2020年重庆市直属校高考数学模拟试卷及答案（文科）（3月份）

第 1页（共 18页） 2020 年重庆市直属校高考数学模拟试卷（文科年重庆市直属校高考数学模拟试卷（文科） （3 月份）月份） 一、选择题一、选择题： （本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x29，BxZ|3x2，则 AB（） A0，1，2B1，0，1，2 C2，1，0，1，2D2，1，0 2 （5 分）在复平面内，复数 ? ?对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3 （5 分）古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 2016 石， 验得米内夹谷， 抽样取米一把， 数得 270 粒内夹谷 30 粒， 则这批米内夹谷约为 （） A222 石B224 石C230 石D232 石 4 （5 分）若实数 x，y 满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，若 zx+2y，则 z 的最大值为（） A1B2C3D4 5（5分） 设O为坐标原点， F为抛物线y22ax （a0） 的焦点， 若点? ? ?，?满足? ? ? ? ? ? ， 则 a 为（） A2B2C2D1 6 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S52S10，则? ? ?（） A12B16C12D16 7 （5 分）在ABC 中，? ?，AC2，则A 的最大值是（） A? ? B? C? ? D? ? 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （0，? ? ?）的部分图象如图所示，则函数 f（x） 的解析式为（） A? ? ? ? ? ?B? ? ? ? ? ? 第 2页（共 18页） C? ? ? ? ? ?D? ? ? ? ? ? 9 （5 分）棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G 分别为棱 AB，CC1，C1D1 的中点，则过 E，F，G 三点的平面截正方体所得截面面积为（） A ? ?B ? ? ?C? ? ?D? ? ? ? 10 （5 分）若 ? ? ，msinx+cosx，nsiny+cosy，则（ ） Am2n2Bm2n2Cmn1Dmn2 11 （5 分）已知双曲线 C：? ? ? ? ? ?1（a0，b0）右焦点为 F，过原点 O 的直线与 C 交于 P，Q 两点，若 PFOF，OFQ30，则双曲线 C 的离心率为（） A ?B2C ?D3 12 （5 分）已知函数 yf（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（，0单调递增设 a0， 当 m+na 时，恒有 f（m）+f（a）f（n） ，则 m 的取值范围是（） A （a，0）B （0，+）C （a，+）D （，0） 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 已知向量? ?与? ? 的夹角为 120， 且? ? ? ? ?，?，? ? ? ?， 则? ? ? ? ? ? 14 （5 分）古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、 木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系，若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相克的概率为 15 （5 分），分别是关于 x 的方程 log2x+x50 和 2x+x50 的根，则+ 16 （5 分）已知某圆柱轴截面的周长为 12，当该圆柱体积最大时其侧面积为 三三.解答题解答题： （本大题共（本大题共 5 小题共小题共 70 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a12，an+12an，nN*，数列bn满足 b13，b423，且 数列bnan是等差数列 （）求数列an和bn的通项公式； 第 3页（共 18页） （）令 cnbnan，求数列? ? ? ?的前 n 项和 Tn 18（12 分） 如图， 四边形 ABCD 为平行四边形， 点 E 在 AB 上， AE2EB2， 且 DEAB 以 DE 为折痕把ADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且FEB60 （）求证：平面 BFC平面 BDC； （）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ，求点 C 到平面 DEF 的距离 19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况， 随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值， 若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品现统计得到相关 统计情况如下： 乙套设备的样本的频数分布表 质量指标 值 95，100） 100，105） 105，110） 110，115） 115，120） 120，125 频数16191851 （1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为该企业生产的这种产品 的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 甲套设备乙套设备合计 合格品 第 4页（共 18页） 不合格品 合计 附： P（K2k0）0.150.100.0500.0250.010 k02.0722.7063.8415.0246.635 参考公式：? ? ?