自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第3、4章习题解答

43 第 3 章控制系统的时域分析法 本章介绍了根据系统的时间响应去分析系统的稳定性、 动态性能和稳态误差的有关问题。 其主要内容有： （1）自动控制系统的时域分析法，根据控制系统在典型输入信号的作用下输出响应的时域数学表达式 和响应曲线，直接分析系统等系统的稳定性、动态性能和稳态误差的品质。时域分析法具有直观、准确的优 点。 （2）稳定性是系统能否正常工作的首要条件。系统的稳定性取决于系统自身的结构和参数，与外作用 的大小和形式无关。线性系统稳定的充要条件是其特征方程的根均位于左半s平面（即系统的特征根全部具 有负实部） 。劳斯稳定判据是从系统的闭环特征方程，间接判定系统的稳定性的。 （3）对于稳定的控制系统，工程上常用单位阶跃响应的最大超调量%，调节时间ts和稳态误差等性能 指标，评价系统性能的优劣。典型的一阶、二阶系统的性能指标与系统的参数有严格的对应关系，必须牢固 掌握。 对一阶、 二阶系统分析的结果， 往往是分析高阶系统的基础。 当高阶系统具有一对闭环主导极点时 （通 常是一对共轭复数极点） ，可以用一个二阶系统近似，并以此估算高阶系统的动态性能。 （4）系统的稳态误差不是系统自身的固有特性，它与系统的结构参数及输入信号的形式都有关。系统 的型别决定了系统对典型输入信号的跟踪能力。提高系统的型别和增大开环放大系数可以减小或消除系统 的稳态误差。但这和稳定性有矛盾。在要求高的场合可用复合控制。 教材习题同步解析教材习题同步解析教材习题同步解析教材习题同步解析 3.1系统结构图如图 3.1 所示。已知传递函数 12 . 0 10 )( + = s sG，现采用加负反馈的方法，将调节时间 s t 减小为原来的 1/10，并保证总放大倍数不变。试确定参数 h K和 0 K的数值。 解：解：加负反馈后，系统闭环传递函数为： 图 3.1系统结构图 44 0 00 ( ) ( ) 1( ) 10/(0.21)10/(1 10) 1 10/(0.21)0.2 /(1 10) 1 h h hh K G s s G s K KsKK KssK = + + = + 化为标准的时间常数表达式 0 10 1 10 ( ) 0.2 1 1 10 h h K K s s K + = + + 而典型的一阶系统传递函数为 ( ) 1 K s Ts = + 因此，欲将调节时间 s t减小为原来的 1/10，则反馈系统的时间常数T应该为原来的 1/10。原系统的时间 常数为 0.2s，而反馈系统的时间常数为 0.2 1 10 h K+ ，故有 0.20.2 1 1010 h K = + h K=0.9 由于保证总放大倍数不变，则有 0 10 10 1 10 h K K K = + 所以10 0 =K。 3.2某单位负反馈系统的开环传递函数为 ( ) (0.11) K K Gs ss = + 试分别求出10K=s1和20=Ks1时，系统的阻尼比和无阻尼自然振荡角频率 n ，及单位阶跃响应的超 调量%和调节时间 s t。并讨论K的大小对过渡过程性能指标的影响。 解：解：系统闭环传递函数为 22 10 ( ) 0.11010 KK s ssKssK = + + 二阶系统标准的零极点表达式为 2 22 ( ) 2 n nn s ss = + ，闭环传递系数K=1 比较可得，系统的性能参数为 45 n =10K， 5 10K = 且有5 n =，说明K值的大小对系统的快速性影响较小。 （1）当K=10 时，系统闭环传递函数为： 2 100 ( ) 10100 s ss = + 系统的性能参数为 =0.5， n =10 系统相关动态性能指标为 2 1 %100%25.7%e =（错） 3 0.6(5%) s n ts = = （2）当 K=20 时闭环传递函数为： 2 200 ( ) 10200 s ss = + 系统的性能参数为 n =210， 4 2 = 系统相关动态性能指标为 2 1 %100%35.4%e =（错） st n s 6 . 0%)5( 3 = 由以上分析可见，增大系统开环传递系数K，将增大系统超调量，使系统振荡加剧，对系统的动态性能 不利。 3.3设图 3.2 为某控制系统的结构图，试确定参数 1 K和 2 K，使系统的6= n ，1=。 