高中数学必修五3.4基本不等式：

教学设计大赛参赛作品高中数学必修五3.4基本不等式：教学设计第一部分：单元教学设计首页一、制定教学目标的依据1课标要求与教材分析 基本不等式：这节内容是不等式这一章的核心.对于解决不等式的证明,求最值以及生活中的优化问题都起到工具性作用.通过本节的学习,既拓展了前面函数章值域与最值的求法,又丰富了后面推理和证明的学习.在知识体系中,起到了承上启下的作用.2学情分析高中二年级的学生已经掌握了一定的不等式知识,而且具有较好的逻辑思维能力,因此他们希望能够自己探索,发现问题和解决问题.现在历经课改的学生不希望停留在接受学习的框框内,他们需要充满活力与创造发现的课堂.所以本单元的教学应充分调动学生已有的知识,利用“三动式”教学模式,师生共同学习不等式知识,希望在本章的学习中逐渐提高学生的合作交流能力.二、教学目标不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容.建立不等观念,处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.在本章中,学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用一元二次不等式组表示平面区域,并尝试解决简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系.第二部分：课时教学设计首页一、课时教学目标学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;并能利用定理证明有关不等式和解决一些有关实际问题.逐步提高学生的数学建模能力,分析解决问题的能力,形成良好的思维质量.学会与人合作交流、乐于探究,感受生活中的数学,体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣,形成正确的学习态度.二、教学重点与难点重点： 应用数形结合的思想理解基本不等式难点： 基本不等式求最大值和最小值三、教学方法与手段方法： 讲解法、讨论法、研究法手段： 多媒体辅助教学四、使用教材的构想建构主义理论认为：知识不是被动接受的,而是认知主体积极主动建构的.本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下,让学生经历“创设情境概念教学探究公式注重反思拓展应用”的活动过程,体验参与数学知识的发生、发展过程,以期提高学生学习数学的兴趣,进一步体会“数学就在我们的身边”,发展“用数学”的意识和能力,成为积极主动的建构者.基本不等式：共分两课时,本课时的教学设计试图依据新课程所倡导的教学理念,注重课程的发生和开发过程,注重师生交往、互动、共同发展的过程,关注学生的发展和情感体验,更多的让学生体会自主研究,合作学习的乐趣.同时培养了学生的创新精神和发现能力.第三部分：教学流程一、探究新知1.创设情景,让学生的思维“动”起来教师行为:多媒体展示某工厂要建立一个长方体无盖的水池,其容积为4800m,深为3m.如果池底每1的造价为150元,池壁每1 的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?教师语言：这是本章引言中的一道实际应用问题,问题的实质是什么?可以抽象成怎样的数学模型?学生活动:设水池底面一边长为x m ,另一边的长度为m ,又设水池总造价为L元,根据题意得: L = 150+120(23x+23) = 240000+720(x+) 非二次函数教师提醒:问题转化为求函数最小值的问题，怎样解呢?学生感到困惑时,教师点题.教师语言:本节课我们将获取解决问题的工具.【本环节设计意图】通过学生已有的知识无法解决的问题,引发学生的探究欲望,为新知识的学习奠定基础.2.概念教学,让学生的思维“活”起来教师行为:多媒体展示问题1：对于任意实数a、b, a+b与2ab有怎样的大小关系?试说明证明的基本思想方法? 学生活动:学生通过阅读课本，找寻答案证法一: a+b-2ab=(a-b)0. a+b2ab (作差比较)教师提醒:证明体现的是化归思想.证法二:探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有.结论：一般的，如果学生活动:如果给出a、b，a0且b0，则为算术平均数，为几何平均数，且.证法一：-=（）2-（）2-2=（-）20教师提醒:证明体现的是化归思想.证法二：在a2b22ab中，用替换a，替换b，即a+b2 .教师提醒:证明体现的是换元思想.问题2：你能对a2b22ab及做怎样的几何解释？师生活动:几何解析一（如图1）用面积比较.如图是边长为a的正方形，且ab0，当a=b时，显然a2b2=2ab；当ab时，有a2+b2ab.即a2b22ab 几何解析二（如图2）在图中，AB为直径，令AC=a，BC=b则DD=2DC=（DC2=ACBC=ab） 弦|DD|直径AB 即2a+b （即半径长于半弦） （图1） (图2)【本环节设计意图】让学生通过已有知识，解决问题，感受成就感，同时更急切的想了解上述问题与引例的关系.激发了学生进一步求知的欲望.3.探究公式，让学生的思维“跳”起来教师行为:教师给出两个不等式（教师板书）（1）重要不等式：如果a、bR,那么a+b2ab（当且仅当a=b时取“=”号）（2）基本不等式：如果a、b都是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”号）这一定理又可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.