第二类曲面积分

.,第二类曲面积分,.,一、基本概念,观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,.,曲面分上侧和下侧,曲面分左侧和右侧,莫比乌斯带,.,并作曲面的法线,该法线有两个可能的方向,选定其中一个方向,如果,(不跨越,曲面的边界),相应的法向量的,方向与原方向相同,如果相应的法向量的方向与原方向相反,是一个单侧曲面.,就称,通常我们遇到的曲面都是双侧的,如球面、,旋转,抛物面、,马鞍面等.,但是单侧曲面也是存在的,所,1、曲面侧的概念,谓的莫比乌斯带就是一个典型的单侧曲面的例子.,.,典型双侧曲面,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,.,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,.,今后我们总假定所考虑的曲面是双侧的.,对于双,侧曲面,我们可通过选定曲面上的一个法向量来,规定曲面的侧.,反之,我们也可通过选定曲面的侧来规定曲面上,各点处的法向量的指向.,2、有向曲面的概念（曲面的定侧）,.,例如由方程zz(xy)表示的曲面为双侧曲面，可分为上侧与下侧,设为曲面上的法向量，则当cos0时n所指向的一侧是上侧,同理当cos0时n所指向的一侧就是下侧,如果取定曲面的上侧，我们就认为它的法向量指向被取定。,曲面的侧确定与它的法向量有何关系呢？,.,其方向用法向量指向表示。,方向余弦,0为前侧0为右侧0为上侧0为下侧,外侧内侧,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,类似地如果曲面的方程为yy(zx)则曲面分为左侧与右侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的右侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的左侧如果曲面的方程为xx(yz)则曲面分为前侧与后侧。当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的前侧当cos0时，法向量指向的一侧是曲面的后侧,.,3、曲面在坐标面上的投影,在有向曲面上取一小块曲面S用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的),类似地,.,二、第二类曲面积分的概念与性质,1、实例:流向平面一侧的流量.,.,.,.,2、第二类曲面积分的概念与性质,定义,其上任一点,处的单位法向量,又设,则有函数,它在,上的第一类曲面积分,，称为函数,在有向曲面,上的第二类曲面积分.,.,于是,第二类曲面积分可写成如下形式:,(1),有向曲面元,常将其记为,它在三个坐标在上的,投影分别记为,.,这种形式的第二类曲面积分又称为对坐标的曲面,积分.,第二类曲面积分在实际应用中常出现的形式是,注:,(1),式给出了两类曲面积分之间的联系.,其中,为负,甚至为零,它们都要改,变符号,与二重积分的面积微分元,总取正值,是有区别的.,要注意到,可能为正也可能,这里的,.,（1）、存在条件:,（2）、物理意义:,.,（3）第二类曲面积分与有向曲面,的法向量的指向有,关。,则积分要改,变符号,即,（4）第二类曲面积分也有与二重积分类似的性质.,如,积分的可加性等.,.,三、第二类曲面积分的计算,其它情,形依此类推.,设光滑曲面,多交于一点,则,由,有,-化为二重积分,.,钝角而定.,有,同理,则有,.,则有,有,注:,积分曲面更复杂的情形可分片计算之.,有,.,(前正后负),(右正左负),(上正下负),小结：,.,第二类曲面积分的计算应注意的问题:,(3)曲面S取哪一侧；,(2)向哪个坐标面投影；,(1)曲面S用什么方程表示；,(4)积分前取什么符号。,.,方体的整个表面的外侧(xyz)|0xa0yb0zc,把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6,解,除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此,.,方体的整个表面的外侧(xyz)|0xa0yb0zc,把的上下面分别记为1和2前后面分别记为3和4左右面分别记为5和6,解,除3、4外其余四片曲面在yOz面上的投影为零因此,a2bc,同理可得,于是所求曲面积分为(abc)abc,.,解,.,解,.,.,练习：,计算曲面积分,其中,是平面,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.,解,同理，,.,计算曲面积分,所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.,解,原式,.,原式,.,解:利用两类曲面积分的联系,有,.,.,不同的单一型积分化成相同的单一型积分方法,其他情况类似。,.,内容小结,1.第二类曲面积分的概念,第二类曲面积分为,.,内容小结,1.第二类曲面积分的概念,的指向有关.,物理意义:,2.第二类曲面积分的计