极限的解法与技巧_汇总

极限的求法与技巧极限的求法与技巧 极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有 例题。例题。 1.运用极限的定义运用极限的定义 例：用极限定义证明例：用极限定义证明:1 2 23 lim 2 2 x xx x 证证: 由由 2 44 1 2 23 22 x xx x xx 2 2 2 2 x x x 取取 则当则当 时时,就有就有020 x 1 2 23 2 x xx 由函数极限由函数极限定义有定义有: 1 2 23 lim 2 2 x xx x 2.利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限 预备知识：若数列预备知识：若数列收敛，则收敛，则为有界数列，即存在正数为有界数列，即存在正数， n a n aM 使得对一切正整数使得对一切正整数 ，有，有 .nMan 此方法的解题程序为：此方法的解题程序为： 1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列单调有界；单调有界； n a 2、设、设的极限存在，记为的极限存在，记为代入给定的表达式中，则该代入给定的表达式中，则该 n aAan n lim 式变为式变为的代数方程，解之即得该数列的极限。的代数方程，解之即得该数列的极限。A 例：若序列例：若序列的项满足的项满足且且,试试 n a)0( 1 aaa), 2 , 1( , 2 1 1 n a a aa n nn 欢迎下载2 证证有极限并求此极限。有极限并求此极限。 n a 解解 由由 aa 1 a a aa a aa a a aa 1 2 1 1 2 1 1 12 2 2 1 2 1 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 需注意需注意aak .a a aa a aa a a aa k k k k k kk 2 2 2 2 1 2 1 又又 0 22 1 2 1 n n n nnn a aa a a aaa 为单调减函数且有下界。为单调减函数且有下界。 n a 令其极限为令其极限为A 由由 有：有： n nn a a aa 2 1 1 n nn n a a aa 2 1 lim 1 即即 A a AA 2 1 aA 2 aA )0(A 从而从而 .aan n lim 3.利用等价无穷小替换利用等价无穷小替换 常用的等价无穷小关系：常用的等价无穷小关系： ,arctan arcsin,tan,sin ,0 xx xxxxxx x ,1xe x ,ln1axa x , ln )1(log a x x a , 1 11x n x n 欢迎下载3 等价无穷小代换法等价无穷小代换法 设设 都是同一极限过程中的无穷小量，且有：都是同一极限过程中的无穷小量，且有： , ， 存在，存在， , lim 则则 也存在，且有也存在，且有= lim lim lim 例例:求极限求极限 22 2 0 sin cos1 lim xx x x 解解: ,sin 22 xx 2 )( cos1 22 2 x x = 22 2 0 sin cos1 lim xx x x 2 1 2 )( 22 22 xx x 注：注： 在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时 可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换 后，往往改变了它的无穷小量之比的后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数阶数” 4利用极限的四则运算法则利用极限的四则运算法则 极限的四则运算法则叙述如下：极限的四则运算法则叙述如下： 若若 Axf xx )(lim 0 Bxg xx )(lim 0 (I) )()(lim 0 xgxf xx )(lim 0 xf xx BAxg xx )(lim 0 (II)BAxgxfxgxf xxxxxx )(lim)(lim)()(lim 000 (III)若若 B0 则：则： B A xg xf xg xf xx xx xx )(lim )(lim )( )( lim 0 0 0 ,)1ln(xx , 2 1 11xx ,1)1(xx 欢迎下载4 （IV） （c 为常数）为常数）cAxfcxfc xxxx )(lim)(lim 00 上述性质对于上述性质对于时也同样成立xxx, 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、 差、积、商。差、积、商。 例：求例：求 4 53 lim 2 2 x xx x 解解: = 4 53 lim 2 2 x xx x 2 5 42 52322 5、利用两个重要的极限。、利用两个重要的极限。 1 sin lim)( 0 x x A x e x B x x ) 1 1 (lim)( 但我们经常使用的是它们的变形：但我们经常使用的是它们的变形： )( ,) )( 1 1lim()( )0)( , 1 )( )(sin lim)( )( xe x B x x x A x 例：求下列函数极限例：求下列函数极限 x a x x 1 lim) 1 ( 0 、 bx ax x cosln cosln lim)2( 0 、 )1ln( ln1 ln )1ln( ,11 u au x a a u xua x x 于是则）令解：（ a u a u u a u au x a ux u uuu x x ln )1ln( ln lim )1ln( ln lim )1ln( ln lim 1 lim 00 1 0000 故有： 时，又当 )1(cos1ln )1(cos1ln( lim)2( 0 bx ax x 、原式 欢迎下载5 1cos 1cos 1cos )1(cos1ln 1cos )1(cos1ln( lim 0 ax bx bx bx ax ax x 1cos 1cos lim 0 ax bx x 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 2 sin ) 2 ( 2 sin lim 2 sin2 2 sin2 lim a b x a x b x b x b x a x a x b x xx 6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限利用重要公式求极限或转化为函数的极限 此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子 作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的 技巧性。