结构力学课件(华中) 7力法.ppt

第7章力法,7-1概述7-2力法的基本概念7-3超静定刚架和排架7-4超静定桁架、组合结构7-5对称结构的计算7-6超静定拱7-7支座移动、温度变化的计算7-8具有弹性支座的计算7-9超静定结构位移的计算7-10超静定结构计算的校核7-11静定、超静定结构特征比较,主要内容,1）超静定结构,拱,组合结构,7-1概述,由于有多余约束，其反力、内力不能由静力平衡条件全部确定的结构。,几何不变，有多余约束。,桁架,超静定梁,刚架,（1）超静定次数结构多余约束或多余未知力的数目，即为超静定次数。（2）确定超静定次数的方法通过去掉多余约束来确定。（去掉n个多余约束，即为n次超静定）。（3）去掉（解除）多余约束的方式,4）超静定次数确定,a、去掉或切断一根链杆去掉1个约束（联系）；,7-1概述,b、去掉一个单铰去掉2个约束；,c、切断刚性联系或去掉一个固定端去掉3个约束；,7-1概述,X3,d、将刚性连结改为单铰去掉1个约束。,注意事项,（1）对于同一超静定结构，可以采取不同方式去掉多余约束，而得到不同形式的静定结构，但去掉多余约束的总个数应相同。,（2）去掉多余约束后的体系，必须是几何不变的体系，因此，某些约束是不能去掉的。,7-1概述,举例：,X1,X2,7-1概述,X4,X3,X1,X2,X1,X2,7-1概述,X1,X2,X3,X1,X2,X3,每个无铰封闭框超三次静定,超静定次数3封闭框数=35=15,超静定次数3封闭框数单铰数目=355=10,7-1概述,（4）对于复杂结构，可用计算自由度的方法确定超静定次数组合结构：,n超静定次数；m刚片数；h单铰数；r支座链杆数。,例：确定图示结构超静定次数。,7-1概述,桁架结构：,n超静定次数；j结点数；b杆件数；r支座链杆数。例：确定图示桁架超静定次数。,7-1概述,框架结构：,n超静定次数；f封闭框格数；h单铰个数。例：确定图示结构的超静定次数。,7-1概述,7-2力法的基本概念,1）解题思路将超静定问题转化为静定问题求解,（1）确定超静定次数具有一个多余约束，原结构为一次超静定结构。（2）取基本体系去掉多余约束（链杆B），代之以多余未知力X1。,A,B,原结构,基本体系,例：图示单跨超静定梁,X1称为力法的基本未知量。,A,B,（3）求基本未知量X1,=,A,B,X1,=,+,建立变形协调方程,11：由多余未知力X1单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移1P：由荷载q单独作用时，基本结构B点沿X1方向产生的位移,由迭加原理，上式写成：1111P0变形协调方程。,基本体系与原结构在去掉多余约束处沿多余未知力方向上的位移应一致，即：10,7-2力法的基本概念,=,B,B,X1,=,+,7-2力法的基本概念,由于X1是未知的，11无法求出，为此令：11=11X1,11表示X1为单位力时，在B处沿X1方向产生的位移。,式：1111P0,可改写成：11X11P0,式中11、1P被称为系数和自由项，可用求解静定结构位移的方法求出。,一次超静定结构的力法方程,1X1,A,11X1,求系数11、自由项1P,由图乘法，得：,111P均为静定结构在已知力作用下的位移，故可由积分法或图乘法求得。,作、图，,7-2力法的基本概念,将11、1P代入力法方程，求得X1,由上式，得：,按静定结构求解其余反力、内力、绘制内力图其中：,（与所设方向一致）,11X11P0,迭加原理绘制,7-2力法的基本概念,3）力法概念小结,解题过程（1）判定超静定次数，确定基本未知量；（2）取基本体系；（3）建立变形协调方程（力法方程）；,（5）解力法方程，求基本未知量（X）；（6）由静定的基本结构求其余反力、内力、位移。,7-2力法的基本概念,力法的特点,（1）以多余未知力作为基本未知量，并根据基本结构与原结构变形协调的位移条件，求解基本未知量；（2）力法的整个计算过程自始至终都是在基本体系上进行的。因此，就是把超静定结构的计算问题，转化成了前面已学习过的静定问题；（3）基本体系与原结构在受力、变形和位移方面完全相同，二者是等价的。