浙江省嘉兴市2020届高三5月教学测试数学试题含答案.pdf

2020 年 5 月嘉兴高三教学测试 数学 （2020.5） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 6 页，选择题部分 2 至 3 页；非选择题 部分 3 至 6 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意： 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在 试题卷和答题纸规定的位置上。 2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答， 在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件 A，B 互斥，则 )()()(BPAPBAP+ += =+ + 若事件 A，B 相互独立，则 )()()(BPAPBAP = = 若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p， 则 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次 的概率 ), 2 , 1 , 0()1()(nkppCkP knkk nn = = = = 台体的体积公式 hSSSSV)( 3 1 2211 + + += = 其中 21,S S分别表示台体的上、下底面积， h表示台体的高 柱体的体积公式 ShV= = 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的 高 锥体的体积公式 ShV 3 1 = = 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的 高 球的表面积公式 2 4 RS = = 球的体积公式 3 3 4 RV = = 其中 R 表示球的半径 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U = =， 1,2,3A = =，B = = 4,5,6，则(UA)(UB)等于 A 1 2 3， B 4 5 6， ， C 1 2 3 4 5 6， D 7 8， 2. 双曲线 22 1 24 xy =的渐近线方程为 A2yx= = B2yx= = C 1 2 yx= = D 2 2 yx= = 3. 复数 1 1i (i为虚数单位)的共轭复数是 A 11 i 22 B 1i C 11 +i 22 D 1+i 4. 已知m，n表示两条不同的直线， 表示平面，则下列说法正确的是 A若m/ ，n/ ，则m/n B若m/ ，mn ，则n C若m ，n ，则mn D若m ，mn ，则n/ 5. 已知,Ra b ，则“1a= =”是 “直线10axy+=+=和直线 2 (2)10 xay+=+=垂直”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6. 若直线2yx= =上不存在 点( , )x y的坐标满足条件 30, 230, , xy xy xm + 则实数m的最小值为 A 1 2 B1 C. 3 2 D2 7. 已知数列 n a，满足 1 aa= =且 * 1 * 1 21,N 2 22N n n n ankk a ankk + + = = = = ， ，, , 设 n S 是数列 n a的前n 项 和，若 2020 1S= =，则a的值为 A 1 3030 B 1 2020 C 1 1515 D1 8. 分别将椭圆 1 C 的长轴、短轴和双曲线 3 C 的实轴、虚轴都增加m 个单位长度（0m ） ， 得到椭圆 2 C 和双曲线 4 C 记椭圆 12 ,C C 和双曲线 34 ,C C 的离心率分别是 1234 ,e e e e ，则 A 12 ee ， 34 ee， 3 e 与 4 e 的大小关系不确定 C 12 ee D 12 ee时， 恒有 n ct 时， 恒有 n dt = = 若( ( )0f f a ，则实数a的取值范围为 17. 四面体PABC 中，3PA = =，其余棱长都为2，动点Q在ABC 的内部（含边界） ， 设PAQ =，二面角PBCA的平面角的大小为 ，APQ 和BCQ 的面积分别 为 12 ,SS，且满足 1 2 3sin 4sin S S = =，则 2 S的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.（本题满分14分）在ABC 中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且 3 sincos0aBbA= （）求角A的大小； 俯俯视视图图 正正视视图图 1 侧侧视视图图 2 2 1 （第第12题题图图） （）若1a = =，求3bc 的取值范围 19.（本题满分15分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD是边长为2的正方形， 且2PAPB=，若点,E F分别为AB和CD的中点 （）求证：平面ABCD 平面PEF； （）若二面角PABC的平面角的余弦值为 3 6 ，求PC与平面PAB所成角的正 弦值 20.（本题满分15分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 2 n nn S + + = =. 公比大于0的等比 数列 n b的首项为 1 1b = =，且 23 20bb+=+= （）求 n a和 n b的通项公式； （）若 2 () n n n a c b = =， 求证： 123 7 . 2 n cccc+上的动点，F是抛物线的焦 点，当1s = =时， 5 4 PF = = （）求抛物线C的方程； （） 过点P作圆M： 22 (2)1xy+=+=的切线 1 l，2l， 分别交抛物线C于点,A B. 当1t 时，求PAB 面积的最小值 22.