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文档简介

1.3.1函数的单调性与导数,1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).,1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0(或f(x)0;当-1x13时,()0;当x=-1或x=13时,()=0;f(x)有唯一的一个负零点.试画出函数y=f(x)的大致图象.分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f(x)的符号,可以得到函数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函数y=f(x)的大致图象.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时,要注意抓住各自的关键要素.对原函数,我们重点考察其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应考察其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致.,题型一,题型二,题型三,题型四,解析:由f(x)的增减性与f(x)的正负之间的关系进行判断,当x(2,4)时,f(x)0,f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.2.当求得的单调区间不止一个时,单调区间之间要用“,”隔开,或用“和”相连.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,故f(x)的单调递增区间为,2和(0,+),单调递减区间为2,0.综上所述,当a=0时,f(x)的单调递增区间为(0,+),单调递减区间为(-,0);当a-1.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思先由函数f(x)在区间(a,b)内单调递增(递减)推出f(x)0(f(x)0)在区间(a,b)内恒成立,再利用分离参数或函数性质求解恒成立问题,对等号成立可单独验证说明.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析易错点:误解充要条件而致错【例4】已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,求a的取值范围.错解:求函数f(x)的导数,即f(x)=3ax2+6x-1.当f(x)0时,f(x)是减函数,则f(x)=3ax2+6x-10(xR)恒成立.故0,0,解得a-3.错因分析:“f(x)0(x(a,b)”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的充分不必要条件,在解题过程中误认为是充要条件.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:求函数f(x)的导数,即f(x)=3ax2+6x-1.当f(x)0时,f(x)是减函数,则f(x)=3ax2+6x-10(xR)成立.故0,0,解得a-3.当a=-3时,f(x)=-3x3+3x2-x+1=3133+89,易知此时函数f(x)在R上也是减函数.综上,a的取值范围是a-3.,反
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