（4）基本体系的选取不是唯一的。,7-2力法的基本概念,（3）根据变形条件，建立力法方程,二次超静定结构的力法方程,4）力法的典型方程,多次超静定结构讨论,解：（1）超静定次数：2次（2）选择支座B的约束为多余约束，取基本体系如图所示。,例：图示一超静定结构。,7-2力法的基本概念,荷载作用,7-2力法的基本概念,（4）求系数、自由项,（5）解力法方程，求基本未知量：X1、X2。,7-2力法的基本概念,推广至n次超静定结构,（1）力法方程力法典型方程,注：对于有支座沉降的情况，右边相应的项就等于已知位移（沉降量），而不等于零。,7-2力法的基本概念,（2）系数（柔度系数）、自由项,7-2力法的基本概念,自由项iP荷载FP单独作用于基本体系时，所引起Xi方向的位移，可正、可负或为零。（3）典型方程的矩阵表示,（4）最后弯矩,7-2力法的基本概念,7-3超静定刚架和排架,1）刚架以图示刚架为例,解：判定超静定次数，选择基本体系,X2,X1,原结构为：二次超静定拆去A端的固定支座，以多余未知力X1、X2代之，其基本体系如图所示。,根据基本体系与原结构变形协调条件，建立力法方程。,由水平位移10垂直位移20,力法典型方程,得：,X1,X2,7-3超静定刚架和排架,注：计算系数和自由项时，对于刚架通常可略去轴力和剪力的影响，而只考虑弯矩一项，为此，只需绘出弯矩图。,Mp图,作基本体系的图，求系数及自由项,a,7-3超静定刚架和排架,利用图乘法，可求得：,Mp图,a,7-3超静定刚架和排架,将系数、自由项代入方程中，求得多余未知力,7-3超静定刚架和排架,求内力图（1）M图由,7-3超静定刚架和排架,迭加原理绘制,M图,（2）FQ图可由基本体系逐杆、分段定点绘制，也可利用M图绘制。,7-3超静定刚架和排架,FQ图,（3）FN图可由FQ图中取出结点，由平衡方程求得各杆FN，同杆也可以由基本体系逐杆，分段求得。,取C结点：,FN图,7-3超静定刚架和排架,说明：,1）超静定结构在载荷作用下，其内力与各杆件EI的具体数值无关，只与各杆EI的比值（相对刚度）有关；2）对于同一超静定结构，其基本结构的选取可有多种，只要不为几何可变或瞬变体系均可。然而不论采用哪一种基本体系,所得的最后内力图是一样的。,X1,X2,X2,X1,如前面的刚架：,7-3超静定刚架和排架,2）排架单层工业厂房,（1）排架结构与计算简图,结构形式,计算简图,基础,柱子,桁架,EA=,7-3超静定刚架和排架,2）排架单层工业厂房,（1）排架结构与计算简图,结构形式,计算简图,基础,柱子,桁架,EA=,7-3超静定刚架和排架,（2）计算假定,计算横向排架（受侧向力作用的排架），就是对柱子进行内力分析。通常作如下假设：,认为联系两个柱顶的屋架（或屋面大梁）两端之间的距离不变，而将它看作是一根轴向刚度为无限大（即EA=）的链杆。,计算简图,EA=,7-3超静定刚架和排架,（3）计算方法及步骤,将横梁作为多余约束，并将其切断，代之以多余反力，得到基本结构；,解力法方程，求出多余未知力；,按静定问题求作最后内力图。,利用切口处相对位移为零的条件，建立力法方程；,7-3超静定刚架和排架,（4）举例,计算图示两跨排架，作出弯矩图。EC，I25I，h13m，h210m，ME=20KNm，MH60KNm，CD杆、HG杆的EA=。,7-3超静定刚架和排架,解：（1）此排架为二次超静定，选取基本结构如图。,（2）建立力法方程。,（3）作、图，求系数及自由项。,7-3超静定刚架和排架,Mp图,10,10,3,7,7,20,60,7-3超静定刚架和排架,7-3超静定刚架和排架,由图乘法，得：,7-3超静定刚架和排架,7-3超静定刚架和排架,7-3超静定刚架和排架,（4）解力法方程，求多余未知力,解得：,（5）由迭加法绘制弯矩图,7-3超静定刚架和排架,M图,26.37,13.91,6.06,7.50,6.09,46.09,7-4超静定桁架、组合结构,（1）解题步骤及相关公式a、判定超静定次数，选取基本体系切断多余桁架杆。