数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案

第一章导言1.假设的相对误差是的误差。解答：近似值的相对误差为错误是还有2.将相对误差设置为2%，并计算相对误差。解：如果，那么函数的条件数是再说一遍，又是23.以下数字均为四舍五入的近似值，即误差限不得超过最后一位数字的一半。试着指出它们是几个重要的数字：解决方案：它是五个有效数字；是两位有效数字。是四个有效数字；是一个五位数；这是一个两位数的数字。4.使用公式(2.3)找出下列近似值的误差极限：(1)、(2)、(3)。所有这些都是问题3中给出的数字。解决方案：5要计算球体积，相对误差限值应为1。测量半径R时允许的相对误差极限是多少？解答：球体的体积是哪个函数的条件数是又因此，测量半径r时允许的相对误差限值为6.假设，根据递归公式(n=1，2，)经过计算。如果取(5位有效数字)，计算会有多大误差？解决方案：依次被替换后，有也就是说，如果被拿走了，的错误限制为。7.找出方程的两个根，使其至少有4个有效数字()。解决方案：因此，方程的根应该是因此.有5位有效数字有5位有效数字8.当N足够大时，如何找到它？解决办法准备。然后9.一个正方形的边长大约是100厘米，如何测量才能使它的面积误差不超过？解答：正方形的面积函数是。那时，如果，然后因此，只有当测量边长的误差极限不超过0.005厘米时，面积误差才不会超过10.假设G是精确的，T的测量有第二个误差，证明当T增大时，S的绝对误差增大，而相对误差减小。解决方案：当增加时，的绝对误差增加当它增加并保持不变时，相对误差减小。11.序列满足递归关系(n=1，2，)，如果(三位有效数字)，计算误差是多少？这个计算过程稳定吗？解决方案：又又计算时间误差是指计算过程不稳定。12.用下面的等式来计算，哪一个得到最好的结果？，解决方案：设置，如果，那么。如果计算y值，则如果计算y值，则如果计算y值，则通过计算得到的结果是最好的。13.所追求的价值。如果6位函数表用于平方根，对数的误差是多少？如果用另一个等价公式代替。计算对数时有多少误差？解决办法,建立然后因此.如果使用等效公式代替然后这时，第二章插值1.这时，得到了二次插值多项式。解决方案：那么二次拉格朗日插值多项式是是-3l12.给出的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144通过线性插值和二次插值计算的近似值。解决方案：从桌子上，如果采用线性插值法计算，即：然后如果使用二次插值方法进行计算，3.对于全函数表，如果步长函数表有5位有效数字，研究线性插值逼近时的总误差范围。解决方法：当求解近似值时，误差可分为两部分。一方面，X是近似值，有5位有效数字，在后续计算过程中会产生一定的误差传播；另一方面，用插值法求函数的近似值时，线性插值法的残差项不是0，会有一定的误差。因此，总误差范围的计算应综合上述两个因素。当时，制造拿制造然后当时，线性插值多项式是插值余数是当函数表建立时，表中的数据有5位有效数字，因此在计算中存在误差传播过程。总误差范围为4.将其设置为不同的节点，并验证：(1)(2)证明(1)命令如果插值节点为，则函数的子插值多项式为。插值余数是又从以上结论可以看出获得证书。5.设置并验证：解决方案：假设这是插值节点，那么线性插值多项式是=插值余数是6.对于上面给出的等距节点函数表，如果将步长设置为h，即如果截断误差不超过，则7.如果，解决方法：根据前向差分算子和中心差分算子的定义求解。8.如果它是一个M次多项式，记住证明的K阶差是一个次多项式，(是一个正整数)。解决方案：函数的扩展是其间它也是一个次多项式阶多项式阶多项式根据这个递归过程，我们得到一个次多项式是常数当它是正整数时，9.证明证明获得证书10.证明证据：从以上结论获得证书。11.证明证明获得证书。12.如果有不同的根，证据：证据：有一个不同的真正根源和制造然后和制造然后又获得证书。13.证明顺序均值差异具有以下属性：(1)如果是，那么(2)如果是，那么证据：(1)获得证书。获得证书。14.寻求。解决方案：如果然后15.证明三次埃尔米特插值的余数是解决方案：如果、和插值多项式满足条件插值余数是根据插值条件和可以写成待定函数在哪里，现在把它看作是函数上的一个固定点。根据剩余的属性，有根据罗尔定理，存在和使也就是说，桌子上有四个不同的零。根据罗尔定理，在两个零点之间至少有一个零点，因此，至少有三个互不相同的零。以此类推，内部至少有一个零。写下作为特使又这取决于在分段三次Hermite插值中，如果节点为，则将步长设置为，即在细胞间水平上16.找出一个次数不高于4的多项式P(x)，并使它满足解决方案：通过发射器插值可以获得不高于4的多项式建立其中a是待确定的常数因此17.