，其中 na+b+c+d 20 （12 分）已知椭圆 C：? ? ? ? ? ? ?（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线与 C 交于 M，N 两点MNF2的周长为 8，且|MN|的最小值为 3 （）求椭圆 C 的标准方程； （） 设椭圆 C 的右顶点为 A， 直线 AM， AN 分别交直线 x4 于 P， Q 两点， 当PQF1 的面积是AMN 面积的 5 倍时，求直线 MN 的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）alnxxlna （1）当 a1 时，求证：?； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 请从下面所给的请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用两题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的铅笔在答题卡上将所选题目对应的 题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一 题评分题评分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程. 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为2（cos2+3sin2）12，直线 l 的参数方程为 ? ? ? i ? ? i （t 为 参数） ，直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点 （）若点 P 的极坐标为（2，） ，求|PM|PN|的值； （）求曲线 C 的内接矩形周长的最大值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲. 23已知函数 f（x）x|xa|，aR （）当 f（2）+f（2）4 时，求 a 的取值范围； （）若 a0，x，y（，a，不等式 f（x）|y+3|+|ya|恒成立，求 a 的取值范 围 第 5页（共 18页） 2020 年重庆市直属校高考数学模拟试卷（文科年重庆市直属校高考数学模拟试卷（文科） （3 月份）月份） 一、选择题一、选择题： （本大题共（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x29，BxZ|3x2，则 AB（） A0，1，2B1，0，1，2 C2，1，0，1，2D2，1，0 【解答】解：集合 Ax|x29x|3x3， BxZ|3x23，2，1，0，1，2， AB2，1，0，1，2 故选：C 2 （5 分）在复平面内，复数 ? ?对应的点位于（ ） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 【解答】解：在复平面内，复数 ? ? ? ? ? ?1i 对应的点（1，1）位于第四 象限 故选：D 3 （5 分）古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 2016 石， 验得米内夹谷， 抽样取米一把， 数得 270 粒内夹谷 30 粒， 则这批米内夹谷约为 （） A222 石B224 石C230 石D232 石 【解答】解：粮仓开仓收粮，有人送来米 2016 石，验得米内夹谷， 抽样取米一把，数得 270 粒内夹谷 30 粒， 设这批米内夹谷约为 x 石， 则 ? ? ? ? ?掰?， 解得 x224（石） 故选：B 4 （5 分）若实数 x，y 满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，若 zx+2y，则 z 的最大值为（） A1B2C3D4 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 由 zx+2y，得 y? ? ? ? ?，平移直线 y? ? ? ? ? ?，由图象可知当直线经过点 A（0，1） 第 6页（共 18页） 时， 直线 y? ? ? ? ? ?的截距最大，此时 z 最大， 代入目标函数得 z2 故选：B 5（5分） 设O为坐标原点， F为抛物线y22ax （a0） 的焦点， 若点? ? ?，?满足? ? ? ? ? ? ， 则 a 为（） A2B2C2D1 【解答】解：因为 O 为坐标原点，F 为抛物线 y22ax（a0）的焦点，点 ? ? ? ，?； F（? ?，0） ； ? ? ?（? ?，a） ，? ? ?