2019届湖北省荆州市高三下学期4月质量检查ⅲ数学理试题版.doc

2019届湖北省荆州市高三下学期4月质量检查（）数学（理）试题一、单选题1已知复数，若，则（ ）AB2CD5【答案】C【解析】利用复数的乘法计算，再利用复数相等得到满足的方程组，从而得到复数，再利用公式计算其模即可.【详解】可化为，因为，故，解得，所以，故.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘法以及复数相等的条件，此类问题属于容易题.2已知全集，集合，则（ ）ABCD【答案】A【解析】求出集合后再求出，利用交集的定义可求.【详解】，故，所以.故选：A.【点睛】本题考查集合的运算（交和补），还考查了一元二次不等式和一元一次不等式的解的求法，此类问题属于容易题.3用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）A24B48C60D72【答案】B【解析】先考虑个位数的排法，再考虑其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶数的个数.【详解】个位数只能为2或4，因此个位数有2种排法，其余4个位置可排余下4个不同的元素，共有种排法，由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为种.故选：B.【点睛】本题考虑排列的应用，对于排数问题，注意特殊元素、特殊位置优先考虑，本题属于基础题.4已知在数列中，且，设为的前项和，若，则（ ）A8B12C16D72【答案】B【解析】先判断数列为等差数列，再根据等差数列的性质可得的值.【详解】因为，故，故为等差数列.又，故，所以.故选：B.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.5已知函数f（x）x3+ax，若x轴为曲线yf（x）的切线，则实数a的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意可得，解方程即可得解.【详解】求导得，x轴为曲线的切线，可设切点为，则即，解得.故选：D.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了方程思想，属于基础题.6设，为所在平面内的两点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】利用向量的线性运算可得的表示形式.【详解】，化简可得.故选：C.【点睛】本题考查向量的线性运算，注意根据题设条件选择合理的基底来表示其余向量，本题属于基础题.7一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据三视图可得原几何体为个圆柱，利用公式可求其表面积.【详解】由三视图可知原几何体为个圆柱（如图所示）.其表面积为.故选：D.【点睛】本题考查三视图及几何体的表面积，根据三视图复原几何体时要根据三视图的特点对常见几何体进行合理的切割，本题属于基础题.8已知抛物线的焦点为，直线经过点，且分别交于、两点，则（ ）AB8CD【答案】B【解析】先求出抛物线的方程，再联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理和焦半径公式可求的值.【详解】因为直线经过点，所以，故即，所以.设，由可得，故，故.故选：B.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦的长度计算，一般地，过抛物线 的焦点的直线与抛物线交于，则，本题属于基础题.9已知，且满足，则“”的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】先求出圆面的面积，再求出平面区域的面积，最后利用几何概型的概率公式可得所求的概率.【详解】设平面区域（圆面），平面区域，则的面积为，如图阴影部分所示：其面积为，故所求概率为.故选：C.【点睛】本题考查几何概型的概率的计算，解决此类问题的关键在于测度的选取，测度通常是线段的长度、平面区域的面积、几何体的体积等.10已知，是双曲线的左，右焦点，其半焦距为，点在双曲线上，与轴垂直，到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2【答案】A【解析】在焦点三角形中，可通过解直角三角形得到，结合双曲线的定义可求的关系式，从而得到所求的离心率.【详解】因为与轴垂直，所以为直角三角形且直角顶点为.因为，到直线的距离为，故.因为为锐角，故，.在中，.由双曲线的定义可得，故.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解决此类问题的关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组.11将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】先求出的解析式，再根据可得或，求出后可得的最小值.【详解】，故的值域为.又的值域为，而，所以或.若，则即.同理，因此，此时.若，则即.同理，因此，此时.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的图像变换以及三角函数的性质，前者有振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量作相应的变化，在研究正弦型函数性质时，可根据复合函数的讨论方法结合正弦函数的性质求其单调区间、最值、函数图象的对称轴方程和对称中心等.12设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据函数解析式可得，求出后就、分别讨论，前者可得为上的增函数，结合可判断出，从而得到的取值范围，后者可得到与题设矛盾的结果，两者结合可得实数的取值范围.【详解】因为，故，因为，故.又，若，则，故恒成立且不恒为零，所以恒成立且不恒为零，故在为增函数， 因为存在唯一的正整数使得，故，解得.若，则，与题设矛盾，故舍去.故选：D.【点睛】本题考查导数在不等式能成立中的应用，注意根据特殊点处的函数值的符号来确定函数的性质，另外讨论导数的符号时要合理分类，本题属于中档题.二、填空题13已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，则_.【答案】【解析】利用函数的周期性和奇偶性可得，后者可利用给定的解析式求出其值.【详解】因为函数是定义在上的周期为2的奇函数，故且，所以即.又，所以.故答案为：.【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性在函数值计算中的应用，此类问题往往需要利用函数的性质把所求的函数值转化到已知范围中的某个自变量的函数值，本题属于中档题.14若满足约束条件，则的最大值为_.【答案】4【解析】画出约束条件对应的可行域，平移动直线至处可得所求的最大值.【详解】约束条件对应的可行域如图所示：平移动直线至点时，取最大值，由可得，故.故答案为：.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率.15设数列的前项和为，若，则_.【答案】39【解析】根据可得，再将逐步代入计算可得的值.【详解】因为，所以即，所以.故答案为：.