解解：系统有一条前向通道，两个反馈回路，彼此间相互接触，因此，根据梅逊公式，该控制系统的闭环 传递函数为 图 3.2控制系统结构图 46 1 112 1 2 121 25 (0.8) ( ) 2525 1 (0.8)0.8 25 (250.8)25 K s s s KK K s ss K sK KsK + = + + = + 与标准的二阶系统零极点表达式 2 22 ( ) 2 n nn s ss = + ，闭环传递系数K=1 比较，并将6= n ，1=代入，可得 1 12 256 2250.812 n n K K K = =+= 联立以上方程，得待定参数为 1 K=36/25 2 14/45K= 3.4如图 3.3 所示， 若某系统加入速度负反馈s ， 为使系统阻尼比5 . 0=，试确定（1）的取值； （2） 系统的动态性能指标%和 s t。 解解： （1）该控制系统的闭环传递函数为 2 10 10(1) ( ) 105 (1 5 )10 1 (1)1 s s s ss s ss + = + + + 与二阶系统标准的零极点表达式比较，可得 )51(2+= n 并考虑到：10 n =，5.0=，所以 101 0.432 5 = （2）系统的动态性能指标如下 图 3.3加入速度负反馈的系统 47 2 1 %100%25.7%e = 3 (5%) 1.9 s n ts = = 3.5实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图 3.4 所示。试确定该系统的开环传递函数 ( ) K Gs。 解：解：由图 3.4 所示，可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为 2 22 1 3.14 0.2 11 1.25 1 %100%100%25% 1 p nn t e = = 联立以上方程可得： =0.515， n =18.33 并由于系统的单位阶跃响应稳态值为 1，说明系统的闭环传递系数K=1，故求得系统闭环传递函数为 2 222 335 ( ) 218.88335 n nn K s ssss = + 系统为单位负反馈结构，因此有 ( ) ( ) 1( ) K K Gs s Gs = + 推出系统开环传递函数如下 2 22 ( )335 ( ) 1( )2s18.88 n K n s Gs ssss = + 3.6已知某系统的闭环传递函数为 )1)(6 . 2)(10( )5 . 2(10 )( )( )( 2 + + = ssss s sR sC s 试估算该系统的动态性能指标%和 s t。 图 3.4二阶系统的阶跃响应曲线 48 解：解：将系统化为等效的时间常数表达式 2 1 2.5(1) ( ) 2.5 ( ) ( ) 2.6(1)(1)(1) 102.6 s C s s ss R s ss + = + + 该系统有 4 个闭环极点，一个闭环零点，分别为 123,4 0.1,2.6,0.50.866sssj= = = ， 1 2.5z= 。 从闭环系统零极点分布可见：系统的闭环零点 1 z与闭环极点 2 s作用基本相抵消；而极点 1 s相比 3,4 s离虚轴较远，所决定的动态分量衰减速度较快，对系统的动态响应过程影响较弱。因此，该闭环系统 的主导极点为共轭复数极点对 3,4 s，在研究系统的动态响应时，忽略其他非主导零极点的影响，该系统可 以近似为典型二阶系统 22 ( )2.50.96 ( ) ( )2.6(1)1 C s s R sssss = + + + 则该系统单位阶跃响应的稳态值为 0.96，而动态性能指标可估算为 10.5 n = 25.66%100% 2 1 = e 3 6(5%) s n ts = = 根据 MATLAB 仿真，得到此高阶系统准确的动态性能指标为 %13%= 5. 6(5%) s ts= = 说明估算结果是比较可信的。 3.7已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1） 20 ( ) (1)(5) K Gs s ss = + （2） 10(1) ( ) (1)(5) K s Gs s ss + = + （3） 0.1(2) ( ) (0.5)(0.8)(3) K s Gs s sss + = + （4） 3 51 ( ) (1)(2) K s Gs s ss + = + 试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。 解解： （1）系统闭环传函为： 2056 20 )( 23 + = sss s 闭环特征方程为：2056 23 +sss=0，列劳斯表如下 s315 49 由于劳斯表的第一列系数均大于零，故该系统稳定。 也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论，如下： 三阶系统特征方程为0 01 2 2 3 3 =+asasasa，则系统稳定的充分必要条件为： 3 a、 2 a、 1 a、 0 a均 大于 0 及 1230 a aa a。 