第二十五届 2014年 “希望杯”全国数学邀请赛培训题 初中二年级 详解

第二十五届(2014年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题,1.,无理数的定义：,无限不循环小数叫做无理数,有理数的定义：,有限和无限循环小数叫做有理数,或整数与分数统称为有理数,实数的定义：,有理数和无理数统称为实数,A.分数.B.实数.C.无理数.D.无限不循环小数.,送分题，但考点还是有2点:,是要注意到有个“不”字，这是个低级“陷阱”。但很多人都会陷下去。,不要看到C选项中的“无理数”，就不看清楚题意就选C。,是要掌握好课本中“实数”的分类和定义。就是平时强调的要背书问题。,A,分数是用分式表达成（其中a,b均为整数，且b不等于0）的有理数。,实数,有理数,无理数,分数,整数,正整数,0,负整数,正分数,负分数,自然数,正无理数,负无理数,无限不循环小数,有限小数及无限循环小数,一般有三种情况,有一定的规律，但不循环的无限小数。,这5个数中，有理数的个数是（）,A.2.B.3.C.4.D.5.,考点：要知道是无限不循环小数；,可以拆项分解成完全平方式,然后去根号，化简得出它是一个有理数；,B.,答案中用反证法证明第五个式子中的(n+4)和(n+2)不可能同时是完全平方数,相对较复杂.,可以简单想像,因为(n+4)和(n+2)只相差2,我们在自然数中是找不到两个相差是2的完全平方数。,简单证明:假设(n+4)和(n+2)都是完全平方数.令,n+4=x2,n+2=y2,x2-y2=2,(x+y)(x-y)=2,又x,y都是大于0的整数,且xy,只可能x+y=2,x-y=1解得,则n不是自然数,与假设矛盾.,3.化简(-1)n+1p2n(n为自然数）得（）,A.p2n.B.-p2n.C.-pn+2.D.pn+2.,(-1)n+1p2n,先不-1和p的值，去中括号,=(-1)n(n+1)p2n,an,幂的乘方法则：,符号叙述：,语言叙述：,幂的乘方，底数不变，指数相乘,n和(n+1)是连续的自然数，,n(n+1)必为偶数,原式=p2n,A.,积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。,4.已知：a5a3aa2a4,则实数a的取值范围是（）,A.01.C.-1a0.D.a-1.,D,在a3a两边同时乘以a(a0),可得，,a2a4,在a3a两边同时除以a(a1,a0,即ac.,最后比较a与d:,(a2)5=35=243,(d5)2=62=36,ad.,同底数幂的乘法：,aman=am+n(m、n都是正整数),同底数幂相乘,底数，指数。,不变,相加,幂的乘方，底数不变，指数相乘。,10.已知二次三项式x2-mx-8(m是整数)在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则m的值可能是（）,较传统的解法是用待定系数法,对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法.,用待定系数法解题目的一般步骤是：,1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；,2.利用恒等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程；,3.解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得到需求问题的解.,A.1.B.2.C.3.D.4.,B,x2-mx-8=(x+a)(x+b),即x2-mx-8=x2+(a+b)x+ab,a,b为整数,由1式-2式，可消去a.得,A.-1.B.1.C.D.3.,D,y0,方程两边可同时除以y.,12.方程组的解的个数是（）,A.1.B.2.C.3.D.4.,分类讨论思想,A,在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素,解答无法用统一的方法或结论,不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨论法.,分类讨论涉及初中数学的所有知识点,其关键是弄清引起分类的原因,明确分类讨论的对象和标准,分情况加以讨论求解,再将不同结论综合归纳,得出正确答案.,分类的原则是既不重复,也不遗漏!,当x0,y0时,方程组是,两个方程互相矛盾,原方程组无解;,当x0,y0时,方程组是,两个方程互相矛盾,原方程组无解;,当x0,y0的解集,同理,一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为axb0时，y随x的增大而增大,当k0时，y随x的增大而减小,当x1y2.