人身保险的数理基础 (1)

第二章人身保险的数理基础,2.1人身保险精算概论2.2利息理论2.3生命表和生命函数2.4人寿保险保费的确定2.5健康保险和人身意外伤害保险保费的确定,2.1.1人身保险精算的概念2.1.2寿险精算的起源2.1.3人身保险精算的意义2.1.4人身保险精算的基础,2.1人身保险精算概论,2.1.1人身保险精算的概念寿险精算：对人身保险事故出险率的变动规律加以研究的基础上，考虑资金投资回报率及其变动，根据保险种类、保险金额、保险期限、保险金给付方式、保险费缴纳方式及保险人对经营费用的估计等，对投保人需交纳的保险费水平、保险人在不同时期必须准备的责任准备金以及人身保险的其它方面等进行的科学精确的计算。,2.1人身保险精算概论,2.1.1人身保险精算的概念,2.1人身保险精算概论,保险金额保险险种保险期限保险金给付方式保险费缴纳方式,保险费保险责任准备金,保险精算的数理原理,根据投保人的经济收入、家庭状况、生活水平和缴费能力确定,2.1.2寿险精算的起源,2.1人身保险精算概论,1693年，英国数学家爱德华哈雷编制了世界世界上第一个完整的死亡表（生命表）,18世纪，托马斯辛普森构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表,1724年，法国数学家亚伯拉罕德莫伊维提出了第一个死亡法则，奠定了寿险精算学的数理基础。,1756年英国人詹姆斯多德森被拒保事件,2.1.3寿险精算的意义,2.1人身保险精算概论,第一，保险精算运用定量分析的方法帮助人身保险的经营中实现了精确的危险管理。,第二，寿险经营的特性也决定了其必须进行大量的定量分析。,第三，人寿保险经营中投资项目的选择与投资风险的分析等也需要寿险精算。,2.1.4人身保险精算的数理基础-概率论与数理统计,2.1人身保险精算概论,切比雪夫大数法则,贝努里大数法则,钦辛大数法则,大数法则与寿险精算,中心极限定理与寿险精算,第一，准确估计危险事件发生的概论，保险公司必须掌握大量的经验数据，经验数据越多，对为危险时间发生的概率的估计就越准确。,第二，一旦估计出了危险事件发生的概率，还必须将此概率估计值运用到大量的危险单位中才能对未来损失有比较准确的估计。,2.2利息理论,2.2.1利息概述与度量2.2.2利率、贴现率以及现金流的现值与终值计算2.2.3年金的计算,2.2利息理论,2.2.1利息概述与度量-终值、现值与利息,A（t）=A（0）+I（t）a（t）=A（t）/A（0）A（0）：本金I（t）：利息a（t）-1：利率A（t）：终值A-1（t）：现值,2.2利息理论,2.2.1利息概述与度量-利息的计算方式,单利：A（t）=1+it复利：A（t）=1（1+i）t,2.2利息理论,2.2.1利息概述与度量-利息的度量,实际利率:计算利息的期间长度与基本时间单位一致，则资本在该单位时间内获取利息的能力就是实际利率，也称有效利率。,名义利率:计算利息的期间长度与基本时间单位不一致，则原来规定的以基本时间单位为基础的利率资本为名义利率，在该单位时间内获取利息的能力就是实际利率，也称有效利率。,某金融产品年利率为6%，一年计息一次，则实际利率与名义利率都为6%。,某金融产品年利率为6%，半年计息一次，则名义利率为6%，实际利率为（1+6%/2）2-1,1+i=（1+i(m)/m）m,一年期的实际利率i与名义利率i(m)的转化公式,2.2利息理论,2.2.1利息概述与度量-利息的度量,实际贴现率:到期末的总贴现额与到期日应付额之比,名义贴现率:原来规定的以基本时间单位为基础的贴现率,某金融产品年贴现率为6%，一年计息一次，则实际贴现率与名义贴现率都为6%。,某金融产品年贴现率为6%，半年计息一次，则名义贴现率为6%，实际贴现率为1-（1-6%/2）2,d=1-（1-d(m)/m）m,一年期的实际贴现率与名义贴现率的转化公式,2.2利息理论,2.2.2利率、贴现率以及现金流的现值与终值计算,已知利息率，求终值A（t）,已知利息率，求现值P（t）,已知贴现率，求终值A（t）,已知贴现率，求现值P（t）,2.2利息理论,2.2.2利率、贴现率以及现金流的现值与终值计算,例1：某人将3000元存入银行，复利的年利率为5%，3年后的复利累积值是多少？,例2：某人计划在5年后获得10000元，期望投资收益率为10%，则此人现在应投资多少？,A（t）=3000（1+5%）3=3472.875,P（t）=10000/（1+10%）5=6209.21,2.2利息理论,2.2.2利率、贴现率以及现金流的现值与终值计算,例三：假定某票据的面额为5000元，3个月后到期，贴现率为6，贴现行应付给持票人的金额为：,A（t）=50001-6（90/360）=4925元,2.2利息理论,2.2.3年金的计算1、年金支付期等于利息结算期的确定年金,期末付年金：现值A（n）=（1-Vn）/i终值S（n）=（1+i）n-1）/i,期初付年金：现值A（n）=（1-Vn）/d终值S（n）=（1+i）n-1）/d,V=1/（1+i）,d=i/（1+i）,例3：某保险公司计划每年年末提取20000元存入银行，作为第五年末的一笔基金，若年利率为8%，5年后积累的基金为多少？