对于本系统有：特征方程所有系数均大于零，且6 51 20 ，因此系统稳定。 （2）系统闭环传函为： 1054 1010 )( 23 + + = sss s s 系统闭环特征方程为：1054 23 +sss=0，因此 3 a、 2 a、 1 a、 0 a均大于 0，且4 51 10 ，故该 系统稳定。 （3）闭环传函为： )2(1 . 0)3)(8 . 0)(5 . 0( )2(1 . 0 )( + + = sssss s s 系统闭环特征方程为： 432 4.34.31.30.2ssss+=0，列劳斯表如下： s414.30.2 s3 4.31.3 s2 4.3 4.3 1.3 4 4.3 =2.0 3.4 2.03.4 = s1 4 1.34.3 0.2 1.08 4 = s00.2 由于劳斯表的第一列系数全部大于零，故该系统是稳定。 （4）系统闭环传函为： 1523 15 )( 345 + + = ssss s s 系统闭环特征方程为 1523 345 +ssss=0 因为特征方程缺相（缺 2 s） ，故该系统不稳定。 3.8试用劳斯判据判定具有下列特征方程式的系统的稳定性。若系统不稳定，指出在s平面右半部的特 s2620 s1 6 520 15 63 = s020 50 征根的数目。 （1）0100920 23 =+sss（2）0200920 23 =+sss （3）0133 234 =+ssss（4）01244 2345 =+sssss （5）0163453 23456 =+ssssss 解解： （1）0100920 23 =+sss 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为 s319 s220100 s1 20 9 100 1 4 20 = s0100 由于劳斯表的第一列系数全部大于零，无 s 右半平面的闭环极点，故该系统稳定。 （2）0200920 23 =+sss 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为 s319 s220200 s1 20 9200 1 1 20 = s0200 劳斯表的第一列元素符号改变的次数为 2，所以该系统不稳定，并有两个在s平面右半部的特征根 （3）0133 234 =+ssss 根据此闭环特征方程，列出劳斯表为 s4111 s333 s2 1 33 0(0) 3 = 1 s1 33 0 1 s2 41 0 s01 劳斯表的第一列元素符号改变的次数为 2，该系统不稳定，并有两个在s平面右半部的特征根。 3.9设单位负反馈系统的开环传递函数分别为 （1）( ) (2)(4) K K Gs ss = + （2）( ) (1)(0.21) K K Gs s ss = + （3） (1) ( ) (1)(0.21) K K s Gs s ss + = + 试确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。 解： （1）该系统的闭环传函为： 52 Kss K s + = 86 )( 2 闭环特征方程为： Kss+86 2 =0 对于二阶系统，如欲使闭环系统稳定，则保证特征多项式的每个系数都大于零即可： 8+K0 K-8 （2）该系统的闭环传函为： 闭环 Ksss K s + = 23 8 . 02 . 0 )( 特征方程为： Ksss+ 23 8 . 02 . 0=0 s 项的系数为负，所以无论K取何值都不能使该系统稳定，该系统为结构不稳定系统。 （3）该系统的闭环传函为： KKssss sK s + + = 23 8 . 02 . 0 )1( )( 闭环特征方程为： 32 0.20.8(1)0sss KK+= 根据劳斯判据，欲使该系统稳定则有： 0 10 0.8 (1)0.2 K K KK 即：K值范围是 K4/3 3.10已知单位负反馈系统的开环传递函数为 32 4 ( ) 210131 K Gs sss = + 试用劳斯判据判断系统是否稳定和是否具有1=的稳定裕度。 解：解：该系统的闭环传函为 513102 4 )( 23 + = sss s 闭环特征方程为： 513102 23 +sss=0 由于闭环特征多项式各系数均大于 0，且10 132 5，因此系统稳定。 判断系统是否具有1=的稳定裕度，进行坐标变换，令 s=z-1 带入此闭环特征方程得 53 042 23 =+zzz 由于此闭环特征方程缺常数相，则系统在 z 平面中不稳定，即系统在 s 平面中不具有1=的稳定裕度。 