假设计算每个节点中点的和值，并基于从等距节点获得的分段线性插值函数来估计误差。解决方案：如果步长在单元间级别，分段线性插值函数为节点之间中点处和的值为当时，当时，当时，当时，当时，错误又制造获得的驻点是总和18.计算上部分段线性插值函数并估计误差。解决方案：在中场休息时，函数单元之间的分段线性插值函数是错误是19.计算上段的埃尔米特插值并估计误差。解决方案：在中场休息时，制造区间上函数的分段埃尔米特插值函数为错误是又20.给定的数据表如下：Xj0.250.300.390.450.53Yj0.50000.54770.62450.67080.7280尝试寻找三次样条插值并满足以下条件：解决方案：这样得到的矩阵形式的方程是2 1 M02 M12 M22 M31 2 M4为了解决这个方程组三次样条表达式为将被替换由此，开始矩阵的等式如下解这个方程组会产生三次样条表达式为将被替换21.如果是三次样条函数，证明：如果表达式是插值节点，并且证据：因此有第三章函数逼近和曲线拟合1.给出伯恩斯坦多项式和。解决方案：伯恩斯坦多项式是其间当时，当时，2.当时，核查证据：如果是，那么3.证明该函数是线性无关的证据：如果分别对上述公式的两端进行加权内积得到这个方程组的系数矩阵是希尔伯特矩阵，对称正定非奇异，只有零解a=0。该函数是线性无关的。4 .计算下列函数的和：m和n是正整数。解决方案：如果是，那么内部单调增加如果是，那么如果m和n是正整数当时，当时，内部单调下降当时，它在内部单调递减。如果当时，它在内部单调递减。5 .证明证据：6 .是的，定义询问它们是否构成内部产品。解决方案：让(c是常数，并且)然后和这不符合当前也是唯一的现状。上不能形成内积。如果是，那么那么如果是，那么和也就是说，当且仅当。因此，它可以形成一个内在的产品。7 .凌，这个试证是一个有权重的正交多项式，而且查得出来。解决方案：如果是，那么秩序，然后，因此此外，切比雪夫多项式在区间上是加权正交的这是一个加权正交多项式。又8 .对于权函数和区间，尝试寻找第一项系数为1的正交多项式解决方案：如果是这样，区间上的内积为那么，定义其间9 .尝试证明教科书公式给出的第二类切比雪夫多项式是具有上权的正交多项式。证据：如果订单，可用当时，当时，因此，再次获得证书。10 .证明了切比雪夫多项式满足微分方程证据：切比雪夫多项式是因此有获得证书。11 .假设世界是连续的，什么是零阶最佳一致逼近多项式？解决方案：闭区间上的连续性出席拿然后，总和是依次为“正”和“负”的上2个偏差点。由切比雪夫定理可知p的第零最佳一致逼近多项式。12 .选择一个常数来最小化它，并询问这个解是否唯一。解决方案：制造那么它在世界上的功能就很奇怪了。最高子项的系数是1，它是3次多项式。与0的偏差最小。因此有13 .求上的最佳一次近似多项式，并估计误差。解决方案：由此获得的最佳一次近似多项式是也就是说，误差极限是14 .求上的最佳一次逼近多项式。解决方案：由此获得的最佳一次近似多项式是15 .求区间上的三次最佳一致逼近多项式。解决方案：那么点菜吧和那么点菜吧如果它是区间上的最佳三次逼近多项式，它应该满足当.的时候，多项式和零偏差是最小的，所以此外，如果的三次最佳一致逼近多项式为，则的三次最佳一致逼近多项式为16 .找到上面关于的最佳平方逼近多项式。解决方案：如果然后呢正常方程是我能理解。因此，的最佳平方逼近多项式为17 .在指定区间内寻找函数的最佳逼近多项式；解决方案：如果此外，还有正常方程是从而解决问题因此，的最佳平方逼近多项式为如果此外，还有正常方程是从而解决问题因此，的最佳平方逼近多项式为如果此外，还有正常方程是从而解决问题因此，的最佳平方逼近多项式为如果还有正常方程是从而解决问题因此，最佳平方逼近多项式是18 .根据勒让德多项式展开，在表上得到三次最佳平方逼近多项式。解决方案：根据勒让德多项式然后因此三次最佳平方逼近多项式是19 .观察物体的线性运动，获得以下数据：时间t(s)00.91.93.03.95.0距离s(m)010305080110找到运动方程。解决方案：观察对象的运动距离和运动时间通常是线性函数，因此选择线性方程制造然后正常方程是从而解决问题因此，物体的运动方程是20 .已知的实验数据如下：192531384419.032.349.073.397.8用最小二乘法找到经验公式并计算均方误差。解决方案：如果是，那么然后正常方程是从而解决问题因此.均方误差为21 .在佛寺反应中，分解产物的浓度和从实验获得的时间之间的关系如下：时间0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55集中0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64使用最小二乘法。解决方案：观察给定数据的特征并采用等式如果两边同时取对数，那么拿