值( ) i f与 小 区 间 长 度 i x的 乘 积( ) ii fx(1, )in=?， 并 作 和 1 ( ) n ii i Sfx = = ， 记 12 max, n xxx=?， 如果不论对, a b怎么样划分， 也不论在小区间 1,ii xx 上 i 怎样选取，只要当0时，和S总趋于确定的极限I，那么称这个极限I为函数( )f x在 , a b上的定积分，记作( ) b a f x dx ，即： 0 1 ( )lim( ) n b ii a i f x dxfx = = . 其中( )f x叫做被积函数，( )f x dx称为被积表达式，x称为积分变量，a叫做积分下 限，b叫做积分下限，, a b叫做积分区间. 2. 定积分的几何意义 函数)(xf在,ba上的定积分是曲线)(xfy =与直线ax=，bx=，x轴所围成的曲 边梯形面积的代数和. 3. 定积分的性质 (1)两条规定 1)0)(= a a dxxf； 2) = a b b a dxxfdxxf)()(. (2) = b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf)()()()(. (3) = b a b a dxxfkdxxkf)()(k是常数). 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 14 (4)设bca，则 += b c c a b a dxxfdxxfdxxf)()()(. (5)如果在区间,ba上1)(xf，则= b a abdxxf)(. (6)如果在区间,ba上，0)(xf，则 b a dxxf0)()(ba . 推论 1: 如果在区间上，)()(xgxf，则 b a b a dxxgdxxf)()()(ba =qp特 征 方 程 有 两 个 不 同 的 实 根 21, ， 则 方 程 的 通 解 为 xx eCeCy 21 21 +=. 当04 2 =qp，特征方程有二重根 21 =，则方程的通解为() x exCCy 1 21 +=. 当, 04 2 =qp特 征 方 程 有 共 轭 复 根i， 则 方 程 的 通 解 为 )sincos( 21 xCxCey x +=. 六、二阶常系数非齐次线性微分方程 1. 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程的形式：( )ypyqyf x+=，其中qp,为常数. (1)( )( ) x n f xP x e=，其中( ) n P x为n次多项式，为实常数，则方程的特解y的形式 为： (1)若不是特征根，则令( ) x n yR x e =， (2)若是特征方程单根，则令( ) x n yxR x e =， (3)若是特征方程的重根，则令 2 ( ) x n yx R x e =， 其中( ) n R x为n次多项式，将y代入原方程求出( ) n R x的各系数得到原方程的特解. (2)( )( )cos sin x nl f xeP xxPx =+，其中( ) n P x，( ) l P x分别为n，l次多项式， 则方程的特解y的形式为： 1)若i不是 特征方程的根，则令 (1)(2) ( )cos ( )sin x mm yeRxxRxx =+， 2)若i是 特征方程的根，则令 (1)(2) ( )cos ( )sin x mm yxeRxxRxx =+，其中 (1)( ) m Rx， (2)( ) m Rx是m次多项式，max , mn l=，将y代入原方程求出 (1)( ) m Rx， (2)( ) m Rx 的各系数，从而得原方程的特解. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 20 第六讲 多元函数微分学 一、多元函数的概念 1. 二元函数的定义 设D是 2 R的一个非空子集，称映射:fDR为定义在D上的二元函数，常记为 ( , ), ( , )zf x yx yD=或( ),zf P PD=，其中点集D称为该函数的定义域，,x y称为 自变量，z称为因变量. 2. 二元函数的极限 (1)二元函数的极限的定义 设二元函数( )( , )f Pf x y=的定义域为D， 000 (,)P xy是D的聚点，如果存在常数A， 对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点 0 ( , )(, ) o P x yDU P时，都有 ( )( , )f PAf x yA=BAC时具有极值，且当0A时有极小值； 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 24 (2)0 2 BAC时没有极值； (3)0 2 =BAC时可能有极值，也可能没有极值，需另作讨论. 4. 函数的最大值与最小值 函数在有界闭区域D上的最大值与最小值用比较法求. 即比较驻点、 偏导数不存在但连 续点处的函数值及在区域D的边界上函数的最大、最小值而得. 5. 条件极值 求),(yxFz=在0),(=yx条件下的极值点， 先构造辅助函数),(),(),(yxyxfyxF+=， 解方程组 ( , )( , )0 ( , )( , )0 ( , )0 xxx xyy Ffx yx y Ffx yx y Fx y =+= =+= = = ，求驻点，由问题的实际意义确定极值. 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 25 第七讲 重积分 一、二重积分 1. 二重积分的定义 设函数( , )f x y是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 ， 2 ，?， n ，其中， i 表示第i个小闭区域，也表示它的面积. 在每个 i 上 任取一点( ,) ii ，作乘积( ,) iii f ()1,2,in=?，并作和 1 ( ,) n iii i f = .如果各个 小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数( , )f x y在 闭区域D上的二重积分，记作( , ) D f x y d ，即 0 1 ( , )lim( ,) n iii i D f x y df = = ，其 中，( , )f x y叫做被积函数，( , )f x y d叫做被积表达式，d叫面积元素，x与y叫做积 分变量，D叫做积分区域， 1 ( ,) n iii i f = 叫做积分和. 