3.11设单位负反馈系统的开环传递函数为 (12) ( ) (5)(3)(6) K Ks s Gs sss + = + 若要求闭环特征方程根的实部分别小于 0、-1、-2，试问K值应怎么选取？ 解：解：该系统的闭环传函为 322 (12) ( ) 14639012 Ks s s sssKsKs + = + 特征方程为 32 (14)(63 12)900sK sK s+= 欲闭环特征方程根的实部小于 0、-1、-2，实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量（=0、1、 2） ，可利用劳斯判据确定对应的K值。 1） 使闭环特征方程根的实部小于 0 即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程，有 140 63 120 (14) (63 12)90 K K KK + + + 即 14 5.25 14.79,4.46 K K KorK 求得满足条件的K值为 4.46K 2） 使闭环特征方程根的实部小于-1 进行坐标变换，令 s=z-1，代入闭环特征方程得 32 (11)(38 10)(40 11 )0zK zK zK+= 根据劳斯判据，欲使该系统在 z 域稳定的条件是 110 38 100 40 110 (11) (38 10)40 11 K K K KKK + + + 即 11 3.8 3.64 13,2.9 K K K KorK 则在 s 域中满足条件的K值为 2.93.64K + 即 8 2.38 0.6 11.33,1.54 K K K KorK 则在 s 域中满足条件的K值为 1.540.6K，且、 、 因此，在满足 021 KKK的条件下，调节 1 K，即可同时减小系统对于给定信号和干扰信号的稳态误 差，使系统的总体稳态误差下降。 （3）原系统前向通道有一个积分环节，系统为一阶无差度系统，v=1。欲使系统的型别数提高到型， 即系统跟踪斜坡信号的稳态误差为零，则系统按给定补偿的复合控制结构如图 3.7 所示。假设系统的输入信 号为( )1( )r tRtt=，则 2 ( ) R R s s =，系统的稳态误差求取如下 )()(1 )()()( )( )( )( 21 21 sGsG sGsGsG sR sC s b + + = 2 22 2 12 12 12 ( )( )( )1( )( ) 1( ) 1( )( )(1) ( ) 1( )( ) 1 (1)(1) b b E sR sC ssR s K G s G s G ss T sR R s K K G s G ss s TsT s = + = + + + i 2 2 2 2 000 1212 12 2 0 12 1( ) 1( ) (1) lim( )limlim 11 (1)(1) 1( ) lim0 b b ssd sss b s K K G s G s s T sRR s esE ss K KK K ss s TsT ss K G s s R K K + = + + = ii i 图 3.7题 3.14 图 _ + 1 1 1 K T s+ 2 2 (1) K s T s+ ( ) b G s ( )R s( )C s 1( ) G s 2( ) Gs 58 因此，若使系统跟踪斜坡信号的稳态误差为零，则有 2 1( )0 b K G s s = 因此，若采用按给定补偿的复合控制，使系统的型别数提高到型，补偿通道的传递函数)(sGb为 2 ( ) b s G s K = （4）试确定所需的扰动补偿通道的传递函数)(sGb 欲使系统无稳态误差地响应任意形式的扰动信号，则按扰动补偿的复合控制结构如图图 3.8 所示。 由图 3.8 知，仅有扰动作用时(0)(=tr)，系统的输出为 12 12 1( )( )( ) ( )( ) 1( )( ) n G s G s G s C sD s G s G s = + 当满足 1 11 11 ( ) ( ) n Ts G s G sK + = 时，系统的输出完全不受扰动的影响。这种补偿方法利用了双通道原理，干扰信号一路经)(sGn、)( 1 sG到 达)( 2 sG之前的综合点，另一路直接到达该点。当满足)(/1)( 1 sGsGn=时，两条通道的信号到达此综合点 时正好大小相等，方向相反，互相完全抵消，从而实现了干扰的全补偿。但是由于)(sGn的可实现性，实际 上也只能实现近似的补偿。 图 3.8题 3.14 图 _ + 1 1 1 K T s+ 2 2 (1) K s T s+ ( ) b G s ( )R s( )C s 1( ) Gs 2( ) Gs ( )D s 59 MATLABMATLABMATLABMATLAB实验指导实验指导实验指导实验指导 M3.1已知连续系统的开环传递函数为 432 5432 32546 ( ) 34272 K ssss Gs sssss + = + 判断闭环系统稳定性。 