一数学归纳法 (2).ppt

数学归纳法,选修4-5第四讲,郑圳垚,归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。,归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。,（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。,新知讲解,一个盒子中有4个小球，如何验证它们都是红色的？,问题情境,完全归纳法,从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”,万百千的笑话,问题情境,万百千在学习上犯了什么错误?,犯了不完全归纳法的错误,一二三的写法只是特殊情况，并不是所有的字都是这样写的，他根据这几个特殊字的写法推断出所有的字都这样写就错了。,问题情境,法国的数学家费马（PierredeFermat）(1601年1665年)。十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称。,数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例,费马观察到：,问题情境,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。,不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。,新知讲解,必须寻找一种用有限个步骤，就能处理完无限多个对象的方法。,如何解决不完全归纳法存在的问题呢？,多米诺骨牌演示,新知引入,观察:,-1+3=_-1+3-5=_-1+3-5+7=_-1+3-5+7-9=_,2,-3,4,-5,由此猜想:,-1+3-5+(-1)n(2n-1)=_,(-1)nn,新知引入,多米诺骨牌演示,新知引入,在这个假设下再考虑当n=k+1时，命题是否成立.,证明:(1)当n=1时,1=(1)nn,命题成立。,(2)假设当n=k时，命题成立即1+35+（1）k（2k1）（1）kk,用数学归纳法证明：当nN+时，1+35+（1）n（2n1）（1）nn,新知讲解,当n=k+1时1+35+(1)k（2k1)+(1）k12(k+1)1,+(1)k12(k+1)1,（1）k1(k+1),所以当n=k+1时，命题成立。,由（1）（2）可知，1+35（1）n（2n1）（1）nn,利用假设,凑结论,从n=k到n=k+1有什么变化,（1）kk,（1）k1k2(k+1)1,新知讲解,一般地，证明一个与自然数有关的命题，可按下列步骤进行：,（2）假设n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,由(1)(2)可知,命题对从n0开始的所有自然数都成立。,（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。,（归纳基础）,(归纳推理),新知讲解,数学归纳法,找准起点奠基要稳,用上假设递推才真,写明结论才算完整,用框图表示为：,验证n=n0时命题成立。,若n=k(kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。,命题对所有的自然数n(nn0)都成立。,归纳基础,归纳推理,注：两个步骤,一个结论,缺一不可,新知讲解,例题讲解,例1证明：能够被6整除。,（1）当n=1时，命题成立。,（2）假设当n=k（k1）时，命题成立,当n=k+1时，命题成立.,由(1)(2)知,命题对一切正整数成立.,明确初始值n0，验证真假。（必不可少）“假设n=k(kn0)时命题正确”，写出命题形式。证明“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。(注意用上假设)要作结论,用数学归纳法证明恒等式注意事项：,例题讲解,例2平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上。过这些点中任意两点作直线，这样的的直线共有多少条？证明你的结论。,猜想：过n个点（任意三点不共线）中任意两点作直线，直线的条数共有,课后练习,1.用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n2,证明：(1)当n=1时，1=1，命题成立。,(2)假设当n=k(k1)时，命题成立,即1+3+5+(2k-1)=k2,当n=k+1时,1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1,=k2+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2,所以当n=k+1时命题成立。,由（1）（2）知，命题对一切正整数成立。,3.用数学归纳法证明14+27+310+n(3n+1)=n(n+1)2,证明：(1)当n=1时，14=122，命题成立。,(2)假设当n=k(k1)时，命题成立,即14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,当n=k+1时,14+n(3n+1)+(k+1)3(k+1)+1,=k(k+1)2+(k+1)3(k+1)+1=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)(k+1)+12,所以当n=k+1时命题成立。,由（1）（2）知，命题对一切正整数成立。,课后练习,5.凸n边形有_条对角线.,证明：(1)当n=3时，三角形没有对角线，命题成立。,(2)假设当n=k(k3)时，命题成立,即凸k边形有1/2k(k-3)条