b、根据切口处变形协调条件，建立力法方程。切口两侧截面相对轴向线位移应为零。c、求力法典型方程中的系数和自由项。,d、解力法方程，求出多余未知力Xie、求出各杆最后轴力按迭加法求得即：,即：,7-4超静定桁架、组合结构,（2）例题,求图示超静定桁架的内力，EA为常数。,解：a、确定超静定次数，取基本体系。,原结构,一次超静定，切断BC杆,b、建立力法典型方程,由：,得：,7-4超静定桁架、组合结构,基本体系,c、求各杆的、及、,其系数、自由项为：,7-4超静定桁架、组合结构,图,图,d、解方程，求X1,e、求各杆最后的轴力,7-4超静定桁架、组合结构,FN图,其中：,2）组合结构,（1）解题要点及公式其解题步骤与桁架基本相同，但对于系数和自由项的计算略有不同。对于梁式杆计弯矩的影响，对于链杆计轴力的影响。,、的计算公式：,组合结构,7-4超静定桁架、组合结构,2）例题,求所示组合结构的内力。,解：a、取基本体系,b、列力法方程,原结构,基本体系,该结构为一次超静定，切断CD杆，代之以X1。,7-4超静定桁架、组合结构,A,由：,得：,（3）计算11、1P,7-4超静定桁架、组合结构,a/2h,a/2h,-1,（3）计算11、1P,7-4超静定桁架、组合结构,A,C,D,B,EI1,A2,A1,A3,a/2h,a/2h,-1,0,0,0,（4）解力法方程，求X1,（5）求最后的内力N、M由迭加法求得,7-4超静定桁架、组合结构,7-5对称结构的计算,1、对称结构,1）定义结构的几何形状、支承状况和各杆的刚度（EI、EA）均对称于某一轴线，这种结构被称为对称结构。,2）两类问题正对称与反对称问题,（1）正对称问题对称结构在正对称载荷作用下的情况（2）反对称问题对称结构在反对称载荷作用下的情况,7-5对称结构的计算,2、正对称问题,（a）原结构,（b）基本体系,7-5对称结构的计算,X3,力法方程：,作图，求系数与自由项：,7-5对称结构的计算,MP图,X3=1,7-5对称结构的计算,由式得：X2=0,7-5对称结构的计算,力法方程变成：,3、反对称问题,7-5对称结构的计算,力法方程：,作图，求系数与自由项：,7-5对称结构的计算,MP图,X3=1,7-5对称结构的计算,由、式得：X1=X2=0,7-5对称结构的计算,4、未知力分解与载荷分解,1）未知力分解对于对称的超静定结构，虽然选取了对称的基本结构，但若载荷是非对称的，那么，多余未知力对结构的对称轴来说却不是正对称或反对称的，因此，有关副系数不可能为零，因而，达不到简化计算的目的。对于这种情况，为使副系数尽可能多的等于零，采用将未知力分解（分组）以实现这一目的。,7-5对称结构的计算,7-5对称结构的计算,基本体系,=,基本体系,=,X1=Y1+Y2X2=Y1Y2,7-5对称结构的计算,MP图,两个独立方程,2）载荷分解,当对称结构承受一般非对称载荷时，除了可将未知力分解外，还可将载荷分解为正，反对称的两组，以实现简化计算的目的。,+,=,7-5对称结构的计算,（b）正对称,+,=,7-5对称结构的计算,q,（a）原结构,（b）反对称,例：利用对称性计算图示结构。所有杆长均为L，EI也均相同。,原结构,解：1、由于该结构的反力是静定的，求出后用反力代替约束。,2、该结构有两根对称轴，因此把力变换成对称与反对称的。,=,+,原结构=对称+反对称,7-5对称结构的计算,+,原结构,7-5对称结构的计算,7-5对称结构的计算,基本体系,反对称情况的基本体系如图所示。该结构应是6次超静定的，但由于荷载相对水平轴是反对称的，因此切开的截面处只有反对称的内力存在，即只有剪力。又由于荷载对于竖向对称轴是对称的，因此两个多余未知力应该大小相等，方向相反。综上所述，该结构在所示荷载作用下是1次超静定的。,7-5对称结构的计算,MP图,X1=1,M1图,力法方程：,后续计算省略。,两铰拱为一次超静定结构，取简支曲梁为基本体系。（2）建立力法典型方程,7-6超静定拱,1、无拉杆两铰拱计算如图所示两铰拱。