（0，a） ； ? ? ? ? ? ? ?a2； a2 故选：C 6 （5 分）设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S52S10，则? ? ?（） A12B16C12D16 【解答】解：由 S52S10，可知 q1， 则 ? ?（1q 5）2? ? ?（1q 10） ， 1+q5? ? ?， q5? ? ?， 第 7页（共 18页） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?16， 故选：D 7 （5 分）在ABC 中，? ?，AC2，则A 的最大值是（） A? ? B? C? ? D? ? 【解答】解：由余弦定理可得，cosA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 当且仅当 c? ? ?即 c1 时，取等号，此时 cosA 最小， 又因为 ycosx 在（0，）单调递减， 所以此时 A 取得最大值? ? ? 故选：C 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （0，? ? ?）的部分图象如图所示，则函数 f（x） 的解析式为（） A? ? ? ? ? ?B? ? ? ? ? ? C? ? ? ? ? ?D? ? ? ? ? ? 【解答】解：根据函数 f（x）Asin（x+） （0，? ? ?）的部分图象， 根据周期性可得? ? ? ? ? ? ? ? ?，2 可再根据函数的最值得 A1 若 A1，由五点法作图可得 2? ? ? ? ? ? ，? ? ? ，不满足条件， 故 A1，由五点法作图可得 2? ? ? ? ? ?，? ? ?，f（x）sin（2x ? ?） ， 故选：D 9 （5 分）棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E，F，G 分别为棱 AB，CC1，C1D1 第 8页（共 18页） 的中点，则过 E，F，G 三点的平面截正方体所得截面面积为（） A ? ?B ? ? ?C? ? ?D? ? ? ? 【解答】解：取 BC 中点 P，A1D1中点 M，AA1中点 N，连结 EP、PF、FG、GM、MN、 NE， 则 EPMG，PFMN，GFEN， 且 EPPFFGGMMNHE? ? ? ? ? ? ， 六边形 EPFGMNE 是正六边形， 过 E，F，G 三点的平面截正方体所得截面为正六边形 EPFGMNE， 过 E，F，G 三点的平面截正方体所得截面面积为： 6（? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?）? ? ? ? 故选：C 10 （5 分）若 ? ? ，msinx+cosx，nsiny+cosy，则（ ） Am2n2Bm2n2Cmn1Dmn2 【解答】解：m2（sinx+cosx）21+sin2x，n2（siny+cosy）21+sin2y， ? ? ， ? ? ?， 0siin2xsin2y1， m2n2 第 9页（共 18页） 故选：B 11 （5 分）已知双曲线 C：? ? ? ? ? ?1（a0，b0）右焦点为 F，过原点 O 的直线与 C 交于 P，Q 两点，若 PFOF，OFQ30，则双曲线 C 的离心率为（） A ?B2C ?D3 【解答】解：双曲线 C：? ? ? ? ? ?1（a0，b0）右焦点为 F，过原点 O 的直线与 C 交于 P，Q 两点，若 PFOF，OFQ30，可得 P（c，? ? ? ） ，F（0，c） ，取左焦点 F（c，0） ，连接 QF，可得： ? ? ? ? ? ? ， 即? ? ? ? ? ? ， 解得 e? 故选：C 12 （5 分）已知函数 yf（x）是定义在 R 上的奇函数，且在（，0单调递增设 a0， 当 m+na 时，恒有 f（m）+f（a）f（n） ，则 m 的取值范围是（） A （a，0）B （0，+）C （a，+）D （，0） 【解答】解：根据题意，函数 yf（x）为定义在 R 上的奇函数，则有 f（0）0， 又由 f（x）在在（，0单调递增，则在0，+）单调递增， 则 f（x）在 R 上为增函数，则 f（a）0， 当 m0 时，nama，即 f（n）f（a）f（m） ，f（m）+f（a）f（n）不恒成立， 当 m0 时，na，此时 f（m）+f（a）f（a）f（n） ，f（m）+f（a）f（n）不成立， 当 m0 时，naxa，此时不能满足 f（m）+f（a）f（n）恒成立， 故 x 的取值范围为（0，+） ； 故选：B 第 10页（共 18页） 二、填空题二、填空题： （本大题共（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知向量? ?与? ? 的夹角为 120，且? ? ? ? ?，?，? ? ? ?，则? ? ? ? ? ? 5 【解答】解：因为向量? ?与? ? 的夹角为 120，且? ? ? ? ?，?，? ? ? ?， 所以：|? ?|? ? ? ?； 则? ? ? ? ? ? ? ?cos12010（ ? ?）5； 故答案为：5 14 （5 分）古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、 木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系，若从 5 类元素中任选 2 类元素，则 2 类元素相克的概率为 ? ? 