技巧性。 例：求例：求 . nn n n n n 1 sin 1 lim 1 解解 nn n n n n 1 sin 1 lim 1 = n n n n n n1 1 sin 1 lim 1 = n n n n n1 1 sin 1 1lim 1 = n n nn n n1 1 sin 1 1 1 1lim =11e =e 欢迎下载6 例：求极限例：求极限 . ax ax a x 1 sin sin lim 解解 ax ax a x 1 sin sin lim = ax ax a ax 1 sin sinsin 1lim = a a a a ax ax a axax sin cos cos sin1 sin 2 sin 2 cos2 1lim = a a axa a ax a ax a sin cos )(cos sin sin 2 sincos2 1lim = ctga axa a ax a ax a )(cos sin sin 2 sincos2 1lim = ctga e 2 2 sin axax 7、利用无穷小量与无穷大量的关系。、利用无穷小量与无穷大量的关系。 （I）若：）若： 则则 )(limxf0 )( 1 lim xf (II) 若若: 且且 f(x)0 则则 0)(limxf )( 1 lim xf 例例: 求下列极限求下列极限 5 1 lim x x 1 1 lim 1 x x 解解: 由由 故故 )5(lim x x 0 5 1 lim x x 欢迎下载7 由由 故故 =0) 1(lim 1 x x 1 1 lim 1 x x 8. 变量替换变量替换 例例 求极限求极限 . 分析分析 当当 时时,分子、分母都趋于分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则不能直接应用法则,注注 意到意到 ,故可作变量替换故可作变量替换. 解解 原式原式 = = (令令 ,引进新的变量引进新的变量,将原来的将原来的 关于关于 的极限转化为的极限转化为 的极限的极限.) = . ( 型型,最高次幂在分母上最高次幂在分母上) 9. 分段函数的极限分段函数的极限 例例 设设 讨论讨论 在点在点 处的极限是否存在处的极限是否存在. 分析分析 所给函数是分段函数所给函数是分段函数, 是分段点是分段点, 要知要知 是是 否存在否存在,必须从极限存在的充要条件入手必须从极限存在的充要条件入手. 解解 因为因为 欢迎下载8 所以所以 不存在不存在. 注注 1 因为因为 从从 的左边趋于的左边趋于 ,则则 ,故故 . 注注 2 因为因为 从从 的右边趋于的右边趋于 ,则则 ,故故 . 10、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限） 。 )()(lim)(lim)( )(lim)()( )()(lim)()( 00 0 0 00 afxfxfauuf axxfii xfxfxxxfi xxxx xx xx 处连续，则在 且是复合函数，又若 处连续，则在若 例：求下列函数的极限例：求下列函数的极限 （2） )1ln(1 5cos lim) 1 ( 2 0 xx xe x x 、 x x x )1ln( lim 0 1ln)1 (limln()1ln(lim )1ln( lim )1 ( )1ln( )1ln( )2( 6)0( )1ln(1 5cos lim )1ln(1 5cos )(0 1 0 1 00 1 1 2 0 2 exx x x xx x x x f xx xe xx xe xfx x x x xx x x x x x 故有：令 、由 有：故由函数的连续性定义 的定义域之内。属于初等函数解：由于 11、洛必达法则（适用于未定式极限）、洛必达法则（适用于未定式极限） 定理：若定理：若 欢迎下载9 A xg xf xg xf AA xg xf iii xgxuxgfii xgxfi xxxx xx xxxx )( )( lim )( )( lim ( )( )( lim)( 0)()()( 0)(lim, 0)(lim)( 0 0 0 00 0 00 ），则或可为实数，也可为 内可导，且的某空心邻域在与 此定理是对此定理是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的 0 0 法则。法则。 注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点： 1、要注意条件，也就是说，在没有化为要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。时不可求导。 , 0 0 2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是 求整个分式的导数。求整个分式的导数。 3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍 是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则， 否则会引起错误。否则会引起错误。 4、当、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在， )( )( lim xg xf ax 此时求极限须用另外方法。此时求极限须用另外方法。 