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文档简介

圆幂与根轴，几何综合问题选讲,1,与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。首先我们有幂的定义：从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于圆周的幂。若A点在圆外，A点的幂等于从A点所引圆周切线的平方，由相交弦定理及割线定理，知道点A的幂为定值。,根轴,2,不难证明，幂有下列两个性质,（1）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。,（2）：点A对于以O为圆心的圆周的幂，等于OA及其半径的平方差。,由此，我们有定理1：对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。,3,定义：两圆等幂点的轨迹，称为两圆的根轴或等幂轴。,定理2：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线，由于两圆的交点对于两圆的幂都是O，所以，它们位于根轴上。根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线,定理3：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线.,这由幂的定义，可立即推出：,定理4：若三个圆两两不同心，则其两两的根轴相交于一点，或互相平行。若这三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上。这一点，称为三圆的根心。,显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行。当三个圆的圆心不共线时，根心存在。,4,5,6,7,8,9,10,11,12,根轴及其应用,根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于根轴和共轴圆系易于构造和计算，不少涉及圆的解析几何问题，若运用根轴知识来解决，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，容易掌握。,13,14,1
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