一次函数一反比例函数的综合应用个性化辅导讲义

个性化辅导讲义学生： 科目： 数学 第 单元第 节第 课时 教师： 唐永海 课 题一次函数与反比例函数的综合应用教学目标1掌握一次函数和反比例函数的定义和性质，会画图像。2会求一次函数和反比例函数的解析式。3、会用一次函数和反比例函数解决实际问题。重点、难点1、会求一次函数和反比例函数的解析式。2、会用一次函数和反比例函数解决实际问题。考点及考试要求1、会求一次函数和反比例函数的解析式。2、会用一次函数和反比例函数解决实际问题。教学内容知识框架（1）一次函数的形式 ，正比例函数的形式 反比例函数的三种形式： 、 、 。（2）一次函数的图像与性质： 一次函数的图像为 。当k0时，图像在 象限内，y随x的增大而 。当k0时，图像在 象限内，y随x的增大而 。反比例函数的图像与性质： 反比例函数的图像为 。当k0时，图像在 象限内，y随x的增大而 。当k0时，图像在 象限内，y随x的增大而 。（3）中，k的几何意义：如图，过双曲线上任意一点P（x，y）作x轴，y轴的垂线PM,PN，所得矩形PMON的面积 ，SPOM=SPON= .考点一：确定函数表达式求交点坐标例题1：已知反比例函数和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过（a，b）和（a+k，b+k+2）两点（1）求反比例函数的解析式；（2）已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点的坐标分析：（1）由一次函数y=2x1的图象经过（a，b）和（a+k，b+k+2）两点，可得方程组：，解此方程组，即可求得k的值，继而可求得反比例函数的解析式；（2）联立反比例函数与一次函数得：，解此方程组即可求得A点的坐标解答：解：（1）一次函数y=2x1的图象经过（a，b）和（a+k，b+k+2）两点，将b=2a1代入，的2（a+k）1=2a1+k+2，解得：k=2，故反比例函数的解析式为：y=；（2）联立反比例函数与一次函数得：，即=2x1，解得：x=或x=1，A在第一象限，x=1，y=1，A点的坐标为（1，1）点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题此题难度适中，注意掌握待定系数法求函数解析式，注意掌握方程思想的应用针对性练习已知一次函数y=x+2与反比例函数y=，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）（1）试确定反比例函数的表达式；（2）若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标解答：解：（1）一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），5=k+2，k=3，反比例函数的表达式为y=（2）由消去，得x2+2x3=0，即（x+3）（x1）=0，x=3或x=1，可得y=1或y=3，于是或；点Q在第三象限，点Q的坐标为（3，1）考点二：一次函数与反比函数的图像例题2：已知一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，则反比例函数的图象在（）A第一、二象限B第三、四象限C第一、三象限D第二、四象限分析：先根据一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限判断出k、b的符号，再根据反比例函数的性质进行解答即可解答：解：一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，k0，b0，kb0，比例函数的图象在二、四象限故选D点评：本题考查的是反比例函数的性质及一次函数的图象与系数的关系，先根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键针对练习：已知反比例函数y=的图象如图所示，则一次函数y=kx+k的图象经过（）A一、二、三象限B二、三、四象限C一、二、四象限D一、三、四象限解答：解：反比例函数y=的图象在第一、三象限，k0，一次函数y=kx+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴的上方，即它的图象经过第一、二、三象限故选A 考点三：一次函数与反比函数的面积问题例题三：如图，直线y=x1与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A的坐标为（1，m）（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P（n，1）是反比例函数图象上一点，过点P作PEx轴于点E，延长EP交直线AB于点F，求CEF的面积分析：（1）将点A的坐标代入直线解析式求出m的值，再将点A的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，继而得出反比例函数关系式；（2）将点P的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P的横坐标，将点P的横坐标和点F的横坐标相等，将点F的横坐标代入直线解析式可求出点F的纵坐标，将点的坐标转换为线段的长度后，即可计算CEF的面积解答：解：（1）将点A的坐标代入y=x1，可得：m=11=2，将点A（1，2）代入反比例函数y=，可得：k=1（2）=2，故反比例函数解析式为：y=（2）将点P的纵坐标y=1，代入反比例函数关系式可得：x=2，将点F的横坐标x=2代入直线解析式可得：y=3，故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，故可得SCEF=CEEF=点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是确定点A的坐标，要求同学们能结合图象及直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长度针对性练习：如图，一次函数y=x+1与反比例函数的图象相交于点A（2，3）和点B（1）求反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）过点B作BCx轴于C，求SABC解答：解：（1）将A点坐标代入反比例函数y=，得k=6，故反比例函数的解析式为y=；（2）由题意将两函数解析式联立方程组得：，消去y得：x（x+1）=6，即x2+x6=0，分解因式得：（x+3）（x2）=0，解得：x1=3，x2=2，B点坐标为（3，2）；在ABC中，以BC为底边，高为|2|+|（3）|=5，则SABC=25=5 