2012江苏专转本高等数学试题及解析

孙久厚教授 2012 江苏专转本高等数学试题解析 sunjh - 1 - 江苏省 2012 年普通高校专转本选拔考试 江苏省 2012 年普通高校专转本选拔考试 高等数学试题卷(二年级)及其解析 （考试时间 2 小时，满分 150 分） （考试时间 2 小时，满分 150 分） 一、单项选择题(本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在下面每小题中，选出一个 正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑.） 1. 极限 (本大题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 在下面每小题中，选出一个 正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑.） 1. 极限=+ ) 3sin1 sin2( lim x x x x x ( ). A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 解： ( ). A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 解：=+ ) 3sin1 sin2( lim x x x x x 202) 3sin 1 1 sin2 ( lim =+=+ x x x x x . 选(B). 2. 设 . 选(B). 2. 设 )4( sin)2( )( 2 = xx xx xf，则函数，则函数)(xf的第一类间断点的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解： 的第一类间断点的个数为( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解： )4( sin)2( )( 2 = xx xx xf间断点为间断点为2, 0 =x. . )4( sin)2( lim 2 0 xx xx x2 1 )4( sin2 lim 0 = = x x x ， ， )4( sin)2( lim 2 0 + xx xx x2 1 )4( sin2 lim 0 = = x x x ，则，则0=x是跳跃间断点，属于第一类间断点. 是跳跃间断点，属于第一类间断点. )4( sin)2( lim 2 2 xx xx x8 2sin )2( sin lim 2 = + = xx x x ，则，则2=x是可去间断点，属于第一类间断点. 是可去间断点，属于第一类间断点. = )4( sin)2( lim 2 2xx xx x ，则，则2=x是无穷间断点，属于第二类间断点. 选(C). 3. 设 是无穷间断点，属于第二类间断点. 选(C). 3. 设 2 3 2 1 52)(xxxf=，则函数，则函数)(xf( ). A. 只有一个极大值 B. 只有一个极小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 没有极值 解： ( ). A. 只有一个极大值 B. 只有一个极小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 没有极值 解： 2 3 2 1 52)(xxxf=，定义域，定义域0x，则，则 2 1 2 1 2 15 )(xxxf= x x 2 152 =，令，令0)(= x f， 得 ， 得 15 2 =x，)(x f 不存在的点是不存在的点是0=x. 在区间. 在区间) 15 2 , 0(内内0)( x f，函数，函数)(xf单调 增加，极小值为 单调 增加，极小值为0)0(=f； ； 孙久厚教授 2012 江苏专转本高等数学试题解析 sunjh - 2 - 2 1 2 3 4 15 2 1 )( = xxxf xx x 4 152+ =，0) 15 2 (=xxy x ，则函数，则函数y的微分的微分=yd_. 解： _. 解： x xy=，xxylnln=，x y y ln1+= ，则，则)ln1 (xxy x +=，xxxy x d)ln1 (d+=. 10. 设向量 . 10. 设向量ba,互相垂直，且互相垂直，且2, 3=ba，则，则=+ ba2_. 解：由向量 _. 解：由向量ba,互相垂直，得互相垂直，得=+ ba2543)2( 222 2 =+=+ba. 11. 设反常积分 . 11. 设反常积分 2 1 de = + x a x ，则常数，则常数=a_. 解： _. 解：= + x a xd e 2 1 ee)d(e = + + a a x a x x，则常数，则常数2ln=a. . 12. 幂级数12. 