即,y随x的增大而减小.,送分题，只是考你对“当x1y2”这句话是否理解。,17.当-1x2时，函数y=ax+6满足y10，则a的取值范围是（）,A.a-4.B.a2.C.-4a2且a0.D.-4a2.,当a=0,y=ax+6=6,符合题意.,当a0时,函数y=ax+6是一次函数.由题知，,当-1x2时，y10，则有,x=-1,y=ax+6=-a+610,解得,a-4.,x=2,y=ax+6=2a+610,解得,a2.,-4a2,且a0,综上所述，a的取值范围是,-4a2,D,18.已知反比例函数（m为常数），当x0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）,A.B.C.D.,C,当x0,py+1=(5-p)x,(4-p)x1.,p=4,y+1=x,8=x+y+z=2y+1+z2y+1,y3.5,另外z0,a=1,在直角ABE中，,BE2=AB2-AE2,BE=1,BC=EB+EC=2,平行四边形ABCD的面积是2,25.ThesideofsquareABCDis1,ABCDrotatesaroundpointA30andbecomessqusreABCD.TheareaoftheoverlappingpartofthesquareABCDandthesquareABCDis(),A.B.C.D.,译文：已知正方形ABCD边长是1，将正方形ABCD绕点A旋转30得到正方形ABCD,则正方形ABCD与正方形ABCDA重叠部分的面积是（）,英rtet,vt.,美rotet,RtABERtADE,ABE=ADE=30,B,overlapping,vlp,n.重叠，搭接,BC/x轴，AC/y轴，ABC的面积记为S，则（）,A.S=2.B.S=4.C.24.,设A点的坐标为（x1,y1）,则,B点的坐标为（-x1,-y1）,C点的坐标为（x1,-y1）,ABC的面积是,B,A,27.如图,周长是34的矩形ABCD被分成7个全等的小矩形，则矩形ABCD的面积是（）,A.208.B.140.C.70.D.196.,设小矩形的长和宽分别是x,y，则有,C,28.使代数式的值是整数的所有自然x的和是（）,A.5.B.6.C.12.D.22.,为使是整数，自然x可取0,1,2,3,5,11,它们的和是22.,D,29.若自然数p,q满足,则p除以197，余数是（）,A.0.B.73.C.157.D.19.,A,而197是质数,所以p被197整除。,30.Ifmistheintegerpartofm,thenthevalueofmis(),A.2702.B.2701.C.2700.D.2699.,B,n.整数,n.价值，价格;,30.Ifmistheintegerpartofm,thenthevalueofmis(),A.2702.B.2701.C.2700.D.2699.,B,n.整数,n.价值，价格;,31.分解因式：4x4+3x2+1=.,32.分解因式：,解法1：,解法2：,33.已知,解法1：,解法2：,本例的解法采用的是整体代入的方法,应用得当会使问题的求解过程大大简化,这是代入消元法的一种特殊类型，,整体代入法,34.已知A=20142014，B=(122014)2,则AB.（填“”、“”、“k2-m,则,用换元法，然后从分解因式和分解因数入手,看似很难，但懂得方法就简单了。,41.方程组的正整数解是.,令a5=b4=k20(k是正整数),令c3=d2=m6(m是正整数),则a=k4,b=k5;,则c=m2,d=m3;,由a-c=15,得,k4-m2=15,(k2+m)(k2-m)=151=53.,因为k,m是正整数,k2+mk2-m,则,用换元法，然后从分解因式和分解因数入手,看似很难，但懂得方法就简单了。,42.若k=47+41004+4n,并且k是一个完全平方数,则正整数n=或.,由k=(27)2+22722000+(22000)2,=(27+22000)2,得n=2000,由k=(27)2+22721004+(21004)2,a2+2ab+b2=(a+b)2,4n可以是完全平方式的b项，,也可以是完全平方式的2ab项，,=(27+21004)2,得n=506.,此题有2个考点：必须熟练掌握好完全平方公式,不能忘记分类讨论思想,43.若实数x,y满足x2+y2+x2y2-4xy+1=0,则(x+y)2=.,一条等式，要求两个未知数，首先就要联想到以前做过的利用非负数性质，即非负数+非负数+非负数=0,各非负数都等于0。或者是考虑AB=0，得出A=0或B=0。,这里的非负数可能是两个完全平方式。,将-4xy拆成两个-2xy.则原式可化为,44.若n(n0)是关于x的方程x2-mx-5n=0的根，则m-n=.,要理解“根”的定义，,若n代入得,n2-mn-5n=0,AB=0，得出A=0或B=0。