高三数学总体分布的估计人教版知识精讲

高三数学高三数学总体分布的估计总体分布的估计人教版人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 总体分布的估计 1. 总体分布的概念 总体分布即总体取值的概率分布规律 2. 总体分布的估计 （1）当总体中的个体所取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同 数值及其相应的频率来表示，其几何表示即相应的条形图。即用高度表示取各值时 的频率。 （2）当总体中的个体取不同值较多，甚至无限时，其频率分布表列出的是在 各个不同区间内取值的频率，其几何表示即相应的直方图，即用图形面积的大小来 表示频率。 得到频率分布的步骤如下： 计算最大值与最小值的差 决定组距与组数 决定分点 列出频率分布表 画出分布直方图 相应的概念如下： 频数：落在各个小组内数据的个数 频率：每小组频数与数据总数的比值 直方图：以横轴表示数据，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以 各频率除以组距的商为高分别画成矩形，这样得到的直方图即频率分布直方图，图 中每个矩形的面积等于相应组的频率，各个矩形面积总和为 1，即各组频率的和等 于 1。 3. 频率分布与相应的总体分布的关系 样本容量越大，分组越多时，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概 率。当样本容量无限增大，分组无限缩小时，频率分布直方图就会无限接近一条光 滑曲线，称为总体密度曲线，这条曲线反映了总体在各个范围内取值的概率。 4. 总体特征数的估计 用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布以外，还可以用 特征数进行估计，即用样本平均数x去估计总体平均数，用关于样本的样本方差 2 S 或 2 * S来估计总体方差。 样本平均数：)( 1 21n xxx n x 样本方差：)()()( 1 22 2 2 1 2 xxxxxx n S n 或)()()( 1 1 22 2 2 1 *2 xxxxxx n S n 这里需要指出的是 2 S 与 2 * S都是总体方差的估计量，当样本容量较小时，更多 用 2 * S去估计总体方差；当样本容量较大时， 2 S 与 2 * S之间差别很小可以忽略不计。 【典型例题】 例 1 甲、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位： 2 /hmt） 品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年 甲 9.89.910.11010.2 乙 9.410.310.89.79.8 其中产品比较稳定的小麦品种是 。 解：甲乙两种冬小麦的平均单位面积的均值都为 10，即 10 甲x，10乙x 其方差分别为)04 . 0 001 . 0 01 . 0 04 . 0 ( 5 1 2 甲 S )04 . 0 09 . 0 64 . 0 09 . 0 36 . 0 ( 5 1 2 乙 S 因此 22 乙甲 SS故甲种冬小麦稳定。 【模拟试题】 1. 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一 天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（ ） A. 0.6 小时 B. 0.9 小时 C. 1.0 小时 D. 1.5 小时 2. 有同一型号的汽车 100 辆，为了了解这种汽车每耗油 1L 所行路程的情况，现 从中随机抽出 10 辆在同一条件下进行耗油 1L 所行路程试验，得到如下样本数据 （单位：km）： 13.7，12.7，14.4，13.8，13.3，12.5，13.5，13.6，13.1，13.4，并分组如下： 分组频数频率 12.45，12.95 ） 12.95，13.45 ） 13.45，13.95 ） 13.95，14.45 ） 合计 101.0 （1）完成上面频率分布表； （2）根据上表，在给定坐标系中画出频率分布直方图，并根据样本估计总体 数据落在12.95，13.95）中的概率； （3）根据样本，对总体的期望值进行估计。 参考答案 1. B 平均每人阅读时间为：9 . 0)0 . 255 . 1100 . 1105 . 02005( 50 1 2. 分组如下： （1） 分组频数频率 12.45，12.95 ） 20.2 12.95，13.45 ） 30.3