这笔基金的现值是多少？,例4：某人连续10年年初向银行存款2000元，若按复利8.8%计息，求此人在第10年末可从银行提取的资金金额。求此笔资金的现值是多少？,2.2利息理论,2.2.3年金的计算2、年金支付期大于利息结算期的确定年金,期末付年金：现值A（n）=（1-Vn）/（1+i）k-1）终值S（n）=（1+i）n（1-Vn）/（1+i）k-1）,期初付年金：现值A（n）=终值S（n）=,例5：某保险公司计划每年年末提取20000元存入银行，作为第五年末的一笔基金，若年利率为8%，该笔资金每半年结息一次，为5年后积累的基金为多少？这笔基金的现值是多少？,例6：某人连续10年年初向银行存款2000元，若按复利8.8%计息，若该笔资金每年结息2次，该求此人在第10年末可从银行提取的资金金额。求此笔资金的现值是多少？,2.2利息理论,2.2.3年金的计算3、年金支付期小于利息结算期的确定年金,期末付年金：现值A（n）=终值S（n）=,期初付年金：现值A（n）=终值S（n）=,2.3生命表和生命函数,2.3.1生命表2.3.2生命函数2.3.3生命表的类型2.3.4生命表的编制,2.3生命表和生命函数,2.3.1生命表概念生命表又称死亡表，对一定时期某一国家或某一地区的特定人群自出生直至全部死亡这段时间内的生存和死亡情况的记录，刻画了整数年龄的人在整数年内生存或死亡的情况,2.3生命表和生命函数,2.3.1生命表生存模型,T（x）:x岁人的余命，即x岁的人未来存活的时间,Fx（t）:x岁人的余命，即x岁的人在t年内死亡的概率,Sx（t）:x岁人的余命，即x岁的人至少活到x+t的概率,Sx(t)=1-Fx(t)=S0(x+t)/S0(x),2.3生命表和生命函数,2.3.1生命表结构,lx：0岁者活到x岁的生存人数,dx：0岁者在x岁与x+1岁之间死亡的人数,px：x岁的人在年内生存的概率,qx：x岁的人在年内死亡的概率,平均余命,2.3生命表和生命函数,2.3.2生命函数,tpx：x岁者至少活到x+t岁的概率,tqx：x岁者在x+t岁之前死亡的概率,tdx：x岁的人在t年内死亡的人数,lx：x岁的人在x岁和x+1岁之间所活的总年数,2.3生命表和生命函数,2.3.2生命函数平均余命,简约平均余命ex：表示x岁的人可能生存的整年数，若果x岁的人数为lx，那么第一年末生存人数为lx+1，换言之就是lx个人共活了lx+1，以此类推，至lx人全部死亡时他们共活了l（x+1）+l（x+2）+，所以平均每个人存活的整数年龄为,完全平均余命：表示x岁的人可能生存的平均时间，包括不满1年的月份数。,完全平均余命与简约平均余命之间的关系：完全平均余命=简约平均余命+1/2,2.3生命表和生命函数,2.3.2生命函数平均余命,请将下表填写完整,2.3生命表和生命函数,2.3.3生命表类型,国民生命表和经验生命表国民生命表：根据全体国民或者特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主要来源于人口普查的统计资料。如婴儿死亡率、平均寿命、60岁以上人口的平均余命等。,国民生命表和经验生命表经验生命表：是多家人寿保险公司对被保险人以往的死亡数据所编制的生命表。,2.3生命表和生命函数,2.3.3生命表类型,选择生命表、最终生命表和总计生命表选择生命表：经过选择的被保险人的死亡表。,选择生命表、最终生命表和总计生命表最终生命表：剔除了被保险人投保后5-15年的经验数据，即是根据被保险人最终的死亡率编制生命表，也即是按照承保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表,选择生命表、最终生命表和总计生命表总计生命表：根据被保险人在整个保险期限内的死亡率数据编制的生命表。,2.3生命表和生命函数,2.3.3生命表类型,寿险生命表和年金生命表保险公司在其实际业务中往往会根据投保人签订的保险合同中寿险类型的不同而采取不同的保险费。因为经验表明，购买年金保单者的死亡率是要低于购买寿险保单者的死亡率。因为购买者在购买保单时是以自身的死亡率与平均死亡率作比较而定的，高则会考虑购买以死亡为给付条件的寿险保单，低则会考虑购买年金保单。显然，如果用同一张生命表去计算寿险保费和年金保费，不是对被保险人不利就是对保险人不利。因此，精算师一般都基于这一理由而分别编制了寿险生命表和年金生命表，这样有利于业务的稳定。