,一条等式，要求两个或两个以上未知数，首先就要联想到利用非负数性质，非负数没得想，那么就考虑,n(n-m-5)=0,n0,n-m=5,即m-n=-5,45.观察下列各式：,其中的规律可用含n(n为正整数)的等式表示为.,两个连续奇数的积,46.设实数a,b满足则的值是.,AB=0，得出A=0或B=0。,分解因式非常重要,47.若,将分式的分子、分母都除以xy,得,从未知入手，化为含有已知的式子。再整体代入。,也可从已知入手，通过适当变形,再整体代换,整体代换,适当变形,48.若abc=1,则,解法1:利用1=abc,以及中间项不变.,若abc=1，求,解法1：因为abc=1，所以a，b，c都不为零,解法2：由abc=1，得将之代入原式,已学,若abc=1，解方程,解：abc=1，所以原方程可变形为,化简整理为,化简整理为,49.若a,b,c是互不相等的实数,化简,中间项作为桥梁，最主要是把b-c拆成a-b和c-a,然后再利用平方差公式。,49.若a,b,c是互不相等的实数,化简,用换元法,化简计算(式中a，b，c两两不相等)：,是否想起拆项公式的,50.若关于x的不等式axb的解集是xb的解集是,(乘法法则),将代入不等式(a-2b)x+a0，得,51.若关于x的不等式组,的解集是x5x+20,解得x4.,又x-m.,-m4,故m-4.,52.若关于x的不等式组的解集是-1x1,则,（a+b)2013=.,又知-10,且,x0y0=k.,由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),A点的坐标是,B点的坐标是,正确.,四边形PAOB的面积不会发生变化；,PA与PB始终相等；,当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.,点P在的图象上,不妨设点P的坐标是(x0,y0),其中,x00,y00,且,x0y0=k.,由题意知,C点的坐标是(x0,0),D点的坐标是(0,y0),A点的坐标是,B点的坐标是,四边形PAOB的面积不会发生变化;正确.,PA与PB的长度随P点的位置变化而变化,所以不正确.,当点A是PC的中点时,A点的坐标是,此时B点的横坐标是,所以B点恰好是PD的中点,正确.,57.如图,直角三角形AOB中,O为坐标原点,AOB=90B=30,若A在反比例函数图象上运动,那么点B在函数的图象上运动。,又点B在第四象限,解:分别过A、B作ANy轴于N，BMy轴于M，设A(a，b),A在反比例函数的图象上,ab=1,在OAN与BOM中,AON=90-BOM=OBM，ONA=BMO=90，,OANBOM,在RtAOB中,AOB=90,B=30,点B在函数的图象上运动.,本题应用到相似三角形的判定及性质，用待定系数法求函数的解析式。,57.如图,直角三角形AOB中,O为坐标原点,AOB=90B=30,若A在反比例函数图象上运动,那么点B在函数的图象上运动。,自A,B分别作y轴的垂线AN,BM,垂足分别为N,M.则,想不出面积比为什么会等于1:3,58.图7(1)是一个正三角形,分别连接这个三角形各边上的中点得到图(2),再连接图(2)中间的小三角形各边上的中点得到图(3),按此方法继续下去.前三个图形中三角形的个数分别是1个,5个,9个,那么第5个图形中三角形的个数是个；第n个图形中三角形的个数是个。,前三个图形中三角形的个数分别是1个,5个,9个,第2个图形中三角形的个数比第1个图形中三角形的个数多4个,第3个图形中三角形的个数比第2个图形中三角形的个数也多4个,于是第5个图形中三角形的个数是,9+4+4=17(个),第n个图形中三角形的个数是,1+4(n-1)=4n-3(个).,59.已知P是正方形ABCD所在平面上的点,使PAB,PBC,PCD,PDA都是等腰三角形的点P有个.,点P可能在正方形内,也可能在正方形外,A,P点有9处,如图,以正方形的各边为边向正方形的内或外作等边三角形,则这些等边三角形的顶点为所作的P点，,还有正方形的对角线的交点也满足条件.,根据正方形的性质可得,满足这样的点首先有:两条对角线的交点;,再以四个顶点为圆心以边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个根据半径相等，这些点就是要求的点,59.已知P是正方形ABCD所在平面上的点,使PAB,PBC,PCD,PDA都是等腰三角形的点P有个.,易知正方形的中心满足条件.,画出正方形平行于边的对称轴，分别以A、B、C、D为圆心，以边长为半径画弧，,这些弧线与两条对称轴有8个交点，,60.若ABC的三边长a,b,c满c3=a3+b3,则ABC是三角形.(填“锐角”、“直角”或“钝角）,显然ca,cb,所以ABC是锐角三角形.,解:a3+b3=c3,C为ABC中的最大角,由余弦定理得:,C为锐角,还要用到“余弦定理”,其实答案这样说不严谨,a3+b3=c3,显然ca,cb,61.