2. 二重积分的几何意义 当),(yxf为闭区域D上的连续函数，且0),(yxf，则二重积分 D dyxf),(表示 以曲面),(yxfz =为顶，侧面以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的曲顶柱体的体积. 3. 二重积分的性质 (1) = DD dyxfkdyxkf),(),(k为常数). (2)dyxgdyxfdyxgyxf DDD =),(),(),(),(. (3)如果区域D分为两个闭区域 21,D D，则 += 12 ),(),(),( DDD dyxfdyxfdyxf. (4)如果在区域D上，( , )( , )f x yg x y，则 DD dyxgdyxf),(),(， 注：dyxfdyxf DD ),(),(. (5)设Mm,分别为),(yxf在闭区域D上的最小值和最大值，是D的面积，则 D Mdyxfm),(. (6)积分中值定理 设( , )f x y在有界闭区域D上连续，为D的面积，则存在( , )D ，使得 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 26 ),(),(fdyxf D = . 二、二重积分的计算 1. 直角坐标系 模型(1)：设有界闭区域 12 ( , ),( )( )Dx y axbxyx=，其中 12 ( ),( )xx在 , a b上连续，( , )f x y在D上连续，则 2 1 ( ) ( ) ( , )( , )( , ) bx ax DD f x y df x y dxdydxf x y dy = . 模型(2)： 设有界闭区域dycyxyyxD=),()(),( 21 ， 其中 12 ( ),( )yy在 , c d上连续，( , )f x y在D上连续，则 ( , )( , ) DD f x y df x y dxdy= 2 1 ( ) ( ) ( , ) dy cy dyf x y dx = . 2. 极坐标系 模型(1)：设有界闭区域 12 ( , ),( )( )D =，其中 1( ) ， 2( ) 在 , 上连续，( , )f x y在D上连续，则 2 1 ( ) ( ) ( , )( cos , sin ) D f x y ddfd = . 模型(2)：设有界闭区域)(0,),(=D，其中( ) 在 , 上 连续，( , )f x y在D上连续，则 ( ) 0 ( , )( cos , sin ) D f x y ddfd = . 3. 对称区域上二重积分的性质 (1)设()yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于x轴对称，则 1 0, ( ,)( , ) ( , ) 2( , ), ( ,)( , ) D D f xyf x y f x y d f x y df xyf x y = = = ， 其中 1 D为D在x轴的上半平面部分. (2)设()yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于y轴对称，则 2 0, (, )( , ) ( , ) 2( , ), (, )( , ) D D fx yf x y f x y d f x y dfx yf x y = = = ， 其中 2 D为D在y轴的右半平面部分. (3)设()yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于原点对称，则 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 27 3 0, (,)( , ) ( , ) 2( , ), (,)( , ) D D fxyf x y f x y d f x y dfxyf x y = = = ， 其中 3 D为D的上半平面或右半平面. (4)设()yxf,在有界闭区域D上连续，若D关于直线xy =对称，则 += DDD dxyfyxfdxyfdyxf),(),( 2 1 ),(),(. 三、三重积分* 1. 三重积分的定义 设函数( , , )f x y z是有界闭区域上的有界函数.将闭区域任意分成n个小闭区域 1 v， 2 v，?， n v，其中， i v表示第i个小闭区域，也表示它的体积.在每个 i v上任 取一点( ,) iii ，作乘积( ,) iiii f ()1,2,in=?，并作和 1 ( ,) n iiii i fv = . 如 果各个小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数 ( , , )f x y z在 闭 区 域D上 的 三 重 积 分 ， 记 作( , , )f x y z dv ， 即 0 1 ( , , )lim( ,) n iiii i f x y z dvfv = = . 2. 三重积分的性质 (1) =dvzyxfkdvzyxkf),(),(k为常数). (2) =dvzyxgdvzyxfdvzyxgzyxf),(),(),(),( (3) += 21 ),(),(),(dvzyxfdvzyxfdvzyxf其中 21 =，除公共边 界外， 1 与 2 不重叠. (4)若),(),(zyxgzyxf，),(zyx，则 dvzyxgdvzyxf),(),(. (5)若Mzyxfm),(，),(zyx，则MVdvzyxfmV ),(，其中V为区 域的体积. (6) dvzyxfdvzyxf),(),(. (7)积分中值定理 设),(zyxf在空间有界闭区域上连续，V为的体积，则存在( , , ) ，使 得( , , )( , , )f x y z dvfV = . 2017 考研数学基础精讲内部辅导讲义 28 3. 三重积分的计算 (1)直角坐标系 设是 有 界 闭 区 域 ， 且 xy Dyxyxzzyxzzyx=),(),(),(),( 21 ， 其 中 bxaxyyxyyxDxy=),()(),( 21