幂级数 n n n n x n ) 3( 3 ) 1( 1 = 的收敛域为_. 解：收敛半径 的收敛域为_. 解：收敛半径 1 lim + = n n na a R3 3 3) 1( lim 1 = + = + n n nn n ，333x，则，则60x上求一点上求一点P， 使该抛物线与其在点， 使该抛物线与其在点P处的切线及处的切线及x轴所围成的 平面图形的面积为 轴所围成的 平面图形的面积为 3 2 ，并求该平面图形绕，并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解：设 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. 解：设),( 2 aaP，由，由 2 xy=，得，得xy2=，在点，在点P处的切线斜率处的切线斜率aayk2)(=， 切线方程为 ， 切线方程为)(2 2 axaay=，即，即 2 2aaxy=，该切线交，该切线交x轴于轴于)0, 2 (aM，则 ，则 孙久厚教授 2012 江苏专转本高等数学试题解析 sunjh - 6 - 3 2 12 1 ) 2 ( 2 1 d 32 0 2 =aa a axxS a ，得，得2=a，)4, 2(P. 切线方程为 . 切线方程为44=xy，该切线交，该切线交x轴于轴于)0, 1 (M，则所求旋转体的体积为 ，则所求旋转体的体积为 xxVxd 2 0 4 = 2 4) 12( 3 15 16 3 16 5 32 =. . 22. 已知定义在22. 已知定义在),(+上的可导函数上的可导函数)(xf满足满足3d )(4)( 3 1 = xttfxxf x ，试求： (1) 函数 ，试求： (1) 函数)(xf的表达式； (2) 函数 的表达式； (2) 函数)(xf的单调区间与极值； (3) 曲线 的单调区间与极值； (3) 曲线)(xf的凹凸区间与拐点. 解：(1) 的凹凸区间与拐点. 解：(1) 3d )(4)( 3 1 = xttfxxf x ，两边对，两边对x求导，得求导，得 2 3)(3)(xxfxf x=. 当 . 当0x时，得时，得xxf x xf3)( 3 )(=，为一阶线性微分方程，则 ，为一阶线性微分方程，则 de3e)( d 3 d 3 Cxxxf x x x x + = d 3 2 3 Cx x x+= ) 3 ( 3 C x x+=. 由 . 由3d )(4)( 3 1 = xttfxxf x 知， 当知， 当1=x时，时，2) 1 (=f， 得， 得1=C， 则， 则 23 3)(xxxf=. 若 . 若0=x， 则， 则0)0(=f， 也满足， 也满足 2 3)(3)(xxfxf x=. 故函数表达式为. 故函数表达式为 23 3)(xxxf=. (2) . (2) 23 3)(xxxf=， 得， 得xxxf63)( 2 =，66)(= xxf. 令. 令0)(=xf， 得， 得2, 0=x， ， 06)0(= f，则极大值，则极大值0)0(=f，极小值，极小值4)2(=f. . 函数的单调增加区间为函数的单调增加区间为), 2()0,(+Ux，单调减少区间为，单调减少区间为)2, 0(x. (3) 令 . (3) 令0)(= xf，得，得1=x，曲线，曲线)(xf的凸区间为的凸区间为) 1,(x，凹区间为，凹区间为), 1 (+x， 拐点为 ， 拐点为)2, 1 (. . 五、证明题(本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23. 证明：当 (本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23. 证明：当10. 证： 令 . 证： 令 3 6 1 arcsin)(xxxxf=， 则， 则 2 2 2 1 1 1 1 )(x x xf =， 1 )1 ( 1 )( 2 3 2 = x xxf. . 孙久厚教授 2012 江苏专转本高等数学试题解析 sunjh - 7 - 0)0(=f，0)0(=f. 当. 当10fxf，)(xf严格单调增加，则严格单调增加，则0)0()(=fxf，即，即 3 6 1 arcsinxxx+. 24. 设 . 24. 设 = = 0, )0( 0, d)( )( 2 0 xg x x ttg xf x ，其中函数，其中函数)(xg在在),(+上连续，且 上连续，且 3 cos1 )( lim 0 = x xg x . 证明：函数. 证明：函数)(xf在在0=x处可导，且处可导，且 2 1 )0(= f . 证：由 . 证：由3 cos1 )( lim 0 = x xg x ，得，得3 2 )( lim 2 0 = x xg x ，即，即 2 3)( lim 2 0 = x xg