20橙啦考研数学终极预测卷一解析1

2020 年全国硕士研究生招生考试数学终极预测（一）年全国硕士研究生招生考试数学终极预测（一） 参考答案（未必是最优解法，以课堂讲授为准）参考答案（未必是最优解法，以课堂讲授为准） 本试卷满分本试卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 180 分钟分钟，命题人：边一（，命题人：边一（刀哥刀哥） 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，分，下列每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. 1. 【答案】（【答案】（C） 【解析】反证法：设【解析】反证法：设 nn zx +有界，且由题设有界，且由题设 n z有界，则存在有界，则存在0M与与0 1 M，对一，对一 切切n， 有， 有,Mzx nn +与与, 1 Mzn从而有从而有, 1 MMzzxzzxx nnnnnnn +=从从 而而 n x有界，与题设矛盾，故应选（有界，与题设矛盾，故应选（C）. 【注】有界数列与有界数列的和、差、积均为有界，但商未必有界；【注】有界数列与有界数列的和、差、积均为有界，但商未必有界； 有界数列与无界数列之和、差必无界，但积、商未必有界也未必无界；有界数列与无界数列之和、差必无界，但积、商未必有界也未必无界； 无界数列与无界数列的和、差、积、商均未必无界也未必有界无界数列与无界数列的和、差、积、商均未必无界也未必有界. 2、【答案】（【答案】（B） 【解析】方法一：令【解析】方法一：令, 1 t x = 则则dt tt t dt tt t dx xx + + + + = + = + 0 2 0 2 2 0 2 )1)(1 ()1)(1 ()1)(1 ( 1 ，dt tt dt t + + + = 0 2 0 2 )1)(1 ( 1 )1 ( 1 故故. 41 1 2 1 )1)(1 ( 1 0 2 0 2 = + = + + dt t dx xx 方法二：当方法二：当0时，有时，有, 1 1 )1)(1 ( 1 lim 2 2 = + + + x xx x 此时此时12+，所以反常积分收敛；，所以反常积分收敛； 当当0时，有时，有, 1 1 )1)(1 ( 1 lim 2 2 = + + x xx x 此时此时12，所以反常积分收敛；，所以反常积分收敛； 当当0=时，反常积分显然收敛时，反常积分显然收敛. 3、【答案】（【答案】（A） 【解析】【解析】, 0)1ln(4+yxyx等号仅在等号仅在)0 , 0(或或)2 , 2(处成立，所以（处成立，所以（A）正确）正确. 4（数一、三做）（数一、三做） 【答案】【答案】 ( (B) ) 【解析】【解析】 因为因为 11 2 00 2 0(1,2,3.) 13 nn n x udxxdxn xn n = + ， 且级数， 且级数 1 2 3 nn n = 收收 敛， 从而由比较判别法知正项级数敛， 从而由比较判别法知正项级数 1 n n n u = 收敛， 这表明交错级数收敛， 这表明交错级数 1 1 ( 1) n n n n u = 绝对收敛，绝对收敛， 故应选故应选(B)(B) 4（数二做）（数二做） 【答案】（【答案】（D） 【解析】【解析】,)()()( 1 00 =dxxftduuftF t .)()()( 1 0 =dxxftftF 令令，0)(= t F即即.)()( 1 0 =dxxftf由拉格朗日中值定理知由拉格朗日中值定理知) 1 , 0(),()( 1 0 = fdxxf，所所以以 =t是是)(tF的 驻 点的 驻 点 . 由 于由 于)(xf在在 1 , 0上 单 调 递 减 ， 当上 单 调 递 减 ， 当t0时 ，时 ， 0)()()(=ftftF；当；当1t时，时，, 0)()()(=ftftF则则)(tF在在=t处取极处取极 大值，故（大值，故（D）正确）正确. 5、【答案】【答案】（C） 【解析】：由【解析】：由 () * 1r=，得，得( )3r=A，则，则0=A，即，即 ()() 11111111 011011 01 62 2340012 351900062 aa aa aaa a = ，得，得1a =或或3，且此时均满，且此时均满 足足( )3r=A，故选（，故选（C）. 