例：例： 求下列函数的极限求下列函数的极限 )1ln( )21 ( lim 2 2 1 0 x xe x x )0, 0( ln lim xa x x a x 解：解：令令 f(x)= , g(x)= l 2 1 )21 (xe x )1n( 2 x , 2 1 )21 ()( xexf x 2 1 2 )( x x xg 22 2 2 3 )1 ( )1 (2 )(,)21 ()( x x xgxexf x 由于由于0)0()0(, 0)0()0( ggff 欢迎下载10 但但2)0(, 2)0( gf 从而运用洛必达法则两次后得到从而运用洛必达法则两次后得到 1 2 2 )1 ( )1 (2 )21 ( lim 1 2 )21 ( lim )1ln( )21 ( lim 22 2 2 3 0 2 2 1 0 2 2 1 0 x x xe x x xe x xe x x x x x x 由由 故此例属于故此例属于型，由洛必达法则型，由洛必达法则 a xx xxlim,lnlim 有：有： )0, 0(0 1 lim 1 lim ln lim 1 xa axax x x x a x a x a x = 2 2 2 2 2 0 sin cos sin lim x x x x x x 2 1 注注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。 解法二解法二: = 22 2 0 sin cos1 lim xx x x 2 1 2 2 2 sin sin 1 2 2 sin lim sin 2 sin2 lim 2 2 2 22 2 0 22 2 2 0 x x x xx x xx x xx 注：此解法利用注：此解法利用“三角和差化积法三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。配合使用两个重要极限法。 解法三解法三: 2 1sin 4 2 lim 4 sin2 lim cos1 lim sin cos1 lim 2 2 0 3 2 0 22 2 0 22 2 0 x x x x x xx xx x xx x xxxx 注注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛 必达法则必达法则 欢迎下载11 解法四解法四: 2 1 sin 2 )( lim sin cos1 lim sin cos1 lim 2 2 4 22 0 2 2 4 2 0 22 2 0 x x x x x x x x xx x xxx 注注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。 解法五解法五: 2 1 2 1 lim )( ) 2 (2 lim sin 2 sin2 lim sin cos1 lim 4 4 0 22 2 2 0 22 2 2 0 22 2 0 x x xx x xx x xx x xxxx 注注:此解法利用此解法利用“三角和差化积法三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。配合使用无穷小代换法。 解法六解法六： 令令 2 xu 2 1 sincoscos cos lim cossin sin lim sin cos1 lim sin cos1 lim 0 00 22 2 0 uuuu u uuu u uu u xx x u uux 注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。 解法七解法七: 2 1 1 1 lim sincos sin lim sin cos1 lim 2 2 0 222 2 0 22 2 0 tgx xxxx x xx x xxx 注注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。 12、 利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）利用函数极限的存在性定理（夹逼准则） 定理定理: 设在设在的某空心邻域内恒有的某空心邻域内恒有 g(x)f(x)h(x) 且有且有: 0 x Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 则极限则极限 存在存在, 且有且有)(lim 0 xf xx Axf xx )(lim 0 欢迎下载12 例例: 求求 (a1,n0) x n x a x lim 解解: 当当 x1 时时,存在唯一的正整数存在唯一的正整数 k,使使 k xk+1 于是当于是当 n0 时有时有: k n x n a k a x) 1( 及及 aa k a k a x k n k n x n 1 1 又又 当当 x时时,k 有有 k n k a k) 1( lim00 ) 1( lim 1 aa a k k n k 及及 1 lim k n k a k 0 1 0 1 lim aaa k k n k =0 x n x a x lim 13、用左右极限与极限关系、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，适用于分段函数求分段点处的极限， 以及用定义求极限等情形以及用定义求极限等情形)。 定理：函数极限定理：函数极限存在且等于存在且等于 A 的充分必要条件是左极限的充分必要条件是左极限)(lim 0 xf xx 及右极限及右极限都存在且都等于都存在且都等于 A。即有：。即有：)(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx =A Axf xx )(lim 0 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx 例：设例：设= 求求及及)(xf 1, 1 0 , 0,21 2 xx x x xx xe x )(lim 0 xf x )(lim 1 xf x 欢迎下载13 1) 1(lim)(lim)(lim 1)21 (lim)(lim 000 00 x x xx xf exf xxx x xx 解： 由由1)(lim)(lim 00 xfxf xx 1)(lim 0 xf x 不存在 由 （又 )(lim )01 ()01 ( 1lim)(lim 0) 1limlim)(lim 1 2 11 111 xf ff xxf x x xx xf x xx xxx 14、约去零因式（此法适用于、约去零因式（此法适用于）型时 0 0 , 0 xx 例例: 求求 12167 2016 lim 23 23 2 xxx xxx x 解解:原式原式= )12102(65 )2062(103 lim 223 223 2 xxxxx xxxxx x = )65)(2( )103)(2( lim 2 2 2 