,2.3生命表和生命函数,2.3.3生命表类型,1990-1993年中国人寿保险业经验生命表男女混合,2.3生命表和生命函数,2.3.4生命表的编制,（1）首先根据原始资料按统计的方法确定各年龄的死亡率；（2）要选定适当的技术，用来表明所编制的生命表的最低年龄和观察人数，一般在无特殊邀请的情况下，起编年龄为0岁，人数以10万或100万为标准。,2.3生命表和生命函数,2.3.4生命表的编制,习题：已知某地区的100000个儿童在0-4岁的死亡率。请编制0-4岁的生命表。,1周岁以内婴儿死亡率=0.033331周岁者的死亡率=0.003722周岁者的死亡率=0.001973周岁者的死亡率=0.002254周岁者的死亡率=0.00177,2.4人寿保险保费的确定,2.4.1生命价值理论2.4.2人寿保险保费拟定原则和构成2.4.3一次净缴清保险费计算2.4.4净均衡保险费的计算,2.4人寿保险保费的确定,2.4.1生命价值理论,生命价值概念：人寿保险的经济学基础1924年，美国人寿保险大师休伯纳提出第一，已获得财产第二，潜在财产，作为经济力量可能存在的货币价值。,生命价值估计：1、估计某人工作预期寿命期间的年平均收入2、从年平均收入中扣除税收、保险费和本人的生活费用，其余可供抚养人使用3、确定该人离退休年龄的年数4、使用合理贴现率求得上述收入的现值,2.4人寿保险保费的确定,2.4.1生命价值理论,确定人寿保险保险金额方法1、生命价值法2、收入置换法3、需要法,2.4人寿保险保费的确定,2.4.2人寿保险保费拟定原则与构成,保费的构成（1）纯保费（2）费用（3）风险加成（4）税收和利润,2.4人寿保险保费的确定,2.4.2人寿保险保费拟定原则与构成,保费的拟定原则纯保费的精算现值=保额的精算现值费用负荷毛保费精算现值=保额的精算现值+费用的精算现值,充足性、公平性、适量性,2.4人寿保险保费的确定,2.4.2人寿保险保费拟定原则与构成,充足性、公平性、适量性,1、保险公司必须在整个保修期内确定一个合理的平均利率。2、费率计算假设死亡人数在年内平均分布3、通常要假设一个保险单失效率,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算,定期死亡保险,终身死亡保险,生存保险,两全保险,年金保险,保险费=死亡概率保险金额1元现值,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算定期死亡保险,例1：某保险公司向45岁的男性被保险人签发一份一年定期寿险单，保额为1000元，假设年利率为2.5%。求净保险费是多少？,484121000=48412000元484120000.9756=47230747.20元47230747.20/9048999=5.22元（48412/9048999）10000.9756=5.22元,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算定期死亡保险,例2：某保险公司向45岁的男性被保险人签发一份五年定期寿险单，保额为1000元，假设年利率为2.5%。求净保险费是多少？,45岁：（48412/9048999）10000.9756=5.219446岁：（52473/9048999）10000.9518=5.519347岁：（56910/9048999）10000.9286=5.840148岁：（61974/9048999）10000.9060=6.186949岁：（67104/9048999）10000.8839=6.5547合计：29.3204元,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算定期死亡保险,例2：某保险公司向45岁的男性被保险人签发一份五年定期寿险单，保额为1000元，假设年利率为2.5%。求净保险费是多少？,假设保险费为AX1:n,则l45AX1:n=V1d45+V2d46+V3d47+V4d48+V5d49,AX1:n=（V1d45+V2d46+V3d47+V4d48+V5d49）/l45,AX1:n=（V46d45+V47d46+V48d47+V49d48+V50d49）/V45l45,Cx=Vx+1dxDx=VxlxMx=Cx+Cx+1+Cx+2+C98+C99,AX1:n=（M45-M50）/D45,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算定期死亡保险,以表示年龄x岁的人购买n年保险金额为1元的定期寿险的一次缴清净缴清保费,假设保险费为AX1:n,则lxAX1:n=V1dx+V2dx+1+Vn-1dx+n-2+Vndx+n-1,AX1:n=（V1dx+V2dx+1+Vn-1dx+n-2+Vndx+n-1）/lx,AX1:n=（Vx+1dx+Vx+2dx+1+Vx+n-1dx+n-2+Vx+ndx+n-1）/Vxlx,Cx=Vx+1dxDx=VxlxMx=Cx+Cx+1+Cx+2+C98+C99,AX1:n=（Mx-Mx+n）/Dx,2.4人寿保险保费的确定,例3：某保险公司向45岁男性签发了一份终身寿险保单，保额1000元，年利率为2.5%，请计算终身寿险的一次缴清净保费是多少？