6、【答案】【答案】（B） 【解析】【解析】由由 222 11 112213321 122223331 1322333 ()()()fa xa xa xa xa xa xa xa xa x=+ TTT () ()=X A AXAXAX 所以，对任意所以，对任意0,0fX的充要条件是的充要条件是0AX，即方程组，即方程组0=AX只有零解只有零解. .因此实二因此实二 次型次型f正定的充要条件是方程组正定的充要条件是方程组0=AX只有零解，即只有零解，即A为可逆矩阵，因此选为可逆矩阵，因此选（B）. . 7（数一、三做）（数一、三做）、【答案】：（、【答案】：（B） 【解析】：泊松分布【解析】：泊松分布,0,1,2, ! k P Xkek k =，如，如果把果把() 1 1ae+看成一个常数，看成一个常数， 对比对比,0,1,2, ! C P Xkk k =，可以看出，可以看出( )1XP，且，且 1 Ce=，即，即() 11 1aee +=， 故故 1 1 a e = + ，选（，选（B）. 7（数二做）（数二做）【答案】：（【答案】：（C） 【解析】：对【解析】：对 22 ( ,) x f x xx e=两边同时求导，由链式法则可得两边同时求导，由链式法则可得 22 2 ( , )( , )22 xx xy y xy x fx yfx yxx ex e = +=， 又 因 为， 又 因 为 2 2 ( , )| x x y x fx yx e = = ， 则， 则 2 ( , )|x y y x fx ye = = 8（数一、三做）（数一、三做）【答案】：【答案】：（A） 【解析】：【解析】：令令2XYC+=（C为常数），此时满足为常数），此时满足题目条件，显然选（题目条件，显然选（A） 8（数二做）（数二做）【答案】：（【答案】：（D） 【解析】：【解析】： 2 20yyy+=的特征方程为的特征方程为 2 220+=，则有共轭复特征根，则有共轭复特征根1 i= ， 于是于是 2 20yyy+=的通解为的通解为 12 (cossin ) x yCxCx e=+， 计算可得计算可得()() 2112 cossin x yCCxCCx e=+ . . 不难发现，对任何常数不难发现，对任何常数 12 CC和，都有，都有 12 limlim(cossin )0 x xx yCxCx e + =+=， ()() 2112 limlimcossin0 x xx yCCxCCx e + =+= . . 故故 00 0 11 ( ) ( )2 ( ) ( )2 ( ) 22 y x dxyxy x dxy xy x + + = += + 11 (0)2 (0)lim ( )2 ( ) 22 x yyy xy x + =+ 11 (0)2 (0)(62)4 22 yy=+=+=. . 即应选即应选（D）. . 二、二、填空题：填空题：9 14 小题，每题小题，每题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. 9、 【答案】【答案】0 【解析】【解析】积分积分中值中值定理定理 10、【解析】【解析】 + += + + = 2 2 232 2 1 )1ln( )1 ( )1ln( x x dxxdx x xx I Cxxx x x xx x xx x x + + = + + + + = )1ln( 2 1 )1ln( 1 1 1 1 )1ln( 1 22 2 22 2 2 11、【答案】、【答案】dydx2 【解析【解析】两边同时取微分两边同时取微分 12、【解析】【解析】 1 y xdx dy =， 322 2 ) ( 1 ) ( ) () ( y y yy y xx x x xx x dx dy dy yd dx yd dx yd = =，代入微 分方程，得 y ex dy xd 2 2 2 =。解得 yyy yeeCeCx+= 21 ，其中 1 C和 2 C为常数. 13、【答案】：【答案】：()() TT 1,1,21,1,1,kk+R 【解析】：【解析】：设该线性方程组的系数矩阵为设该线性方程组的系数矩阵为A. .原方程组原方程组有两个不同的解，可知系数矩阵有两个不同的解，可知系数矩阵 不满秩，也即不满秩，也即( )3rA. .通过观察不难发现，通过观察不难发现，A中存在非零的中存在非零的 2 2 阶子式，可知阶子式，可知( )2rA， 故故( )2r=A. . 因此导出组因此导出组0=Ax的的基础解系中含有基础解系中含有 1 1 个向量，由线性方程组解的性质可知个向量，由线性方程组解的性质可知 ()()() TTT 2,2,31,1,11,1,2=是是0=Ax的解，也就是的解，也就是0=Ax的基础解系的基础解系. . 