【解答】解：如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系， 从 5 类元素中任选 2 类元素， 基本事件总数 n? ? ? ?10， 其中 2 类元素相克包含的基本事件个数 m? ? ? ?5， 则 2 类元素相克的概率为 P? ? ? ? ? ? ? ? 故答案为：? ? 15 （5 分），分别是关于 x 的方程 log2x+x50 和 2x+x50 的根，则+5 第 11页（共 18页） 【解答】解：分别作出函数 ylog2x，y2x，y5x 的图象，相交于点 P，Q log25，25 而 ylog2x（x0）与 y2x互为反函数，直线 y5x 与直线 yx 互相垂直， 点 P 与 Q 关于直线 yx 对称 25 +5 故答案为：5 16 （5 分）已知某圆柱轴截面的周长为 12，当该圆柱体积最大时其侧面积为8 【解答】解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h 4r+2h12，得 h62r 圆柱体积 Vr2hr2 （62r） rr （62r） （r+r+62r） 3? ? ?掰 ?8 当且仅当 r62r，即 r2 时取等号 此时 h2，则圆柱的侧面积 S2rh8 故答案为：8 三三.解答题解答题： （本大题共（本大题共 5 小题共小题共 70 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a12，an+12an，nN*，数列bn满足 b13，b423，且 数列bnan是等差数列 （）求数列an和bn的通项公式； （）令 cnbnan，求数列? ? ? ?的前 n 项和 Tn 【解答】解： （）由 a12，an+12an，nN*，可知： 数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 第 12页（共 18页） an22n 12n，nN* 由题意，设等差数列bnan的公差为 d， b1a1321，b4a423247， 3d（b4a4）（b1a1）716， 解得 d2， bnan1+2（n1）2n1， bnan+2n12n+2n1，nN* （）由（）知，cnbnan2n1 bn ? ? ?2n+2n1 ? ? ?2n+2n1 ? ?（ ? ? ? ?） ， Tn（b1 ? ?）+（b2 ? ?）+（bn ? ?） 21+1 ? ?（1 ? ?）+2 2+3? ?（ ? ? ? ?）+2 n+2n1? ?（ ? ? ? ?） （21+22+2n）+1+3+（2n1） ? ?（1 ? ?）+（ ? ? ? ?）+（ ? ? ? ?） ? ? ? ? ? ? ?（1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?） 2n+12+n2 ? ?（1 ? ?） 2n+1+n2 ? 2 18（12 分） 如图， 四边形 ABCD 为平行四边形， 点 E 在 AB 上， AE2EB2， 且 DEAB 以 DE 为折痕把ADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且FEB60 （）求证：平面 BFC平面 BDC； （）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ，求点 C 到平面 DEF 的距离 【解答】解： （）证明：DEAB，DEEB，DEEF， EBEFE，DE平面 BEF， BF平面 BEF，DEBF， AE2EB2，EF2，EB1， 第 13页（共 18页） FEB60，BF? ? ? ? ? ? ?掰? ?， EF2EB2+BF2，FBEB， DEBEE，BF平面 BCDE， BF平面 BFC，平面 BFC平面 BDC （）解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过 B 作 AB 的垂线为 y 轴，BP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 设 DEa，则 D（1，a，0） ，E（1，0，0） ，F（0，0， ?） ，? ? ?（1，a， ?） ， 直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ， 直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 ? ， 平面 BCDE 的法向量 ? ?（0，0，1） ， 直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 ? ? ， |cos ?，? ? |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 a2， D（1，2，0） ，C（2，2，0） ，? ? ?（0，2，0） ，? ? ?（1，2， ?） ，? ? ? （3，0，0） ， 设平面 EDF 的法向量? ? ?（x，y，z） ， 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，取 z1，得? ? ?（ ?，?，?） ， 点 C 到平面 DEF 的距离 d? