最速下降法与牛顿法及其区别

最快下降法和牛顿法及其差异摘要：无约束优化方法是优化技术中最重要、最基本的内容之一。它不仅可以直接用于求解无约束优化问题，而且许多约束优化问题往往被转化为无约束优化问题，然后用无约束优化方法求解。最速下降法和牛顿法是求解无约束问题的常用优化方法。作为基本算法，这两种算法在优化方法中起着重要的作用。其中，最速下降法又称为梯度法，它具有工作量小、存储变量少、对初始点要求低等优点。缺点是收敛速度慢，效率低。牛顿法具有收敛速度快的优点。缺点是对初始点要求严格，方向构造困难，计算复杂，占用内存大。同时，这两种算法的理论和方法渗透到很多方面，特别是在军事、经济、管理、生产过程自动化、工程设计和产品优化设计等方面。因此，研究最速下降法和牛顿法的原理和算法具有重要意义。关键词：无约束优化最速下降牛顿法无约束优化方法是优化技术中极其重要和基本的内容。它不仅可以直接用于求解无约束优化问题，而且很多约束优化问题往往被转化为无约束优化问题，然后用无约束优化方法来求解。最速下降法和牛顿-拉夫逊法是比较常见的未训练问题优化方法，这两种算法作为基本算法，在优化方法中起着重要的作用。最速下降法也称梯度法，其优点是工作量少，存储变量少，初始要求不高；缺点是收敛速度慢，效率低。牛顿法具有收敛速度快的优点；缺点是起点严格，施工难度大，方向多，计算复杂，内存大。同时，这两种算法的理论和方法深入到许多方面，特别是在军事、经济、管理、生产过程自动化、工程设计和产品优化设计中有着重要的应用。因此，研究最速下降法和牛顿-拉夫逊法的原理和算法对我们具有重要意义。关键词：无约束优化最速下降法1.算法的基本原理1.1最速下降法的基本原理在基本迭代公式中，每次迭代的搜索方向作为目标函数的负梯度方向，即每次迭代的步长作为最优步长，这样确定的算法称为最速下降法。为了解决这个问题，假设我们已经迭代了几次并且获得了第一个迭代点。从现在开始，有许多下降方法可供选择。一个非常自然的想法是，至少在附近沿着最快下降方向(即负梯度方向)搜索应该是有利的。因此，搜索方向是。为了使目标函数在搜索方向上得到最大的下降，沿着边缘进行一维搜索，得到第一个下降点，即,其中步长因子根据以下公式确定,(1)显然，该顺序可以获得点的列表，其中是由计算器任意选择的初始点。当满足某些条件时，由公式(1)生成的点序列必须收敛到的最小点。以下是为了书写方便，请记住。因此。1.2牛顿法的基本原理假设最优化问题是二阶可导且矩阵是正定的。让我们假设在下一次迭代后获得的点现在将发展成二阶泰勒公式，所以有显然，它是一个二次函数，特别是当它是一个正定二次函数时，所以它是凸函数并且有唯一的全局最小值。为了这个最小的点，使可以解决,即。(2)与基本迭代公式相比很容易知道公式(2)中的搜索方向(3)步长因子。换句话说，从沿着搜索方向的点开始用步长得到最小点。因此，它是指向近似二次函数在该点的最小点的方向。这时说道从出发点的方向。从初始点开始，每一轮从当前迭代点开始，沿该方向步进的算法称为牛顿法。2.算法的迭代步骤和流程图2.1最快下降法的迭代步骤已知目标函数及其梯度，终止极限和。(1)选择初始点并计算；准备。(2)直线搜索：计算。使用终止标准检查是否满足：如果满足，则打印最优解并结束；否则，设定，转动(2)(3)最速下降算法的流程如图所示。目标符合终止标准吗？已选择开始YN2.2牛顿迭代步骤已知目标函数及其梯度、矩阵、终止极限。(1)选择初始点；计算；准备。(2)计算。(3)求解方程。(4)计算。(5)判断是否满足终止条件：如果满足，则完成最优解的打印；否则，设定并转动(2)。牛顿法的流程如图所示。符合终止标准吗？开始已选择NY目标3.实例分析分别采用牛顿法和最速下降法求解。，选择。3.1最速下降法求解根据问题的意思，因此.纪念,然后。对于最佳步长，应该满足。然后有或者确实有。继续迭代，需要10次迭代才能满足精度要求。省略以下计算。3.2牛顿法根据问题的意思,确实有它是一个正定矩阵。又。由公式(3)计算。通过计算。计算公式为确实有。停止迭代并作为最小点输出。4.算法的优缺点分析4.1最快下降法的优缺点最速下降法的优点是算法简单，每次迭代计算量小，占用内存少，对初值要求不高。即使从一个坏的初始点开始，最速下降法通常也能收敛到一个局部极小点。然而，它具有收敛速度慢的严重缺点，尤其是当椭圆相对平坦时。4.2牛顿法的优缺点分析牛顿法收敛非常快，具有二次收敛的优点，但它有以下四个严重的缺点：(1)每次迭代不能保证下降。当矩阵不是正定时，牛顿的搜索方法将失败；(2)初始点是严格要求的，一般要求相对接近或有利于接近最小点，但这在现实生活中非常困难；(3)迭代过程中可能找不到搜索方向；(4)结构复杂，计算复杂，机器占用内存大。5.设计总结通过以上例子中两种算法的比较，可以看出牛顿法只需要一次迭代就可以得到二次正定函数的最优解，特别是在最小点附近，收敛速度快，而最速下降法在最小点附近收敛速度慢。然而，牛顿的方法也有它的缺点。它要求初始点接近最佳点。否则，牛顿法不能保证其收敛性，甚至不是下降方向。因此，我们应该把最速