问题3：学生观察公式有哪些发现？（小组讨论，代表发言）学生活动:学生想法各不相同学生甲：注意两式都在a=b时“=”成立.学生乙：两不等式成立条件不同，a+b2ab成立条件是a、b都是实数；成立条件是a、b都是正数.学生丙：如果把看作正数a、b的等差中项，ab可看作正数a、b的等比中项.那么定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.教师提醒：（1）不等式的变式:a+b2,ab()很有用. （2）分析不等式结构:左式为和结构，右式为积结构，该不等式表明两正数和与积之间的大小关系，故也有人称该定理为和积不等式.运用该不等式可作和积之间不等变换.【本环节设计意图】引导学生发现问题，深入探究问题的学习习惯，同时让学生体会自主探究，合作学习的乐趣.4注重反思，让学生的思维“深”下去教师行为:板书例题例：已知x、y都是正数，求证： （1）如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x + y有最小值2.（2）如果和x + y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值为S.教师分析：本题关键在于确定已知与未知之间的关系，（1）中x + y与已知条件中定值P有怎样的关系？（2）中的xy与已知条件中定值S有怎样的关系？能利用这一关系解决相应问题吗？学生活动：解：x、y都为正数， （1）积为定值即xy=P，则 x + y2当且仅当x=y时，取“=”，因此当且仅当x=y时，和x+y有最小值为2.（2）和为定值即x + y=S，则， xy当且仅当x=y时，取“=”，因此当且仅当x=y时，积xy有最大值为S.师生提醒:上述结论是我们用基本不等式求最值的依据，可概括如下 ：“和为定值积最大，积为定值和最小”.“一正，二定，三相等”三个条件缺一不可.【本环节设计意图】这道例题点明了利用均值定理求最值的依据，同时也是学生们做题易忽略的地点，教师应予以强调说明.拓展应用，让学生的思维得以“升华”教师行为:多媒体展示本节例2教师分析：该问题可以看做求240000+720(x+)的取值范围问题，注意x与均为正且积为常数，利用基本不等式可确定其范围.学生板演：L = 150+120(23x+23) = 240000+720(x+) 240000+7202 =240000+720240 =297600当且反当 x= 即x=40时，答：当水池底面边长为40m的正方形时，水池最低造价为297600元.【本环节设计意图】本例的解决不仅与引例呼应，而且完成了定理的拓展应用.由两名学生板演，即可满足学生获得新知的心理需求，又可进一步加强对此类题目求解过程的规范性要求.二、课时小结教师语言:通过本节知识内容的学习，你有哪些收获？学生活动:学生甲: 学习了两个定理（1）重要不等式：如果a、bR,那么a+b2ab（当且仅当a=b时取“=”号）（2）基本不等式：如果a、b都是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”号）学生乙:在定理的证明过程中了解了两类重要的数学思想化归思想和换元思想.学生丙:基本不等式是求最值的又一种方法.该法的应用要点是：“一正，二定，三相等”.忽略哪一点都可能导致解题出错.三、当堂训练与达标检测设计问题1.已知x、y都是正数，求证：(1)；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.问题2.求证：.问题3.已知a、b、c都是正数，求证：（ab）（bc）（ca）abc1、解：x、y都是正数，.，即.2、解：a2b22ab，2（a2b2）a2b22ab（ab）2.2（a 2b2）（ab）2.不等式两边同除以4，得，即.3、证明a、b、c都是正数，ab20, bc20, c+a20.（ab）（bc）（ca）222abc,即（ab）（bc）（ca）abc.第四部分：课时教学设计尾页一、板书设计 3.4基本不等式：.重要不等式：a、b 注：1.几何意义 引例： a+b2ab（当且仅当 2.三个条件 a=b时取“=”号） 例： 证明: 图1 .基本不等式: a、b是 （1） 正数, 图2 （当且仅当a=b时取“=”号) （2） 证明: 二、作业设计1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) m.由，可得x+y2， 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.答：这个矩形的长、宽各都为 m时，所用篱笆最短，最短的篱笆是 m.2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长、宽分别为x m、y m.则2(x+y)=36，x+y=18，矩形菜园的面积为xym2.由，可得xy81. 等号当且仅当x=y=10时成立.答：因此这个矩形菜园的长、宽各都为m时，菜园的面积最大，最大面积是m2.三、教学后记本课的教学让学生经历“创设情境概念教学探究公式注重反思拓展应用”的活动过程,体验参与数学知识的发生、发展过程,学生课堂学习数学的兴趣很高,教学目标在不知不觉中已经达成。通过本节教学，我发现教学设计一定要贴近学生的实际情况,过高的要求只会打击他们学习数学的积极性.因此在教学的组织和例题的选取上一定要分层考虑，让所有的学生在我们的课堂中都有所收获。从当堂训练题目的完成中，发现有些学生对基本不等式证题掌握还不到位.因此还需要在作业中强化基本不等式解题要点“一正，二定，三相等”.只有融洽的课堂气氛才能带来良好的教学效果，作为数学老师我们一定要努力从培养学生对数