马尔可夫链 数学建模

.,马尔可夫链建模法,马尔可夫链基本理论和结论服务网点的设置问题常染色体遗传模型常染体隐性疾病模型,.,马尔可夫链的应用,预备知识：马尔可夫链,随机过程：设是一族随机变量，T是一个实数集合，若对任意的实数，是一个随机变量，则称为随机过程。,.,例一在一条生产线上检验产品质量，每次取一个，废品记为1合格品记为0。以表示第n次检验结果，则是一个随机变量.不断检验，得到一系列随机变量，记为它是一个随机序列，其状态空间为E=0，1,例二：在m个商店联营出租相机业务中（顾客从其中一个商店租出可以到m个商店中的任意一个归还）规定一天为一个时间单位表示第t天开始时照相机在第j个商店,j=1,2,.m.则是一个随机序列，其状态空间为,.,例3：,某商店每月考察一次经营情况，其结果用销路好或坏这两种状况中的一种表示。已知若果本月销路好，下月任保只这种状况的概率为0.5；如果本月销路坏，下月转变为销路好的概率为0.4，试分析假若开始时商店处于销路好的状态，过若干月后能保持销路好的概率有多大？如果开始是处于销路坏呢？,E=1,2,.m,n=0,1,2,.,称为这个经营系统的状态,.,称为无后效性，由此，更椐全概率公式容易得到,.,如表所示，由数字变化规律可以看出,开始销路好时状态概率的变化,n,0123,10.50.450.445,4/9,00.50.550.555,5/9,.,表2开始销路坏时的状态概率的变化,0123,n,00.40.440.4444/9,10.60.560.5565/9,马尔可夫链的定义：,设,是一个随机序列，状态空间E为有限或可列,对于任意的正整数m,n，若i,j,有,则称,为一个,马尔可夫链,.,马氏链及其基本方程,由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程,.,.,马氏链至少包括一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，能以正的概率经有限次转移达到某个吸收状态则称此马氏链为吸收链。,定理2：正则链存在唯一的极限状态概率,.,引入状态概率向量和转移概率矩阵,（7）,则基本方程（3）可表为,（8）,（9）,.,因此对于马氏链模型最基本的问题是：构造状态xn及写出转移矩阵p，一旦有了P，则给定初始状态a(0)就可以用（9）或（8）计算任意时间n的状态概率a(n),定义1：一个有k个状态的马氏链，如果存在正整数N，使从任意状态i经N次转移，都以大于0的概率达到状态j(I,j=1,2,k)称此马氏链为正则链。,正则链。,.,马尔可夫链的应用,模型六：服务网点的设置问题,为适应日益扩大的旅游事业的需要，某城市的甲乙丙三个照相馆组成一个联营部，联合经营出租相机的业务。游客可由甲乙丙三处任一处租出相机，用完后，还到三处中的任一处即可。估计其转移概率为：,租相机处,甲,乙丙,还相机处,甲,乙,丙,0.20.800.800.20.10.30.6,.,今欲选择其中之一附设相机维修点，请你设计一种方案。,模型分析,由于旅客还相机的情况只与该次租机地点有关，而与相机以前所处的点址无关。,.,由（10）有，设极限概率为W,即：,.,解上列方程组可得：,由计算看出，经过长期经营后，该联营部的每架照相机还到甲乙丙照相馆的概率为17/41，16/41，8/41。由于还到甲的照相机的概率最大，因此维修点设在甲馆较好。,模型推广：生物基因遗传等方面的应用。,.,4.3马氏链模型,随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状态s(t)是不确定的，它可能取K种状态si(i=1,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。,.,例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示,.,.,相应的转移矩阵为：,且Sj+1=SjM,首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有（1）（I,j=1,n）（2）（i=1,n）这样的矩阵被称为随机矩阵。,.,常染色体遗传模型,下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如表所示。,双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。,.,（a）假设：令n=0,1,2,。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比。令x(n)为第n代植物的基因型分布：,当n=0时,表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）,.,（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，而第n1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1,2时,即,类似可推出,cn=0,显然有（ii）第n代的分布与第n1代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。,(4.2),(4.3),(4.4),.,将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得,根据假设(I)，可递推得出：,对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为,其中,（注：这里M为转移矩阵的位置）,(4.5),.,由（4.5）式递推，得,(4.6),（4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角库D，使M=PDP-1因而有Mn=PDnP-1,n=1,2,其中,这里，是矩阵M的三个特征值。对于(4.5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0,.,因此,所以,通过计算，P-1=P，因此有,.,即,.,所以有,即在极限的情况下，培育的植物都是AA型。若在上述问题中，不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如表所示。,.,M的特征值为,通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内量e3：,因此,.,解得：,，所以,因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅具有基因AA和aa。,.,.,现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。,.,（b）建模由假设（iii），从第n1代到第n代基因型分布的变化取决于方程,所以,，其中,如果初始分布x(0)已知，那么第n代基因型分布为,解将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得,.,计算,=,(4.8),，,隐性患者逐渐消失。从(4.8)式中可知,每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的1/2。,(4.9),.,（c）模型讨论研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（4.9）式改写为,(4.10),.,.,（群体的近交系数）设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数。例如，某村镇共有2000对婚配关系，其中有59对表亲，22对半堂亲和28对从表亲，则该村镇的近亲系数为,现在，我们来研究近亲结婚会产生什么结果。,设某基因对由A、a两种基因组成，出现A的概率为p，出现a的概率为q=1-p。在随机交配群体中，其子女为AA、Aa及aa型的概率分别为p2、2pq及q2。对近交系数为F的群体，根据条件概率公式，后代出现aa型基因对的概率为,.,比较存在近亲交配的群体与不允许近亲交配(F=0)的群体，令,若a为某种隐性疾病的基因，易见，在近交群体中，后代产生遗传病（aa型）的概率增大了，且F越大，后代患遗传病的概率也越大。,同样，后代出现AA型基因对的概率为p2+Fpq。Aa型不可能是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为2pq(1-F)。,.,例如，苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子aa型疾病（a为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率，求表兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。由前，表兄妹结婚的近交系数为1/16,故其子女发生该疾病的概率为而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率为q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大了大约7.19倍，由此可见，为了提高全民族的身体素质，近亲结婚是应当禁止的。,.,.,(4.11),.,其中,从（4.11）式中易得,经过计算，矩阵M的特征值和特征向量为,.,M对角化，则有,(4.12),.,其中：,.,.,.,即,即同胞对是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率为1/3。,.,.,根据定义3，例4.7中状态S4即为一吸收链,.,具有r个吸收状态，nr个非吸收状态的吸收链，它的nn转移矩阵的标准形式为,（注：非标准形式可经对状态重新编号）,其中Ir为r阶单位阵，O为rs零阵，R为sr矩阵，S为ss矩阵。令,上式中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过n步转移后，处于s个非吸收状态的概率。在吸收链中，令F=(IS)-1，称F为基矩阵。,.,.,设甲胜一题的概率为p，（0p1），p与两队的实力有关。甲队得分有5种可能，即0，1，2，3，4。我们分别记为状态S0，S1，S2，