解：解：MATLAB程序如下 num=3 2 5 4 6; den=1 3 4 2 7 2; f=tf(num,den);%建立开环传递函数模型 g=feedback(f,1)%建立闭环传递函数模型 p=roots(g.den1)%求闭环传递函数分母多项式的根，即闭环极点 输出结果为： Transfer function: 3 s4 + 2 s3 + 5 s2 + 4 s + 6 - s5 + 6 s4 + 6s3+ 7 s2 + 11 s + 8 p = -5.0058 0.4208 + 1.1540i 0.4208 - 1.1540i -0.9179 + 0.4656i -0.9179 - 0.4656i 存在正实部的共轭复根，此系统不稳定。 M3.2已知二阶系统的闭环传递函数如下所示 2 9 ( ) 32 s ss = + （1）求该系统单位阶跃响应曲线； （2）求该系统时域指标%和 s t。 解：解： （1）MATLAB程序如下 60 num=9; den=1 3 2; step(num,den)%绘制闭环系统单位阶跃响应曲线 grid on%添加比例栅格 图 3.7 实验 M3.2 单位阶跃响应曲线 闭环系统单位阶跃响应曲线见图3.7。 （2）由响应曲线可见，稳态值为 4.5，系统动态性能指标为 %=0， s t=3.68s（=5%） M3.3已知典型二阶系统的闭环传递函数为 22 ( ) 2 n nn s ss = + 其中6= n ，绘制系统在=0.1，0.2， ，1.0，2.0 时的单位阶跃响应。 解：解：MATLAB程序如下 wn=6; num=wn2;%分子多项式 zeta=0.1:0.1:1.0,2.0;%输入系统的阻尼比 figure(1) hold on%在一张图片上绘制以下曲线 for i=1:11 den=1,2*zeta(i)*wn,wn2;%阻尼比取不同值时的分母多项式 step(num,den)%绘制单位阶跃响应曲线 61 end title(step response) hold off 不同阻尼比下，闭环系统的单位阶跃响应曲线见图3.8。 0123456789 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 step response Time (sec) Amplitude 图 3.8 实验 M3.3 二阶系统的单位阶跃响应 M3.4已知三阶系统的闭环传递函数为 32 100200 ( ) 1.4100100 s s sss + = + 绘制系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应曲线。 解：解：MATLAB程序如下 figure(1) num=100 200; den=1 1.4 100 100; step(num,den) title(step response) figure(2) impulse(num,den)%绘制单位脉冲响应曲线 title(impulse response) 62 0510152025 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 step response Time (sec) Amplitude 051015202530 -10 -5 0 5 10 15 impulse response Time (sec) Amplitude （1）单位阶跃响应（2）单位脉冲响应 图 3.9 实验 M3.4.系统响应曲线 系统的响应曲线见图 3.9。 M3.5对图 3.10 所示系统， 利用 Simulink 构建系统动态结构图， 求解当系数K分别为10K=和 3 10K= 时， （1）系统的单位阶跃响应曲线； （2）系统单位阶跃响应下的时域指标：%和 s t和稳态误差 ssr e。 解解： （1）利用 Simulink 构建系统动态结构图，如 3.11 图所示。启动仿真，系统的单位阶跃响应曲线见 图 3.10系统结构图 R(s)C(s) )12)(8)(4( )7( + + ssss sK )20)(15)(5( 10 + + sss s 图 3.11 实验 M3.5 系统Simulink 仿真结构 63 图 3.12。 （1）K=10 （2）K=1000（3）K=10000 图 3.11 实验 M3.5 系统单位阶跃响应曲线 （2）系统前向通道有一个积分环节，因此系统型别为 1，跟踪阶跃系数信号的稳态误差为0 ssr e=。