凸集与凸函数ppt课件

2.凸集与凸函数,2.1仿射集,对n维欧氏空间中任意两点xy,则通过x和y的直线可表为l(x,y)=(1-)x+y|R,1,2.凸集与凸函数,则一个仿射集的平移也是仿射集,Th2.1(1)Rn的子空间是包含原点的仿射集;(2),对每一非空的仿射集M,存在唯一的子空间L和向量aRn,使得,约定M-a=M+(-a)若aM,则M-a是子空间.,2,2.凸集与凸函数,若非空仿射集M=L+a,则aM,于是唯一子空间L可表为,Df2.2.非空仿射集M的维数是指平行于仿射集M的子空间的维数.,Rn中的n-1维仿射集称为超平面.,3,2.凸集与凸函数,Th2.2给定向量p(0)Rn,R,则,是Rn中的一个超平面.反之,Rn任一超平面都可表成上式的形式,且在相差一个非零常数的意义下,(p,)是唯一的.,4,2.凸集与凸函数,可验证,仿射集的交集仍是仿射集,Df2.3给定Rn中集合S,包含S的所有仿射集的交集,即包含S的最小仿射集称为S的仿射包,记为affS,5,2.凸集与凸函数,Df2.1Rn中任一集合S的维数定义为它的仿射包affS的维数,即包含S的仿射集的最小维数.,6,2.凸集与凸函数,命题2.1下述断言相互等价.,7,2.凸集与凸函数,8,2.凸集与凸函数,2.2凸集与锥,9,2.凸集与凸函数,10,2.凸集与凸函数,11,2.凸集与凸函数,12,运用定义不难验证如下命题：,2.凸集与凸函数,13,2.凸集与凸函数,多面体(polyhedralset)是有限闭半空间的交.(可表为Axb).,14,2.凸集与凸函数,15,多面集x|Ax0也是凸锥，称为多面锥。,2.凸集与凸函数,由定义可知,锥关于正的数乘运算封闭,凸锥关于加法和正的数乘封闭,一般的,对于凸集S,集合,K(S)=x|0,xS,是包含S的最小凸锥.,锥C称为尖锥,若0S.尖锥称为突出的,若它不包含一维子空间,约定:非空集合S生成的凸锥,是指可以表示成S中有限个元素的非负线性组合(称为凸锥组合)的所有点所构成的集合,记为coneS.若S凸,则,coneS=K(S)0,16,2.3凸集分离定理,2.凸集与凸函数,17,2.凸集与凸函数,18,证明：令,2.凸集与凸函数,19,所以为柯西列，必有极限,且由S为闭集知。此极限点必在S中。,2.凸集与凸函数,下证明唯一性,20,2.凸集与凸函数,21,2.凸集与凸函数,22,2.凸集与凸函数,证明提纲,23,由此可得,2.凸集与凸函数,24,2.凸集与凸函数,Th2.7表明，S为闭凸集，yS，则y与S可分离。若令clS表示非空集合S的闭包，则当yclS时，定理结论也真。实际上我们有下述定理,25,证明,2.凸集与凸函数,26,推论：设S为Rn中的非空集合，yS,则存在非零向量p，使对xclS,pT(x-y)0,2.凸集与凸函数,27,2.凸集与凸函数,28,2.凸集与凸函数,29,作为凸集分离定理的应用，下面介绍两个择一定理：Farkas定理和Gordan定理，它们在最优化理论中是很有用的。,2.凸集与凸函数,2.4择一定理,30,2.凸集与凸函数,31,2.凸集与凸函数,32,2.凸集与凸函数,33,2.凸集与凸函数,34,2.凸集与凸函数,35,2.