故原方程组的通解为故原方程组的通解为()() TT 1,1,21,1,1,kk+R. 14（数一、三做）（数一、三做）【答案】：【答案】： n4 1 【解析】 ：【解析】 ： 由已知由已知 12 , n 为独立同分布的随机变量，为独立同分布的随机变量，()niDE ii ,.,2 , 1, 2 =， 可得可得 1 1 n i i EE n = = ， 2 2 1 1 n i i DD nn = = ，这样我们就可以利用，这样我们就可以利用切比雪夫不等式，切比雪夫不等式， n n P 4 1 4 2 2 2 = . 14（数二做）（数二做）【答案】：【答案】： 2 111 0 ( , ) x x dxf x y dy + . . 【解析】：【解析】： 这是两个累次积分之和，需将它们对应二重积分的积分区域合并这是两个累次积分之和，需将它们对应二重积分的积分区域合并 成一个成一个区域，然后再交换积分次序区域，然后再交换积分次序. . 第一个累次积分对应的积分区域是第一个累次积分对应的积分区域是 2 1 ( , )|01, 0Dx yyxy= ( , )|01,1x yxxy=， 第二个累次积分对应的积分区域是第二个累次积分对应的积分区域是 2 2 ( , )|12, 01 (1)Dx yyxy= 2 ( , )|01, 111x yxyx= +， 从而从而 12 DDD=+ 2 ( , )|01,11x yxxyx= +. . 于是于是，交换积分次序为先对，交换积分次序为先对y积分，后对积分，后对x积分，得积分，得 2 111 0 ( , ) x x Idxf x y dy + = . . 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（本小题满分（本小题满分 9 分）分） 【答案答案】：】： 4 【解析】：【解析】：令令xtv =，则，则dvv x dtxt x = 0 2 1 0 2 tan 1 )tan( 原式原式= = + x xu x dvv x x dudtt 0 2 00 0 tan sin )1arctan( lim 2 + = x xu x dvv dudtt 0 2 00 0 tan )1arctan( lim 2 2 0 0 tan )1arctan( lim 2 x dtt x x + = 22 2 0 sec2 )1arctan(2 lim xx xx x + = 4 = 16（本小题满分（本小题满分 9 分）分） 【解析】：【解析】：令令dxxf t dxxxftF tt )( 3 2 )()( 00 =，at 0， = t dxxfttftF 0 )( 3 2 )( 3 1 )(， )0()()( 3 1 )()( 3 1 )( ftfttftfttftF= 0)()( 3 =ftf t ，t0， 所以所以)( tF在在, 0a上单调增加，而上单调增加，而0)0( =F，从而，从而0)( tF，即，即)(tF在在, 0a上单调增上单调增 加，于是加，于是0)0()(= FaF，即，即dxxf a dxxxf aa )( 3 2 )( 00 . 17（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 【解析解析】 （）2 1 1),( lim 22 )0, 0(),( = + yx yx e yxf ， 则0 1),(lim )0, 0(),( = yxf yx ， 又),(yxf在点)0 , 0( 处连续，则1)0 , 0(=f。 0 1 1 1)0 ,( lim )0 , 0()0 ,( lim )0 , 0( 2 2 00 = = = x e e xf x fxf x f x x xx ，同理0 )0 , 0( = y f ， 又 ()() ()()()() 22,0,0 ,0,00,00,0 lim xy x y f x yffxfy xy + ()() () ()() () 22 22 2222,0,0,0,0 ,1,11 limlim 1 1 00 xy xy x yx y f x yf x ye exyxy + + = + = = ， 故0| ),( )0, 0( =yxdf。 （）02 )0 , 0(),( lim 1 1),( lim 22 )0, 0(),()0, 0(),( 22 = + = + yx fyxf e yxf yx yx yx ，那么存在0，使 得当+ 22 0yx时，)0 , 0(),(fyxf，从而原题得证。 