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19 （12 分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况， 随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本，检测一项质量指标值， 若该项质量指标值落在100，120）内，则为合格品，否则为不合格品现统计得到相关 第 14页（共 18页） 统计情况如下： 乙套设备的样本的频数分布表 质量指标 值 95，100） 100，105） 105，110） 110，115） 115，120） 120，125 频数16191851 （1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为该企业生产的这种产品 的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关 甲套设备乙套设备合计 合格品 不合格品 合计 附： P（K2k0）0.150.100.0500.0250.010 k02.0722.7063.8415.0246.635 参考公式：? ? ?，其中 na+b+c+d 【解答】解： （1）根据频率直方图知，甲套设备产品合格品为 （0.036+0.044+0.056+0.036）55043， 计算甲套设备产品的合格率为? ? ?0.86； 根据频率分布表知，乙套设备产品合格品为 6+19+18+548， 计算乙套产品的合格率为? ? ?0.96； 第 15页（共 18页） 且 0.960.86，所以乙套设备产品的合格率大，设备更优秀； （2）由此填写列联表如下； 甲套设备乙套设备合计 合格品434891 不合格品729 合计5050100 将列联表中的数据代入公式计算得 K2? ?掰? ? ?3.053； 且 3.0533.841， 所以没有 95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择 有关 20 （12 分）已知椭圆 C：? ? ? ? ? ? ?（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1 的直线与 C 交于 M，N 两点MNF2的周长为 8，且|MN|的最小值为 3 （）求椭圆 C 的标准方程； （） 设椭圆 C 的右顶点为 A， 直线 AM， AN 分别交直线 x4 于 P， Q 两点， 当PQF1 的面积是AMN 面积的 5 倍时，求直线 MN 的方程 【解答】解： （1）根据椭圆的定义可得：MF1+MF22a，NF1+NF22a， 则MNF2的周长MN+MF2+NF2MF1+NF1+MF2+MF24a8，解得 a2， 又因为|MN|的最小值为 3，所以? ? ? ? ?，解得 b23， 所以椭圆的标准方程为? ? ? ? ? ?， （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，P（4，y3） ，Q（4，y4） 设直线 MN 的方程为 xmy1，联立 ? ? ? ? ? ? ? ? ?，整理得（3m 2+4）y26my90， 则 y1+y2? ? ?，y1y2? ? ?， 因为 A，M，P 三点共线，? ? ?（x12，y1） ，? ? ?（6，y3） ， 所以? ? ? ? ? ，即有 y3（x12）6y1，解得 y3? ? ?， 第 16页（共 18页） 同理，根据 A，N，Q 三点共线可得 y4? ? ?， ? ? ? ?（41）|PQ|? ? ?|y3y4|，SAMN? ? ? ?（2+1）|y1y2|? ? ?|y1y2|， 则由PQF1的面积是AMN 面积的 5 倍，可得|y3y4|5|y1y2|， 即 6| ? ? ? ?|6| ? ? ? ?|6| ? ?|5|y1y2|， 代入 y1+y2? ? ?，y1y2? ? ?， 得 ? ? ? ? ? ? ?5，化简得 3m26，解得 m ?， 所以直线 MN 的方程为 x ?y1，即 y ? ? （x+1） 21 （12 分）已知函数 f（x）alnxxlna （1）当 a1 时，求证：?； （2）若 f（x）有两个零点，求 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：当 a1 时 f（x）lnx，定义域（0，+） ， 令 g（x）lnx?，则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， 当 x4 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减，当 0x4 时，g（x）0，函数 g （x）单调递增， 故当 x4 时，g（x）取得最大值 g（4）ln420， 所以 g（x）lnx?0 即 lnx?； （2）解：由题意 a0，由题意 f（x）alnxxlna0 即? ? ? ? ? 有 2 个零点， 令 h（x）? ? ? ，则 ? ? ? ? ， 当 xe 时，h（x）0，函数单调递减，当 0xe 时，h（x）0，函数单调递增， 故当 xe 时，h（x）取得最大值 h（e）? ? ?， 又 x+时，h（x）0，x0 时，h（x）0， 故 0 ? ? ? ?， 因为 a0，故 lna0， 而? ? ? ?可得 ae， 结合 h（x）? ? ? 的图象可得 a1 且 ae 第 17页（共 18页） 故 a 的范围（1，e）（e，+） 请从下面所给