实际 上，系统的闭环传递系数为 150，因此系统单位阶跃响应的稳态值为 150。 当系统的前向通道的可调参数K分别取 10、1000、10000 时，系统动态性能指标为 K=10，%=0%，ts=2530s，=5% K=1000，%=0%，ts=23.5s K=10000，%=12.67%，ts=2.8s 从以上不同的响应曲线可见， 当闭环系统前向通道的系数K值逐渐增大时 （相当于开环传递系数增大）， 系统的响应速度加快，但响应的平稳性下降，若K值继续增大，系统有可能不稳定。 64 第第第第 4 4 4 4 章章章章 根轨迹法根轨迹法根轨迹法根轨迹法 本章详细介绍了根轨迹的基本概念，控制系统根轨迹的绘制方法以及根轨迹在系统分析中的应用。根轨 迹是一种图解方法，在已知控制系统开环零点和极点的基础上，研究某一个或某些参数变化时系统闭环极点 在 s 平面的分布情况。利用根轨迹法能够分析结构和参数已确定的系统的稳定性及动态响应特性，还可以根 据对系统动态特性的要求确定可变参数，调整开环零、极点的位置甚至改变它们的数目，因此根轨迹法在控 制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。 学习本章应掌握以下几个方面的基础知识 1）掌握根轨迹的两个基本条件：幅值条件和相角条件，并能利用这两个基本条件确定根轨迹上的点及 相应的根轨迹增益值Kg。 2）掌握绘制根轨迹的基本规则。对于简单的系统，能够熟练运用这些规则很快地画出根轨迹的概略图 形。 3）对于结构和参数已确定的系统，能够用根轨迹法分析出主要特性。掌握闭环主导极点与动态性能之 间的关系，对于主导极点以外的其它闭环极点和零点，应能定性分析出它们对动态性能的影响。 4） 掌握增加开环零点和开环极点对系统性能的影响。 从根本上说，根轨迹设计方法只能设计一对共轭复数极点来满足动态响应指标。所以应当校核所设计的 共轭复数极点是否是闭环主导极点。 教材习题同步解析教材习题同步解析教材习题同步解析教材习题同步解析 4.1画出下列开环传递函数的零极点图。 （1） )3)(14( )12( + + sss sK （2） Kss sss () ()() 2 2 22 2210 + + 解解： （1）将系统开环传递函数化为标准的零极点表达式 111 2()() (21) 222 11 (41)(3) 4 ()(3)()(3) 44 K sK s Ks sss s sss ss + + = + + 系统根轨迹增益 2 g K K=。 65 该系统有 3 个开环极点，一个开环零点，分别为 123 0,0.25,3ppp= = ， 1 0.5z= ，系统 开环零极点分布如图 4.1 所示。 2）系统开环传递函数已经是标准的零极点表达式，系统根轨迹增益 g KK=。 该系 统有 一对 开环 共轭 复数 极点 ，一个 开环 实数 极点 ，一 对开 环共 轭复数 零点 ，分 别为 12,31,2 2,13,1ppjzj= = = ，系统开环零极点分布如图 4.2 所示。 4.2系统开环传递函数为( ) )2( )1( 2 + + = ss sK sG g K （1）确定是否能选择)0( g K使得闭环传递函数可以有极点。 0.5s= ， 1.5s= ， 2.5s= ， 0.5s=（不稳定） （2）当Kg很大时求三个闭环极点。 解：解： （1）方法一：由相角条件判断试探点是否在根轨迹上 对于复平面上的某个试探点s，首先用相角条件 ( )()()() 11 180210,1,2 mn Kij ij Gsszspkk = =+= += ， 判断是否位于根轨迹上（即是否是闭环极点） ，再由幅值条件确定对应的根轨迹增益Kg。相角和幅值可以直 图图 4. 4. 4. 4. 2 2 2 2 题题 4.1(2)4.1(2)4.1(2)4.1(2)系统的根轨迹 s平面 j 2 j 0 j2 j3 j j2 j3 1 图图 4. 4. 4. 4. 1 1 1 1题题 4.1(1)4.1(1)4.1(1)4.1(1)系统的根轨迹 s平面 j 3 j 0 j2 j3 j j2 j3 0.5 0.25 p3z1p2 p1 p1 p2 p3 z1 z2 66 接计算，或在根轨迹图上直接测量，但要注意准确的坐标比例，实、虚轴必须选用相同的比例尺刻度。 () ii szsz+= 表示从一个开环零点 i z 指向试探点s的向量； () jj spsp+= 表示从一个开环极点 j p指向试探点s的向量。向量的幅值为长度，即s平面上两点之间的距离；相角为此向量指向方向与正实轴 之间的夹角，且逆时针为正，顺时针为负。 系统有三个开环极点：p1=p2=0，p3=2，一个开环零点z=1。可以利用相角条件判断各点是 否在系统根轨迹上。 