18（本小题满分（本小题满分 11 分）分） 【答案答案】：】：2 9 20 - 3 2 【解析】：解析】：如图。凡图画错一律如图。凡图画错一律 0 分！（注意上下限的大小，进行提负号）分！（注意上下限的大小，进行提负号） D 为阴影部分，积分为其第为阴影部分，积分为其第 I 象限部分象限部分. 原式原式=2 9 20 - 3 2 2- 2 cos2 2 4 0 = dd. 19（数一、三做，数一、三做，本小题满分本小题满分 11 分）分） 【解析解析】 用数学归纳法.1n =时，由定义有 10 0 ( )( ) x f xf t dt=， 欲证等式成立.设nk=时成立，则1nk=+时， 1 10 000 1 ( )( )( )() (1)! xxt k kk fxf t dtdtf s tsds k + = 1 0 0 1 ( )() (1)! xx k s dsf s tsdt k = 交换次序 0 0 11 ( )() (1)! t x x k t s f stsds kk = = = 0 0 1 ( )() ! x k fs xsds k = 亦成立. 对于固定的(,)x +，函数 0( ) f s在闭区间0, x上连续，（若0 x，则区间 应写成 ,0x），存在 0 0,|( )|,0, Mf sMsx 使.从而 1 00 |( )|()()| (1)! xx nnn n MMM fxxtdtxtx nnn = . 再由比值判别法， 1 | |(1)! limlim0 1 | ! n nn n M x xn M n x n + + = + . 所以级数 0 ( ) n n fx = 收敛，从而 0 ( ) n n fx = 绝对收敛. 19（数二做，数二做，本小题满分本小题满分 11 分）分） 【解析解析】设)(th表示从开始下雪起到时刻t时的积雪深度，则C dt dh =。解这个微分方程， 得 1 CCth+=。又0=t时，0=h，故0 1 =C。从而Cth =。 设)(tx为扫雪机从开始下雪时起到时刻t时走过的距离，则 h k dt dx =（扫雪机每小时扫去的 积雪体积为常数，所以扫雪机前进的速度与积雪深度成反比）。将Cth =代入该方程，可 得 t A dt dx =（其中 C k A =）。解得BtAx+=ln。 设T为开始下雪到扫雪机开始工作的时间，则有：Tt =时，0=x；1+=Tt时，2=x； 3+=Tt时，4=x。代入上式，得 =+ =+ =+ 4)3ln( 2) 1ln( 0ln BTA BTA BTA 。 解上述方程组，得1=T。则雪是从早上7点开始下的。 20（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【解析】【解析】(1)(1)因为增广矩阵因为增广矩阵A的行列式是范德蒙行列式的行列式是范德蒙行列式, , 1234 ,a a a a两两不相等两两不相等, , 则有则有 213141324243 ()()()()()()0aaaaaaaaaaaa=A, , 故故 ( )4r=A. .而系数矩阵而系数矩阵A的秩的秩( )3r=A, ,所以方程组无解所以方程组无解. . (2)(2)当当 1324 ,(0)aak aak k= 时时, ,方程组同解于方程组同解于 23 123 23 123 , . xkxk xk xkxk xk += += 因为因为 1 20 1 k k k = , ,知知( )( )2rr=AA. . 由由( )321nr=A, ,知导出组知导出组0 x =A的基础解系含有的基础解系含有 1 1 个解向量个解向量, ,即解空间的维数即解空间的维数 为为 1.1. 由解的结构和解的性质由解的结构和解的性质, , 12 112 110 112 = 是是0 x =A的基础解系的基础解系. . 于是方程组的通解为于是方程组的通解为 1 12 10 12 kk +=+ , ,其中其中k为任意常数为任意常数. . 21（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 【解析解析】（】（I）由由A是各行元素之和均为是各行元素之和均为0的三阶矩阵，有的三阶矩阵，有 = = 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A， 由特征值与特征向量的定义知由特征值与特征向量的定义知 T ）（1 , 1 , 1 1= 是矩阵是矩阵 A 的属于特征值的属于特征值0 1= 的特征向量的特征向量. 