（本题满分15分）定义两个函数的关系：函数( ), ( )m x n x的定义域分别为,A B，若对 任意的 1 xA ，总存在 2 xB ，使得 12 ()()m xn x= =，我们就称函数( )m x为( )n x的“子 函数” 已知函数 3 ln 4 3 1)( x xxf + += =，3)( 234 + + + + += =axbxaxxxg，R, ba （）求函数)(xf的单调区间； （）若( )f x为( )g x的一个“子函数” ，求 22 ab+ +的最小值 x y O M （第第21题题图图） 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 1页（共页（共 8页）页） 2020 年年高三教学测试高三教学测试 数学数学参考答案参考答案（2020.5） 一一、选择题选择题（每小题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 题号题号12345678910 答案答案DBACABCBBD 8. 解析：设解析：设km2 ，则，则 211 1 11 1() cb e aa ， 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 )(1 )( )()( ka kb ka kbka a c e ， 因为因为 1 1 01 b a ，由比，由比例例性质可知性质可知1 1 1 1 1 ka kb a b ，所以，所以 12 ee ； 同理，同理， 233 3 33 1() cb e aa ， 2 3 3 2 3 2 3 2 3 4 4 4 )(1 )( )()( ka kb ka kbka a c e ， 因为因为 3 3 b a 与与 1 的大小的大小不确不确定，所以定，所以 3 3 b a 和和 ka kb 3 3 的大小的大小也也不不确确定，定， 即即无法判断无法判断 34 ,e e大小大小 9. 解解析析：由题意由题意可知可知,AOBD COBD ,所以所以60AOC，作作APOC ，则则P为为OC中中 点作点作/ /EQAP，则，则EQBCD 平平面面，所以，所以()BE CFBQQECFBQ CF 如图建立平面直角坐标系：设如图建立平面直角坐标系：设 3 (,),(1) 4 Q m mm，( ,1),(01)F nnn，则，则 1BE CFmn ，因为，因为 3 2 4 mn， 所以所以 1 1, 4 BE CF ，所以选，所以选 B 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 2页（共页（共 8页）页） 10解解析析： 1 ( )sinfxx x ，分别分别作函数作函数 1 y x 和和sinyx 如图，如图， 因为因为 1223 ,cc cc，所以（，所以（1）错误）错误， lim()0 n n c ，所以（，所以（3）正确）正确 又因为又因为( )lncosf xxx的图像大致如此的图像大致如此 又因为又因为 123 0,0,0ddd，所以（，所以（2）错误，）错误， 1 111 lnlncoscoslncoscos n nnnnnnn n a daaaaaa a 因为因为 1 lim ln0 n n n a a ，又因为，又因为 1 coscos2-2 nn aa 或或者者，所以（，所以（4）错误）错误 综上，综上，仅仅（3）正确）正确 二二、填空题填空题（本大题共（本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分）分） 11 ；312 3；2134；1614 1 2 ； 11 16 15 9616 2 1 log 3 0, e e ，174 36 17. 解析：由题意知解析：由题意知 3 ，设点，设点Q到到BC的距离为的距离为h， 则则 1 2 1 sin 3sin 2 1 4sin 2 AP AQ S S BC h ，即，即AQh ， 故点故点Q的轨迹为以点的轨迹为以点A为焦点，以为焦点，以BC为准线的的抛物线在三角形为准线的的抛物线在三角形ABC内的一段弧内的一段弧 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 3页（共页（共 8页）页） 求得点求得点Q到到BC的距离为的距离为h的最大值为的最大值为634 ， 所以所以634 2 1 max2 hBCS 18.（本题满分（本题满分 14 分）分）在在ABC 中，内角中，内角,A B C所对的边分别为所对的边分别为, ,a b c，且，且 3 sincos0aBbA. （）求角求角A的大小；的大小； （）若若1a ，求，求3bc 的取值范围的取值范围 解解析析：（） 因为因为3 sincos0aBbA， 所以所以3sinsinsincos0ABBA ， 因为因为sin0A ， 所以：所以： 3 tan 3 A ，所以，所以 6 A （） 1 2 1 sinsinsin 2 abc ABC ， 所以所以 5 32( 3sinsin)2( 3sinsin() 6 bcBCBB 5531 =2( 3sinsincoscossin)=2(sinBcos) 6622 BBBB 2sin(), 6 B 5 0B 6 ，因为，因为 2 663 B 所以所以3bc 的取值范围为的取值范围为( 1,2 19 （本题满分（本题满分 15 分）如图，在四棱锥分）如图，在四棱锥PABCD 中，底面中，底面ABCD是是边长为边长为2的正方形的正方形， 且且2PAPB，若，若点点,E F分别为分别为AB和和CD的中点的中点 （）求证：平面求证：平面ABCD 平面平面PEF； （） 若二面角若二面角PABC的平面角的余弦值为的平面角的余弦值为 3 6 ， 求求PC与平面与平面PAB所成角的正所成角的正 弦值弦值 解解析析： （）因为因为PAPB ，所以，所以ABPE ， 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 4页（共页（共 8页）页） 而而ABEF ，所以，所以AB 平面平面PEF， 又又AB 平面平面ABCD， 所以：平面所以：平面ABCD 平面平面PEF （）如图如图PEF 就是二面角就是二面角PABC 的平面的平面 角，角， 如图作如图作POEF ，垂足为，垂足为O， 则则 3 6 3 OEOE PE ，所以，所以 1 2 OE ， 3 2 OF ，则，则 11 2 OP 如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系， 则则 11311 (0,0,),(1,0),( 1,0),(1,0) 2222 PCAB 设平面设平面PAB的法向量为的法向量为( , , )nx y z ，则，则 0 0 PB n AB n ,则则 111 0 22 20 xyz x ， 令令1z ，则，则 0 11 1 x y z ，则，则(0,11,1) 是平面是平面PAB的一个法向量的一个法向量， 311 (1,) 22 PC 则则sincos, n PC n PC nPC 2 1122 6 126 20.