1 0.5s= 过各开环极点、零点向s1引线，作出向量 s1+p1=s1，s1+p2=s1，s1+p3=s1+2，s1+z=s1+1，如图 4.3 虚 线所示。 根据教材式（4.13） ，过s1的总相角为 1111 11 ( )()() (1)2(2) (0.5)2 ()()02 1800360.5.501 mn Kij ij Gsszspsss = =+= + + = = = 不符合相角条件，s1不在根轨迹上。另外，各个角度也可以直接测量得到。 同理： 2 1.5s= 2222 ()(1)2(2) 1802 1800180 K Gssss= + + = = 满足相角条件，s2在根轨迹上。 3 2.5s= 3333 ( )(1)2(2) 1802 180180360 K Gssss= + + = = 不满足相角条件，s3在不根轨迹上。 4 0.5s=（不稳定） 4444 ()(1)2(2) 02 000 K Gssss= + + = = 不满足相角条件，s4在不根轨迹上。 方法二：绘制系统的根轨迹草图，直接判断试探点是否在根轨迹上。 根据实轴上根轨迹的判别条件，可以得到区间2，1右方开环零点数和极点数总和为 3，推出实 轴上2，1段为系统根轨迹，因此仅有闭环极点1.5s= 存在。而其余各点均不位于系统的根轨迹上， 67 说明系统无对应的闭环极点。 根据教材公式（4.12）可求出闭环极点 2 1.5s= 对应的根轨迹增益 g K如下 112 12 1 1.51.51.52 2.25 1.5 1 n j jn g m m i i sp sp spsp K sz szsz sz = = + + = + + + = + 各开环极点至测试点向量长度之积 各开环零点至测试点向量长度之积 (2) 由于n=3，所以系统有 3 条根轨迹，起点分别在p1=p2=0，p3=2。由于m=1，所以起始于 p3=2 的根轨迹终止于开环零点z=1；而起始于p1=p2=0 的另外两条根轨迹的终点都在无穷远处， 其 渐近线与实轴的交点a及倾斜角分别为 11 ()() ( 2)( 1) 0.5 2 nm ji ji a pz nm = = () () 18021 9021 k k nm + =+ ，取90，270 绘制系统根轨迹草图如图 4.3 所示，根据根轨迹图可知，当Kg很大时，三个闭环极点分别为 1,23 0.5,1sjs= = 方法三：将试探点 s 代入系统的闭环特征方程 图图 4. 4. 4. 4. 3 3 3 3题题 4.24.24.24.2 系统根轨迹图 s平面 j 2 j 0 j2 j3 j j2 j3 1 s1 0.5 1.5 s1+p3 s1+z1 s1+p1 p3 z1p1,2 68 2 (1) 1( )10 (2) g K Ks Gs ss + += += + 求出对应的根轨迹增益 g K，若 g K为正实数，则该点在系统根轨迹上，反之则不在根轨迹上。 将 s=0.5 带入特征方程，求出0.75 g K= ，该点不在系统根轨迹上。 同理，将 s=1.5 带入特征方程，求出2.25 g K=，该点在系统根轨迹上。 同理，将 s=2.5 带入特征方程，2.09 g K= ，该点不在系统根轨迹上。 同理，将 s=0.5 带入特征方程，0.42 g K= ，该点不在系统根轨迹上。 4.3系统开环传递函数为 ( ) (1)(2) g K K Gs s ss = + ，0 g K ，确定以下几点是否在根轨迹上。 （1）0.5s= ，（2）1.5s= ，（3）1.414sj=，（4）sj= +1 解：解： 方法一：由相角条件判断试探点是否在根轨迹上 系统有三个开环极点：p1=0，p2=1，p3=2，无开环零点，可以利用相角条件判断各点是否在 系统根轨迹上。 1 0.5s= 根据教材公式（4.12） ，过s1的总相角为 1 11 ( )()() 0( 0.5)()()0.51.518000180 mn Kij ij Gsszsp = =+ = = = 符合相角条件，s1在根轨迹上。另外，各个角度也可以直接测量得到。 对应的根轨迹增益为 1 1 12 0.5 0.5 1.50.375 n j j g m i i sp Ks ss sz = = + =+ + = = 同理，其他各点判断如下 2 1.5s= 69 2222 ()(1)(2) 1801800360 K Gssss= + = = 不满足相角条件，s2不在根轨迹上。 3 1.414sj= 2333 ()(1)(2) 1.414(11.414)(21.414) 9054.735.3180 K Gssss jjj = + = + = = 满足相角条件，s3在根轨迹上。