又又)(3)(A+=+，)( 3)(A-=， 且， 且，是线性无关， 知是线性无关， 知 +，- 均不是零向量均不是零向量， 从而， 从而 3 和和-3 都是矩阵都是矩阵A的特征值，的特征值， +，-分别是分别是A的的3 2 =，3 3 -= 的特征向量的特征向量.可见可见A的三个特征值各不相同，所以的三个特征值各不相同，所以A与对与对角矩阵相似角矩阵相似. （II）当当 T ）（1 , 1, 0 -=， T ）（1, 0 , 1-=时，时，有有 = 330 300 030 111 011 101 A, 所以，所以， = = 211 112 121 111 011 101 330 300 030 1 A （III）由于由于A的特征值为的特征值为0 1= ，3 2 =，3 3 -=依次对应的特征向量为依次对应的特征向量为 T ）（1 , 1 , 1 1= ， T ）（0 , 1, 1 2 -=， T ）（2 , 1- , 1- 3 =，显然，显然 321 ，已经正交化，单位化，得已经正交化，单位化，得 = 1 1 1 3 1 1 p， = 0 1 1 2 1 2 -p， = 2 1- 1- 6 1 3 p， 令令 = 6 2 0 3 1 6 1 2 1 3 1 6 1 2 1 3 1 p， 则则P为正交矩阵，为正交矩阵，Pyx =为为正交变换，该变换将二次型正交变换，该变换将二次型AxxT化为标准型为化为标准型为 2 3 2 2 33)(yyy=f. 22（数一、三做，数一、三做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 【解【解析】 ：析】 ： 区域区域D实际是以实际是以( 1,0),(1,0),(0,1),(0, 1)为顶点的正方形区域，为顶点的正方形区域，D的面积为的面积为 2， (, )X Y的联合概率密度为的联合概率密度为 1 ( , ) ( , )2 0 x yD f x y = 其他 ；有了；有了( , )f x y就可以求概率密度就可以求概率密度 ( ) U fu与与( ) V fv，特别可利用，特别可利用( , )f x y的对称性的对称性. （I）UXY=+，( )( , ) U x y u F uP UuP XYuf x y dxdy + =+= 当当1u 时，时，( )0 U F u =； 当当11u 时，时， 11 ( ) 22 U x y u u F udxdy + + = ； 当当1u 时，时，( )1 U F u =. 1 11 ( )( )2 0 UU u fuF u = 其他 ， 1,1UU . UXY=，( )( , ) V x y v F vP VvP XYvf x y dxdy = 当当1v 时，时，( )0 V F v =； 当当11v 时，时， 11 ( ) 22 V x y v v F vdxdy + = ； 当当1v 时，时，( )1 V F v =. 1 11 ( )( )2 0 VV v fvF v = 其他 ， 1,1VU . （II）cov( , )()( ) ( )U VE UVE U E V=。显然。显然( )( )0E UE V=. 2222 ()()()()()()0E UVE XYXYE XYE XE Y=+=. 所以所以 cov( , ) cov( , )0,0 ( )( ) UV U V U V D UD V =. 22（数二做，数二做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 【解析】：解析】：作Lagrange函数 ()() 2222 , , ,lnln3ln5L x y zxyzxyzR=+ 并令 2222 1 20 1 20 3 20 50 x y z Lx x Ly y Lz z LxyzR =+= =+= =+= =+= 由前 3 式得 2 22 3 z xy=，代入第 4 式得可疑点( ) , , 3R RR，因 3 xyz在有界闭集 () 2222 50,0,0 xyzRxyz+=上必有最大值，且最大值必在0,0,0 xyz取 得，故 3 lnfxyz=在 2222 5xyzR+=也有最大值，而( ) , , 3R RR唯一，故最大值为 ()() 5 , , 3ln 3 3f R RRR=， 又 () 5 ln