xxx xxx x = )65( )103( lim 2 2 2 xx xx x )3)(2( )2)(5( lim 2 xx xx x = 2 lim x 7 3 5 x x 15、利用化简来求极限、利用化简来求极限(分子有理化、分母有理化、分解、恒等变分子有理化、分母有理化、分解、恒等变 形形) 比如比如 求求 2 1 32 lim 2 x x xx 此题要用到两个知识点此题要用到两个知识点将分子有理化将分子有理化分母分解因式分母分解因式 解：解：= 2 1 32 lim 2 x x xx 1 (32)(32) lim (1)(2)(32) x xx xxx 1 11 lim 12(2)(32) x xx 欢迎下载14 通分法（适用于通分法（适用于型）型） 16、利用泰勒公式、利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则 更为方便，下列为常用的展开式：更为方便，下列为常用的展开式： 1、)( ! 2 1 2 n n x xo n xx xe 2、)( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 2 12 1 53 n n n xo n xxx xx 3、)( )!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 12 242 n n n xo n xxx x 4、)() 1( 2 )1ln( 1 2 n n n xo n xx xx 5、)( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 2nn xox n n xxx 6、)(xx1 1 1 2nn xox x 上述展开式中的符号上述展开式中的符号都有都有:)( n xo 0 )( lim 0 n n x x xo 例例:求求)0( 2 lim 0 a x xaxa x 解解:利用泰勒公式，当利用泰勒公式，当 有有0x )( 2 11xo x x 于是于是 x xaxa x 2 lim 0 = x a x a x a x )1 2 1( lim 0 欢迎下载15 = x xo a x xo a x a x )( 2 1 1)() 2 ( 2 1 1 lim 0 = ax xox a x xo a x a xx 2 1 )( 2 1 lim )( 2 lim 00 17、利用拉格朗日中值定理、利用拉格朗日中值定理 定理定理:若函数若函数 f 满足如下条件：满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续在闭区间上连续 (II)f 在在(a ,b)内可导内可导 则在则在(a ,b)内至少存在一点内至少存在一点 ,使得使得 ab afbf f )()( )( 此式变形可为此式变形可为: ) 10( )( )()( abaf ab afbf 例例: 求求 xx ee xx x sin lim sin 0 解解:令令 对它应用中值定理得对它应用中值定理得 x exf)( 即即: ) 1(0 )sin(sin)sin()(sin)( sin xxxfxxxfxfee xx 1)(0 )sin(sin sin sin xxxf xx ee xx 连续连续 x exf)( 1)0()sin(sinlim 0 fxxxf x 从而有从而有: 1 sin lim sin 0 xx ee xx x 18.利用定积分和积分中值定理求极限利用定积分和积分中值定理求极限 欢迎下载16 比如设比如设=，求，求 n x (1)(2)()nnnn n (1,2,)n lim n n x 解因为解因为 1 1 lnln(1) n n i i x nn 所以所以= 1 1 limlimln(1) n n nn i i x nn 1 0 ln(1)2ln2 1x dx 19、求代数函数的极限方法、求代数函数的极限方法 (1)有理式的情况，即若有理式的情况，即若: )0, 0(a )( )( )( 00 1 10 1 10 b bxbxb axaxa xQ xP xR n nn m mm (I)当当时，有时，有 x nm nm 0 lim )( )( lim 0 0 1 10 1 10 nm b a bxbxb axaxa xQ xP n nn m mm xx (II)当当 时有时有:0x 若若 则则 0)( 0 xQ )( )( )( )( lim 0 0 0 xQ xP xQ xP x 若若 而而 则则0)( 0 xQ0)( 0 xP )( )( lim 0 xQ xP x 若若,则分别考虑若则分别考虑若为为的的 s 重根重根,即即:0)( 0 xQ0)( 0 xP 0 x0)(xP 也为也为的的 r 重根重根,即即:)()()( 10 xPxxxP s 0)(xQ 可得结论如下：可得结论如下：)()()( 10 xQxxxQ r rs , rs , )( )(P rs , 0 )( )()( lim )( )( lim 01 01 1 10 00 xQ x xQ xPxx xQ xP rs xxxx 例：求下列函数的极限例：求下列函数的极限 欢迎下载17 50 3020 ) 12( )23()32( lim x xx x 34 23 lim 4 3 1 xx xx x 解解: 分子，分母的最高次方相同，故分子，分母的最高次方相同，故 = 50 3020 ) 12( )23()32( lim x xx x 30 50 3020 ) 2 3 ( 2 32 0) 1 (, 23)( 3 PxxxP 0) 1 (, 34)( 4 QxxxQ 必含有（必含有（x-1）之因子，即有）之因子，即有 1 的重根的重根 故有故有:)(),(xQxP 2 1 32 2 lim )32() 1( )2() 1( lim 34 23 lim 2 1 22 2 1 4 3 1 xx x xxx xx xx xx xxx (2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限 方法完全类同，这里就不再一一详述方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化在这里我主要举例说明有理化 的方法求极限。的方法求极限。 例：求例：求)(limxxxx x 解解: )(limxxxx