【点睛】本题考查递推数列以及通项与前项和的关系，一般地，数列的通项与前项和 的关系是，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.16已知函数，则在区间上的最小值为_.【答案】0【解析】利用降幂公式和辅助角公式可得，求出的范围后结合正弦函数的性质可得所求的最小值.【详解】由可得.因为，故，所以，当且仅当时等号成立，所以.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的最值，一般地，形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、最值、图象的对称轴方程和对称中心等.三、解答题17在中，角的对边分别是，的面积为，且.（1）求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用面积公式和正弦定理可得，结合及两角和的余弦可得的值，从而求出的值.（2）利用余弦定理可得，再根据面积及正弦定理可求与的关系，从而可关于的方程，解方程后可得的值.【详解】解：（1）由题意得：，由正弦定理得：（为外接圆的半径），.（2）由正弦定理可得，又，故.由余弦定理得：，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，一般地，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.本题属于中档题.18如图，几何体中，平面平面，四边形为边长为2的正方形，在等腰梯形中，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）可证平面，从而得到.（2）以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量的夹角的余弦值后可得二面角的平面角的余弦值.【详解】证明：过点作于.为等腰梯形，则，又，又，又，故,故，.平面平面，平面平面，平面.平面，又，平面，平面，所以.（2）解：以方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，则，.设平面和平面的法向量分别为和，则即，取得：，又即，取得：，则，二面角的余弦值为.【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.19某高校进行自主招生选拔，分笔试和面试两个阶段进行，规定分数不小于笔试成绩中位数的具有面试资格.现有1000余名学生参加了笔试考试，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图.（1）求获得面试资格应划定的最低分数线；（2）从笔试得分在区间的学生中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，那么从得分在区间与各抽取多少人?（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加学校座谈交流，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予300元物质奖励，若该生分数在给予500元物质奖励，用表示学校发的奖金数额，求的分布列和数学期望.【答案】（1）250分；（2）分别在区间与各抽取5人，2人；（3）分布列详见解析，数学期望为元【解析】（1）利用频率分布直方图可得成绩的中位数，从而可得获得面试资格应划定的最低分数线.（2）利用频率分布直方图算出与上的频率之比，从而可得在各组上抽取的人数.（3）利用超几何分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【详解】解（1）由题意知的频率为：，的频率为：，所以分数在的频率为：，从而分数在的.假设该最低分数线为，由题意得解得，故面试资格最低分数线应划为250分.（2）在区间与，成绩在区间的学生中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分别在区间与各抽取5人，2人，结果是5人，2人.（3）的可能取值为1600，1400，1200，从而的分布列为160014001200（元）.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、离散型随机变量的分布列与期望，利用直方图计算中位数时注意寻找诸矩形的面积等分线，后者注意利用常见的分布（如二项分布、超几何分布等）来简化概率的计算，本题属于中档题.20已知，且，圆，点，是圆上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹为曲线.（1）讨论曲线的形状，并求其方程；（2）若，且面积的最大值为，直线过点且不垂直于坐标轴，与曲线交于，点关于轴的对称点为求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）当时，曲线是椭圆,其方程为；当时曲线是双曲线,其方程为；（2）证明详见解析，定点坐标.【解析】（1）分点在圆内和点在圆外两种情况讨论，两者都可以利用圆锥曲线的定义得到相应的曲线方程.（2）设，则直线与轴交点的横坐标为，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得为定值，从而可证直线过定点.【详解】当时，点在圆内，故曲线是以为焦点，以为长轴长的椭圆，其方程为.当时，点在圆外，曲线是以为焦点，以为实轴长的双曲线，其方程为.综上，当时，曲线是椭圆,其方程为；当时曲线是双曲线,其方程为； （2）由面积有最大值为知，曲线只可能是椭圆，由椭圆几何性质知，当位于短轴端点时其面积有最大值，因，故其短半轴长为，又因焦距为2，故曲线的方程为.设，则，联立，消去得：，直线，由椭圆的对称性知，若直线过定点，则该定点必在轴上，故令得：，所以直线过定点.【点睛】本题考查与圆锥曲线有关的轨迹方程以及椭圆中的定点问题，求轨迹方程时优先考虑动点是否满足常见曲线的定义，而定点定值等问题，需联立直线方程和椭圆方程，消去或后利用韦达定理化简目标代数式，本题属于中档题.21已知函数，其中（1）若时，函数有两个极值点，求的取值范围，并证明；（2）若时，不等式对于任意总成立，求实数的取值范围【答案】（1）；证明详见解析；（2）.【解析】（1）根据函数有两个极值点可得在上有两个不同的零点，也就是方程有两个不等实根，用判别式可求实数的取值范围，再利用韦达定理用来表示，结合的范围可证.（2）对于任意总成立等价于对于总成立，设，利用导数可求，从而可求的取值范围.【详解】解：（1），其定义域为.由已知，在上有两个零点，即方程有两个不等实根，结合得，.由二次方程根与系数的关系知，.又由于，故，故.（2）当时，注意到时总成立，得.又不等式等价于，即对于总成立.设，则，设，则，当时，是减函数；当时，是增函数.所以，故在是增函数，故，结合，所以.【点睛】本题考查函数的极值、导数在不等式中的应用，利用导数证明不等式恒成立时，注意对原不等式适当变形，从而构造新的简单函数且不含参数，利用导数研究新函数的最值后可证原不等式成立，本题属于较难题.22在直角坐标系xOy中，已知直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（t为参数），其中（0，），以原点O为点x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin0