正方形性质与判定的综合应用

.,第一章特殊平行四边形,1.3正方形的性质与判定,第3课时正方形的性质与判定的综合应用,.,名师点金,正方形既是菱形，又是矩形，它具有菱形、矩形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是菱形又是矩形即可,.,1,训练角度,利用正方形的性质证明线段位置关系,如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DECF，连接DF，AE，并延长AE，其延长线交DF于点M.求证：AMDF.,.,AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，ACBD，OAODOCOB.AOEDOF90.DECF，OEOF.AOEDOF.OAEODF.DOF90，DFOFDO90.DFOFAE90.AMF90，即AMDF.,证明：,.,2,训练角度,利用正方形的性质解决线段和差倍分问题,2在正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.,.,(1)如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，易证：BMDNMN.当MAN绕点A旋转到BMDN时，如图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由(2)当MAN绕点A旋转到如图所示的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由,.,(1)仍有BMDNMN成立证明如下：过点A作AEAN，交CB的延长线于点E,易证ABEADN，DNBE，AEAN.又EAMNAM45，AMAM，EAMNAM.MEMN.MEBEBMDNBM，BMDNMN.,解：,.,(2)DNBMMN.理由如下：如图，在DN上截取DEBM，连接AE.四边形ABCD是正方形，ABMDBAD90，ABAD.又BMDE，ABMADE.AMAE，BAMDAE.,.,DAB90，MAE90.MAN45，EAN45MAN.又AMAE，ANAN，AMNAEN.MNEN.DNDEENBMMN.DNBMMN.,.,3,训练角度,利用正方形的判定和性质探究正方形的条件,3如图，在RtABC中，ACB90，过点C的直线MNAB，D为AB边上一点，过点D作DEBC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.,.,(1)求证：CEAD.(2)当点D为AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明理由(3)若点D为AB的中点，则当A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明理由,.,(1)DEBC，DFB90.ACB90，ACBDFB.ACDE.MNAB，即CEAD，四边形ADEC是平行四边形CEAD.,证明：,.,(2)四边形BECD是菱形理由：D为AB的中点，ADBD.CEAD，BDCE.BDCE，四边形BECD是平行四边形ACB90，D为AB的中点，CDBD.四边形BECD是菱形,解：,.,(3)当A45时，四边形BECD是正方形，理由：ACB90，A45，ABCA45.ACBC.点D为AB的中点，CDAB.CDB90.四边形BECD是菱形，菱形BECD是正方形即当A45时，四边形BECD是正方形,解：,.,4,训练角度,正方形性质与判定的综合运用,4如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.,.,(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？并说明理由,.,(1)四边形ABCD是正方形，ABCD90，ABBCCDDA.又在任何运动时刻，APBQCRDS，PBQCRDSA.ASPBPQCQRDRS.PSQPRQSR，ASPBPQ.在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形,证明：,.,又APSASP90，APSBPQ90.QPS180(APSBPQ)1809090.在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形(2)当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD的面积,解：,.,解：,(3)当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形ABCD四边中点时，四边形PQRS的面积是正方形ABCD面积的一半理由：设正方形ABCD的边长为a.当PS2a2时，在RtAPS中，ASaSDaAP.由勾股定理，得A