（本题满分本题满分 15 分分）已知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S，且且 2 2 n nn S . 公比大于公比大于0的等比的等比 数列数列 n b的首项为的首项为 1 1b ，且，且 23 20bb （）求求 n a和和 n b的通项公式；的通项公式； B A P C E F （第第 19 题图题图） 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 5页（共页（共 8页）页） （）若若 2 () n n n a c b ， 求证：求证： 123 7 . 2 n cccc(N )n 解解析析： （） n an ， 1 4n n b ， （） 2 1 4 n n n c ， 2 2 2 1 22 1 1(1) (1) (1) 4 44 4 n n n n n cn n cnn , 12 1cc， 3 9 16 c ， 当当2n 时，时， 1 9 16 n n c c ， 所以所以 1 22 1234 9 1(1() 999 16 .11().()1 9 161616 1 16 n n n ccccc 1 169167 =1+1()1 71672 n 21.（本题满分（本题满分 15 分）设点分）设点( , )P s t为抛物线为抛物线 2 :2(0)Cypx p 上的动点，上的动点，F是抛物线的是抛物线的 焦点，当焦点，当1s 时，时， 5 4 PF （）求抛物线求抛物线C的方程；的方程； （）过点过点P作圆作圆M： 22 (2)1xy 的切线的切线 1 l， 2 l，分别交抛物线分别交抛物线C于点于点,A B. 当当 1t 时，求时，求PAB 面积的最小值面积的最小值. 解解析析： （）当当1s 时时， 5 24 p PFs， 所以所以 1 2 p ，故故所所求抛物线方程为求抛物线方程为 2 yx . （） 点点( , )P s t为抛物线为抛物线 2 yx 上的动点上的动点， 则则 2 st ， 设过设过点 点 2 (, )P tt 的切线为的切线为 2 ()xm ytt ， 则则 2 2 2 1 1 mtt m ，得，得 22222 (1)2 (2)(2)10tmttmt （*） ， x y O M （第第 21 题图题图） 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 6页（共页（共 8页）页） 12 ,m m是方程是方程（*）式的两个根）式的两个根，所以，所以 2 2 1212 2 2 (2) ,3 1 t t mmm mt t ， 设设 22 1122 (,),(,)A yyB yy，因直线，因直线 1 l： 2 1( )xmytt 与与抛物线 抛物线 2 :Cyx 于点于点A， ， 则则 2 1 2 ()xmytt yx 得得 22 11 0ym ym tt ，所以，所以 2 11 tym tt ，即，即 11 ymt ， 同理同理 22 ymt ， 设直线设直线AB： 1212 ()xyyyy y ， 则则 2 1212 2 1212 2 12 () 1(), 1() tt yyy y AByyyyd yy ， 又又 2 12121212 22 23 2,()() 11 tt yymmty ymt mt tt ， 所以所以 2 121212 11 () 22 PAB SAB dyytt yyy y 2 22 2 2222 12323 4 21111 tttt tt tttt 424 22 2 333 1 1 ttt t t 令令 2 10ut ， 2 411 21 PAB Su uuu ， 当且仅当当且仅当 2u ，即，即3t 时，时， PAB S 取得最小值取得最小值3 3. 22.（本题满分（本题满分 15 分）定义两个函数的关系：函数分）定义两个函数的关系：函数( ), ( )m x n x的定义域分别为的定义域分别为,A B，若对若对 任意的任意的 1 xA ，总存在总存在 2 xB ，使得使得 12 ()()m xn x ，我们就称函数我们就称函数( )m x为为( )n x的的“子子 函数函数” 已知函数已知函数 3 ln 4 3 1)( x xxf ，3)( 234 axbxaxxxg，R, ba， （）求函数求函数)(xf的单调区间的单调区间； （）若若( )f x为为( )g x的一个的一个“子函数子函数” ，求求 22 ab 的最小值的最小值 高三教学测试高三教学测试 数学数学 参考答案参考答案第第 7页（共页（共 8页）页） 解解析析： （） 3 ln 4 3 1)( x xxf 31( 12)(2 11) ( ) 4 2 141 xx fx x xxx ， 所以，函数所以，函数( )f x的单调递减区间为（的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（），单调递增区间为（3，+ ） （）解法）解法 1：因为：因为( )2,)f x 当当x 时，时，( )g x ，且，且( )g x为连续函数，只需为连续函数，只需 min ( ) 2g x， 即即( )2g x 有实数解有实数解 即即 432 10 xaxbxax，因为，因为0 x 则则 2 2 11 0