考点四：一次函数与反比函数与不等式的关系例题4：如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k0）的图象都经过点A（m，2）（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；（2）结合图象直接比较：当x0时，y1和y2的大小分析：（1）将A点代入一次函数解析式求出m的值，然后将A点坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可得出反比例函数的表达式；（2）结合函数图象即可判断y1和y2的大小解答：解：（1）将A的坐标代入y1=x+1，得：m+1=2，解得：m=1，故点A坐标为（1，2），将点A的坐标代入：，得：2=，解得：k=2，则反比例函数的表达式y2=；（2）结合函数图象可得：当0x1时，y1y2；当x=1时，y1=y2；当x1时，y1y2点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用，数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握针对练习：如图，一次函数y=kx3的图象与反比例函数的图象交于P（1，2）（1）求k，m的值；（2）根据图象，请写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值解答：解：（1）把（1，2）代入y=kx3，得k=5，把（1，2）代入y=，得m=2；（2）观察可知当0x1时，一次函数的值小于反比例函数的值 考点五：一次函数与反比函数的综合应用例题5：直线y=kx+b与反比例函数y=（x0）的图象相交于点A、B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（2，4），点B的横坐标为4（1）试确定反比例函数的关系式（2）求AOC的面积（3）如图直接写出反比例函数值大于一次函数值的自变量x的取值范围分析：（1）先把A（2，4）代入反比例y=（x0）求出m，确定反比例函数的关系式；（2）把点B的横坐标为4代入反比例函数的关系式可确定B点坐标为（4，2），然后利用待定系数法求直线AB的解析式，得到y=x+6，令y=0，x+6=0，得到C点的坐标为（6，0），再利用三角形面积公式计算AOC的面积；（3）观察图象可得当x4或2x0时，反比例函数图象都在一次函数y=x+6的上方，即反比例函数值大于一次函数值解答：解：（1）把A（2，4）代入反比例y=（x0），m=24=8，反比例函数的关系式为y=（x0）；（2）当x=4，y=2，B点坐标为（4，2），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（2，4）、B（4，2）代入得，解得，直线AB的解析式为y=x+6，令y=0，x+6=0，解得x=6，C点的坐标为（6，0）SOAC=64=12；（3）x4或2x0点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式也考查了三角形面积公式、待定系数法求函数的解析式针对练习：如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，过B作BDx轴，且SOBD=4，其中点A的坐标为（n，4），点B的坐标为（4，m）（1）试确定反比例函数和一次函数的关系式；（2）求AOB的面积；（3）利用函数图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值解答：解：（1）SOBD=4，xy=8，即k=8，反比例函数的解析式为：y=，将A和B点的坐标代入反比例函数，可得：m=2，n=2点A（2，4）、点B（4，2）在直线y=kx+b上，4=2k+b，2=4k+b，解得k=1b=6直线AB为y=x+6反比例函数解析式为y=，一次函数的关系式为：y=x+6（2）直线AB与x轴的交点坐标C（6，0），SAOC=COyA=64=12（6分）又SBOC=COyB=62=6SAOB=SAOCSBOC=6（3）当4x2时，一次函数的值大于反比例函数的值巩固作业一、选择题1、若反比例函数 的图象经过点（a，-a），则a的值为（ ）。A、2； B、2； C、-2； D、42、一次函数ykxk，y随x的增大而减小，那么反比例函数y满足（）A、当x0时，y0B、在每个象限内，y随x的增大而减小C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限3、若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成正比例也不成反比例 D、无法确定4、如图，A、C是函数 的图象上任意两点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，过点C作y轴的垂线，垂足为D，记RtAOB的面积为S1，RtCOD的面积为S2，则（ ） ABCyxODA、S1S2； B、S1S2； C、S1 =S2； D、S1和S2的大小关系不能确定5、函数 与 在同一坐标系内的图象可以是（ ）yxOyxOyxOyxOA B C D二、填空题6.某种灯的使用寿命为1000小时，它的可使用天数与平均每天使用的小时数之间的函数关系式为 . 7、若反比例函数y和一次函数y3xb的图象有两个交点，且有一个交点的纵坐标为6，则b 8、反比例函数y（m2）xm10的图象分布在第二、四象限内，则m的值为 9、有一面积为S的梯形，其上底是下底长的，若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系是 10、如图，点M是反比例函数y（a0）的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，若S阴影5，则此反比例函数解析式为 三、解答题11、如图，已知反比例函数y与一次函数ykxb的图象交于A、B两点且点A的横坐标和点B的纵坐标都是2求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB的面积12、如图，一次函数yaxb的图象与反比例函数y的图象交于M、N两点（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围13、如图， 已知反比例函数y的图象与一次函数yaxb的图象交于M（2，m）和N（1，4）两点（1）求这两个函数的解析式；（2）求MON的面积；（3）请判断点P（4，1）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由14、如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）. 参考答案1、BCBCB6、y； 7、5； 8、3；9、y； 10、y；11、（1）由已知易得A（2，4），B（4，2），代入ykxb中，求得yx2；（2）当y0时，x2，则yx2与x轴的交点M（2，0），即|OM|2，于是SAOBSAOMSBOM|OM|yA|OM|yB|2422612、