对应的根轨迹增益为 123 1.414 11.414 21.4146 g Ksp spsp jjj =+ =+= 4 1sj= + 2444 ()(1)(2) ( 1)(1) 1359045270 K Gssss jjj = + = + + = = 不满足相角条件，s4在不根轨迹上。 方法二：绘制系统的根轨迹草图，直接判断试探点是否在根轨迹上。 绘制根轨迹的典型步骤如下 1）开环极点为 0，1，2，是根轨迹各分支上的起点。由于开环无有限零点，故根轨迹各分支都将趋 向无穷远。 2）确定实轴上的根轨迹。1，0和（，2区域都是根轨迹。 3）确定根轨迹的渐近线。三根分支的渐近线方向以及与实轴的交点坐标，可按教材公式求取，有 11 ()() ( 2)( 1) 1 3 nm ji ji a pz nm = + = () () 18021 6021 3 k k + =+ 取60 ,180 ,300= 。渐近线如图 4.4 中的虚线所示。 70 4）根轨迹的走势 在根轨迹的起点处，以极点2 为起点的分支向左移动，以极点 0 为起点的分支向左移动，以极点 1 为起点的分支向右移动。分支不断向左延伸至负实轴的无穷远处，所以其它两条分支经分离点后必 向右推进，沿渐近线至无穷远。由于开环传递函数有2mn，为保持平衡左右，向右分支必须走得更快， 所以分离点在-1，0段中央偏右处，分离点可由( ) ( )( )( )0=sDsNsDsN求得，为d=s=0.423。 5） 根轨迹与虚轴的交点 闭环系统特征方程为 023 23 =+ g Ksss 当 gpg KK=时根轨迹和虚轴相交，将js=代入特征方程，有 ()()()023 23 =+ gp Kjjj 令上式实部和虚部分别等于零，有 2 3 30 20 gp K = = 解之得 0 0 gp K = = ， 2 6 gp K = = Kp=0 为根轨迹起点，排除。而Kgp=6 即为所求的临界根轨迹增益，根轨迹和虚轴交点坐标为j2。 可以计算出临界开环传递系数为K=3，即K3 后，系统不稳定，有闭环右极点。 2 1 0 26 g jK= 图图 4.44.44.44.4 题题 4.34.34.34.3 系统根轨迹图 j 60 s1 s2 3-0.423 s平面 p3p2 p1 26 g jK= 71 也可利用劳斯判据确定 gp K和值，列出劳斯矩阵为 若劳斯矩阵第一列出现0元素， 特征方程出现位于虚轴上的共轭虚根。 令s1行元素等于0， 则得6= gp K， 共轭虚根值可由s2行的辅助方程求得 0633 22 =+=+sKs gp 即 1,2 2sj= 综上，绘制系统的概略根轨迹见图 4.4。 6）由系统的根轨迹可见，点 s=0.5、s=1.414j 位于系统根轨迹上，而点 s=1.5、s=1+j 不在系统根轨 迹上。 方法三：将试探点 s 代入系统的闭环特征方程 1( )10 (1)(2) g K K Gs s ss += += + 求出对应的根轨迹增益 g K，若 g K为正实数，则该点在系统根轨迹上，反之则不在根轨迹上。 将 s=0.5 带入特征方程，求出0.375 g K=，该点在系统根轨迹上。 同理，将 s=1.5 带入特征方程，求出0.375 g K= ，该点不在系统根轨迹上。 同理，将 s=j1.414 带入特征方程，6 g K=，该点在系统根轨迹上。 同理，将 s=1+j 带入特征方程，2 g Kj=，该点不在系统根轨迹上。 实际上，对于同一开环传递函数，负反馈系统与正反馈系统的根轨迹具有互补特性。若求出的 g K为负 实数，表明该试探点位于正反馈系统的根轨迹上。 3 s 2 s 1 s 0 s 12 3Kgp 3 6 gp K Kgp 72 4.4系统开环传递函数的零、极点如图 4.5 所示，试绘制系统大致的根轨迹图。 解：解：根据根轨迹的绘制法则，绘制各系统的根轨迹草图，见图 4.6。 4.5设系统的开环传递函数为 （1）( ) ()()()15 . 02 . 0+ = sss K sG g K （2）( ) 102 2 + = ss K sG g K （3）( ) ()()()13651 2 + = ssss K sG g K 试绘制控制系统的根轨迹草图。 图 4.6 题 4.4 各系统根轨迹草图 （d）（e）（f） （a）（b）（c） 图 4.5题 4.4 图 （a）（b）（c） 73 解：解： （1）( ) ()()()15 . 02 . 0+ = sss K sG g K 1）系统有 3 个开环实数极点： 123 1,0.5,0.2ppp= = = ，作出开环零、极点分布图如图 4.7 所 示。 2）根轨迹共有 3 条，起点在 3 个开环实数极点 123 ppp、。因为0m=，故这 3 条根轨迹均终止于 无穷远处。实轴上根轨迹在区间（，1和