过等腰三角形一个底角顶点的直线将等腰三角形分为两个等腰三角形，则原来的等腰三角形顶角的度数是.,分类讨论相思,设ABC中,AB=AC,A=x,如图,当AD=DB,CB=CD时,A=ABD=x,BDC=CBD=2x,ABC=ACB=3x,7x=180,如图,当AD=DB=CB时,A=ABD=x,BDC=BCD=ABC=2x,A=ABC=ACB=180,A=ABC=ACB=180,5x=180,A=36.,如果过等腰三角形的一个顶点的直线将这个等腰三角形分成两个等腰三角形，那么这个等腰三角形的顶角的度数为.,分类讨论相思,经过顶角的顶点有两种情况，,经过底角的顶点也有两种情况,当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AC=BC,AD=CD=BD，,设A=x,则ACD=A=x,B=A=x,BCD=B=x,4x=180,顶角是90,如图,AC=BC=BD,AD=CD,设B=x,A=B=ACD=x,CDB=BCD=2x,5x=180,则顶角是108.,当过底角的的顶点把它分成了两个等腰三角形，如上题,一种是顶角是36,一种是顶角是,62.如图，将周长为8的ABC沿BC方向平移1个单位，得到DEF，则四边形ABFD的周长为.,又AB+BC+AC=8，,将ABC沿边BC向右平移1个单位得到DEF，,AD=1，,BF=BC+CF,DF=AC,=BC+1,四边形ABFD的周长是,AD+AB+BF+DF,=1+AB+BC+1+AC,=1+8+1=10.,63.如图,已知ABC与CDE都是等边三角形,若AEB=145,则DBE的度数是.,易证ACEBCD,（SAS）,DBE=EBC+CBD,可能有CBD=CAE,将DBE拆分，替换,可在EBC、CBD这两个角中看是否能找到对等的角来替换,现在已有DBE=EBC+CAE,怎么能EBC+CAE扯在一起.,又跟AEB=145有关联,CAE+EAB+ABE+EBC+BCA=180,EBC+CAE=180-60-（180-145）,DBE=85,64.Asshowinginthefigure10,ifXOY=60,MisapointintheangleXOY.ThedistancefromMtoOXisMA,whichis2.ThedistancefromMtoOYisMB,whichis11.ThevalueofOMis.,64.译文：如图10，若XOY=60,点M是XOY内一点，它到OX的距离MA=2,到OY的距离MB=11,则OM=.,如图,延长AM交OY于C,则,ACO=30,在RtMBC中,MC=2MB=22,OC=2OA,在RtCAO中,AC=AM+MC=24.,OA2=OC2-AC2,=4OA2-AC2,在RtMAO中,OM2=OA2+AM2,OM=14.,65.如图，已知直线相邻两条平行直线间的距离都是1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是.,D1,B1,易发现BB1CCD1D（ASA）,由B、D分别向l4引垂线，交l4于B1、D1，,B1C=D1D=2.,又BB1=1.,66.如图，分别以ABC的AB、AC为边在形外作正方形ABEF、ACMN，若ABC的面积SABC=6，则AFN的面积SAFN=.,N,分别作NHFA于H,CGAB于G,可证明AGCAHN，（AAS）,CG=NH.,又AB=AF,SAFN=SABC=6.,67.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D处，则重叠部分AFC的面积为.,易证AFDCFB,DF=BF，,设DF=x，则AF=8-x，,在RtAFD中，(8-x)2=x2+42，,解得：x=3，,AF=AB-FB=8-3=5,68.如图,平行四边形ABCD中,A(-1,0),B(0,-2),顶点C、D在双曲线上,边AD交y轴于点E,且E是AD的中点,则k=.,过C、D两点作x轴的垂线，垂足为F、H，过C点作CGDH，垂足为G，,DHx轴,DHy轴,DG=BO=2,又AE=ED,AO=OH,而A(-1,0),故D(1,K).,ABCD是平行四边形，,AB=CD,ABC=ADC，,BODH，,OBC=EDH,CDG=ABO，,AOBCGD（AAS）,AOB=DGC=90,故C(2,k-2).,GC=AO=1,C、D在双曲线上,1k=2(k-2),解得k=4,69.