,原结构,基本体系（曲梁）,（1）确定超静定次数,7-6超静定拱,原结构,（3）计算系数及自由项,在X1=1的作用下，曲梁的受力性能与拱相同，因此计算系数11时，应考虑弯矩和轴力的影响，计算公式：,7-6超静定拱,原结构,（3）计算系数及自由项,在FP的作用下，曲梁的受力性能与简支梁相同，因此计算自由项P时，只需考虑弯矩的影响，计算公式：,（4）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）,式中，、分别表示相应简支梁的弯矩和剪力。,（5）求内力水平推力X1求得后，各截面内力计算与三铰拱内力计算相同。,7-6超静定拱,2、有拉杆两铰拱,计算如图示有拉杆两铰拱。,1）特点：可避免支座受推力；2）解法：与无拉杆两铰拱相似，只是在计算11时，要计入拉杆轴向变形的影响，即:,7-6超静定拱,基本体系,EI,EA,E1A1,7-6超静定拱,基本体系,EI,EA,E1A1,由力法方程可得多余力计算公式：,任意点的内力计算公式：,7-6超静定拱,EI,EA,E1A1,结论：有拉杆两铰拱的推力要比相应无拉杆两铰拱的推力小。当拉杆的E1A1时，则有杆两铰拱的内力与无拉杆两铰拱趋于相同；而当E1A10时，则X10，拉杆拱将成为简支曲梁而丧失拱的作用与特征。设计时应加大抗杆抗拉度，以减小拱的弯矩。,L,f,FP2,FP1,无拉杆两铰拱,7-7支座移动、温度变化的计算,超静定结构有一个重要特点，就是在仅支座移动、温度改变等所有使结构发生变形的因素，都能使结构产生内力。,用力法求解支座移动、温度改变时的问题，其方法与荷载荷作用时相同，唯一的区别在于典型方程中自由项的计算不同。,1、支座移动时的计算图示刚架，设支座A发生了图示位移。,（1）判定超静定次数，取基本体系。为二次超静定问题,基本体系如图所示。,（2）由位移条件，建立力法典型方程。,7-7支座移动、温度变化的计算,基本体系,（3）计算系数与自由项系数计算同前由图乘求得。,自由项基本结构由支座移动引起的沿Xi方向的位移，即：,h,1,7-7支座移动、温度变化的计算,h,1,7-7支座移动、温度变化的计算,（4）将、代入力法方程，求得X1、X2。,（5）求弯矩,2、温度变化时计算,图示刚架各杆内侧温度升高10，外侧温度不变，各杆线膨胀系数为。EI和截面高度h均为常数。,10,（2）列力法方程：,7-7支座移动、温度变化的计算,B,原结构,10,（1）确定超静定次数一次超静定，取基本体系如图所示。,（3）求系数与自由项,7-7支座移动、温度变化的计算,L,1,（4）解方程求X1,（5）求最后弯矩和轴力,7-7支座移动、温度变化的计算,M,M图,N,N图,图示梁具有弹性支座，弹簧系数为k（单位伸长所需的力）。,（1）取基本结构一次超静定，取基本体系如图所示。,（2）弹簧处的位移,负号表示1的方向与X1相反。,（3）建立力法方程,7-8具有弹性支座的计算,基本体系,（4）求系数与自由项,作图与图，由图乘求得：,（5）回代，由力法方程求得X1：,7-8具有弹性支座的计算,L,FP/2,MP图,7-9超静定结构的位移计算,先回顾一下静定结构位移计算的步骤（荷载作用下）：画出荷载作用下的弯矩图；虚设一个单位力，并画出它的弯矩图；对两个弯矩图进行图乘，就可得到的所要的位移。对超静定结构完全可以按照上述步骤及方法进行，但这样做要多次解超静定结构。如：求图示结构B点的水平位移。,7-9超静定结构的位移计算,如：求图示结构B点的水平移。,第一步：画出MP图要用力法解一次超静定。,若结构是多次超静的，工作量将更大。,7-9超静定结构的位移计算,为了减少工作量，我们可以进行如下分析：,=,由于基本体系与原结构完全等价，因此求超静定结构上某点的位移，可以到静定的基本体系上去求，步骤如下：,1、画出基本体系在FP、X1作用下的MP图，由于X1是未知的，要画出MP图还需用力法求解；,7-9超静定结构的位移计算,例：求图示结构B点的转角，所有杆长为L，杆件EI为常数。,解：画出FP作用下的MP图，用力法求解；,对两图进行图乘，即可求得B点的转角：,基本体系上虚