（生命表假设所有人在100岁死亡）,2.4.3一次清缴清保费计算终身死亡保险,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算生存保险,以nEx表示年龄为x的人购买n年保险金额为1元的生存保险的一次缴清净保险费，则,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算生存保险,例4：对一个18岁的男性签发为期20年的生存保险单的一次缴清净保险费是多少？,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算两全保险,例5：向一个45岁的人签发5年期的两全保险单的一次缴清净保险费是多少？,5年期定期寿险的保险费=29.3204元（例二）5年期生存保险的保险费=（8762306/9048990）*1000*0.8839=855.896元5年期两全保险的保险费=885.2164元,净缴清保费=（Mx-Mx+n+Dx+n）/Dx,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算即期年金保险,以ax表示年龄x的人购买年金金额为1元的即期终身年金的一次缴清净保险费（期末给付）,lxax=v1lx+1+v2lx+2+v98-xl98+v99-xl99,ax=（v1lx+1+v2lx+2+v98-xl98+v99-xl99）/lx,ax=（vx+1lx+1+vx+2lx+2+v98l98+v99l99）/vxlx,Dx=VxlxNx=Dx+Dx+1+Dx+2+Dw-1,ax=Nx+1/Dx,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算即期年金保险,以ax表示年龄x的人购买年金金额为1元的即期终身年金的一次缴清净保险费（期首给付）,lxax=lx+v1lx+1+v2lx+2+v98-xl98+v99-xl99,ax=（lx+v1lx+1+v2lx+2+v98-xl98+v99-xl99）/lx,ax=（vxlx+vx+1lx+1+vx+2lx+2+v98l98+v99l99）/vxlx,Dx=VxlxNx=Dx+Dx+1+Dx+2+D99,ax=Nx/Dx,2.4人寿保险保费的确定,2.4.3一次清缴清保费计算延期年金保险,以n/ax表示年龄x的人购买年金金额为1元的在x+n+1岁作第一次给付的延期终身年金保险的一次缴清净保险费（期末给付）,Lxn/ax=vn+1lx+n+1+v2lx+2+v98-xl98+v99-xl99,ax=（vx+n+1lx+n+1+v98l98+v99l99）/vxlx,Dx=VxlxNx=Dx+Dx+1+Dx+2+D99,n/ax=Nx+n+1/Dx,2.4人寿保险保费的确定,2.4.4净均衡保费的计算（分期缴纳保险费）,采用均衡保险费方法的原因：1、首先被保险人能够承担缴费义务，可以避免在年老时缴付高额保险费。2、其次在被保险人过早死亡的情况下，可以减少保险费缴付。,均衡保险费计算的原理：净年均衡保险费缴纳的累计现值=一次缴清净保险费,2.4人寿保险保费的确定,2.4.4净均衡保费的计算（分期缴纳保险费）,具体应用时可以将均衡保险费给付与年金给付联系起来采用年金给付方式来进行计算，但要注意二者的区别：1、均衡保险费缴付由被保险人向保险公司缴付，年金则是由保险公司向年金受领人给付。2、保单签发时比较缴纳第一期保险费，因此年金给付与保险费缴纳相隔一个给付期。,均衡保险费计算的原理：净年均衡保险费缴纳=一次缴清净保险费/保险费缴付期1元期首给付年金的现值,采用年金现值的原因：1、有些被保险人过早死亡，不会缴付以后的保险费，从而减少今后保险公司的保险费收入2、分期缴付的保险费收入减少了公司的投资收入,2.4人寿保险保费的确定,2.4.4净均衡保费的计算（分期缴纳保险费）,定期死亡保险,终身死亡保险,限期缴清终身死亡保险,2.4人寿保险保费的确定,2.4.4净均衡保费的计算-定期寿险,前例：对一个45岁的人签发五年期的定期寿险单，保险金额为1000元，无风险利率为2.5%，试计算5年分期缴纳的净均衡保险费是多少？,根据前面已知该保险单的保险金额现值=