如图,在菱形ABCD中,B=60，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下结论：,A,AE=AF;,CEF=CFE;,当点E、F分别为边BC、DC的中点时,AEF是等边三角形;,当点E、F分别为边BC、DC的中点时,AEF的面积最大.,其中正确的结论有个.,解:点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动,BE=DF,AB=AD,B=D,ABEADF,AE=AF,正确;,CE=CF，,CEF=CFE,正确;,BE=DF,在菱形ABCD中,B=60,AB=BC,ABC是等边三角形,当点E、F分别为边BC、DC的中点时,(三线合一）,ABE和ADF是直角三角形,且BAE=DAF=30,EAF=120-30-30=60，,AEF是等边三角形,正确;,69.如图,在菱形ABCD中,B=60，点E、F分别从点B、D出发以同样的速度沿边BC、DC向点C运动，给出以下结论：,当点E、F分别为边BC、DC的中点时,AEF的面积最大.,其中正确的结论有个.,AEF的面积,=菱形ABCD的面积-ABE的面积-ADF的面积-CEF的面积,AEF的面积是BE的二次函数,当BE=0时,AEF的面积最大,错误.,69.在梯形ABCD中,ADBC，A=90,C=45,E是CD的中点,AB=2AD=4,则BE=.,过点D、E作DFBC交BC于点F,延长AD、BE交于点G.,由题易得BF=2,C=45,CF=DF=4,BC=BF+FC=6,E是CD的中点,ADBC,DG=BC=6,在RtABG中,且BG=2BE,四边形ABFD是矩形，,70.在梯形ABCD中,ADBC，A=90,C=45,E是CD的中点,AB=2AD=4,则BE=.,A,解:如图,分别过点D、E作DFBC于点F,EHBC于点H,EHDF,DFB=DFC=EHB=EHC=90,又A=90ADBC,ABC=90度,四边形ABFD是矩形,AB=2AD=4,AD=2,BF=AD=2，DF=AB=4，,在RtDFC中,C=45,FC=DF=4,E是CD的中点,HC=EH=2,FH=2，,BH=4,在RtEBH中,分析:求和的式子中每一项都可以表示成,分析:求和的式子中每一项都可以表示成,上式对k=1,2,3,99求和，得,72.Thepositiverealnumbersolutionfortheequation,setis(x,y,z),thenx+y+z=.,译文:已知方程组的正实数解为(x,y,z),则x+y+z=.,解:令xyz=u,则,到U=6时，就有点牵强了。,73.已知两个三位数的和仍是三位数且能被9整除，则x=,y=.,能被3或9整除的数的特征是:这个数的各位上的数字之和能被3或9整除.,解：x,y都是0到9的整数，,74.方程的正整数解(x,y,z)是.,因为x,y,z是正整数,由原方程得,经检验(1,2,3)是原方程的根，,故原方程的正整数解是(1,2,3).,75.一个正整数的平方数，去掉它的个位数、十位数和百位数后，还有一个平方数。则满足要求的最大的正整数.,设n为所求,去掉n2的后三位数,得至k2,则,0n2-1000k21000k2,n32k,1000n2-1000k2322k2-1000k2=24k2,6k.,当k=6时，n192.,若n192,则,1000n2-1000k21932-100062=1249,显然不成立.,当n=192时,1922=36846满足要求.,同余两个整数a,b除以正整数m，若余数相同，则称a与b关于模m同余，记作ab(modm)，这叫做同余式。,76.若m,n是整数,且n2+3m2n2=30m2+517,求3m2n2的值.,由题设的等式，得,如果ab(modm)，则mba,77.一个三角形可以被分成两个等腰三角形,若原三角形的一个内角是36,求原三角形的最大内角的所有可能值.,设ABC中，B=36.,分类讨论思想,若分割线不过点B.,B=36,AD=AB=CD(图),最大角是A=126,B=36,AD=DB=CD(图),最大角是A=90,B=36,AD=DB=AC(图),最大角是A=72,B=36,AD=DB,DC=AC(图),最大角是A=108,B=36,AD=DC,DB=AB(图),最大角是A=108,若分割线过点B.,B=36,BD=DC,AD=AB(图),最大角是A=132,78.如图,等腰直角ABC中,ABC=90,点D在AC上，将ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90后得到CBE.若AB=4,AD:DC=1:3,求DE的长度.,中考题，但此题本来有求DCE的度数；才求DE的长度，它将第一点省了，就变得不知从哪里入手。,CBE是由ABD旋转得到的,ABDCBE,A=BCE=45,DCE=DCB+BCE=90.,在等腰直角三角形ABC中,AB=4,又AD:DC=1:3,AD=CE，且DCE=90，,求证：DA平分CDE,对任意的实数b(b0),ADBD为定值;,是否存在直线AB,使得四边形OBCD为平行四边形?若存在,求出直线的解析式;若不存在,请说明理由.,79.如图,直线y=x+b(b0)交坐标轴于A、B两点,交双曲线于