期末考题、复习1-5章复习2013-2014

1 微积分CI期末复习 考试时间：2014年1月8日星期三 上午8：0010：00 1 20132014学年第一学期 Chapter 2.极限与连续极限与连续 2 极限极限 数列极限数列极限 函数极限函数极限 数列极限运算法则和性质数列极限运算法则和性质 数列极限计算数列极限计算 数列的通项数列的通项 函数极限定义（函数极限定义（6 6种）种） 函数极限运算法则和性质函数极限运算法则和性质 无穷小量等价替换无穷小量等价替换 无穷大量与无穷大量与无穷小量无穷小量 求函数极限求函数极限 罗比塔法则罗比塔法则 两个求极限的准则和两个重要极限两个求极限的准则和两个重要极限 利用左右极限利用左右极限( (分段函数极限问题分段函数极限问题) ) 函数的连续性函数的连续性 定义定义, ,连续与极限的关系连续与极限的关系 分段函数的分段点处连续性的判断；分段函数的分段点处连续性的判断； 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 左连续和右连续左连续和右连续. . ( (介值性定理，零值定理，最大小值定理介值性定理，零值定理，最大小值定理) ) 2 2 32 1.( )ln. 1 1 2.( )ln(2). 2 3.(1)1,( ). sin 0 4.( )( )0 0 1 sinsin 0 5.( ) 1 0 x x f xx x f xx x f exf x xx x f xcf xxxx cx xx f xx ax 求函数的连续区间 求函数的定义域 已知求及其定义域 设，当 取什么值时在连续？ 设, :(1)_0? (2)_0? ax ax 问时函数在处有极限 时函数在处连续 一、求解下列各题一、求解下列各题 3 二、求下列极限二、求下列极限 2 22 22 0 1 2 1.limsin 2. lim(2) 3. lim(51) 11 4. lim sin 1 5. lim 1ln 1 6. limln(1) n n n x x x n n nnn nnn xx x xx xx x 求极限 1 2 0 0 2 3 0 cos 0 3 sin sin 7. lim 12 8.lim 1 23 9.lim 1 arctan 10. lim ln(132) 11. lim sin x x x x x x x x x x x x x xx xx xx ee xx 求极限 求极限 4 222 12 12.,1,2,lim 31323 nn n n xnx nnnn 设求极限 Chapter 3 Chapter 3 导数与微分导数与微分 5 导数导数 导数的定义和几何意义导数的定义和几何意义 导数的四则运算法则导数的四则运算法则和导数公式表和导数公式表 微分微分 微分与导数的关系微分与导数的关系 微分的应用微分的应用 求近似计算求近似计算 简单的应用简单的应用 求导数求导数: :复合函数及隐函数微分法复合函数及隐函数微分法, ,对数求导法对数求导法, , 幂指函数求导数幂指函数求导数. .分段函数求导数分段函数求导数, ,会求高阶导数会求高阶导数. . 求微分求微分: : 微分公式表微分公式表, ,微分的四则运算法则微分的四则运算法则, , 复合函数和隐函数微分法复合函数和隐函数微分法 理解并会利用一阶微分的形式不变性理解并会利用一阶微分的形式不变性 导数和微分在经济中的应用导数和微分在经济中的应用 微分的概念和几何意义微分的概念和几何意义 边际分析边际分析 弹性分析弹性分析 6 2 (ln ) 3 22 22 2 sin 1. tan 2.( )arctanln ,(1). 3.lnln(arctan) 4.( )(sin ),. 1 5. (),( ) 2 6.( )(0),() 7.1. 8.(1 fx x xx yx x f xxxxf yxxdyy f xyfx edy d f xfx dxx xd fxafax dx ax yxex 求函数关于 的微分 设求求 ， 求 的和 设可导,求 设求 设求 求在处切线和法线的方程 求导数 2 222 2 2 tan )22(2) 2ln() 9.(ln ),( ) x xxx yxyxxxa d y yfxf x dx 且二阶导数，求 一、求解下列各题一、求解下列各题 2 2006 0 0 0 1.( )(1) ( ),( )1(1)1,(1) 2 2.(0)lim ( )( ),(0). 3 ( )1 3.( )0lim1(0)(0) (4 )( ) 4.( )0(0)1, lim 5.( ),( x x x f xxg xg xxgf x ff xfaf x f x f xxff x fxf x f xxf x f xf 设其中在处连续,且求 设存在，且求 设在点连续,且，和 已知函数在处可导,且求 已知偶函数可导 且 1 0 (21)(1) 1)2 ,lim 2(1) (1)(1) 6.( )(,),lim1, 2 ( )( 1,( 1) x x fxf e x ffx f x x yf xf 求 设偶函数在内可导 且 求曲线在处的切线的斜率. 7 二、求解下列各题二、求解下列各题 8 2 1 1 32 2 1.( )1,( )lim( ), (1) lim( ) (2)( ) (3)( )1. sin 0 2.( ), 0 (1)( )0? (2)( )0( )0() 0,(0). 2 ( 3. x x x f xxf xxef x f xfxyf xx xx x f xxx cx cf xx f xxf xx xf fxx 已知在点有极限 且 求曲线在处的切线方程 设 当 取什么值时在点连续 当在点连续时在点是否可导？要过程 如果在点可导 求 设 1cos )0 0 ( ),( ). xx ax f xxaafx 已知在点可导 求 的值 并求 三、求解下列各题三、求解下列各题 66 2 0 2 ln(1) 0 4.( ), 0 ,( )0(0). 5.( )1 6.( )61(0) 7.( ),| 8.arctanln x y xy x exbx f x ax a bf xxf yf xxyyy yf xexyxy xyeyf xdy y x x 设 确定的值使函数在点可导并求 设函数是由方程确定的函数，求 和 设函数是由方程确定的函数,求 设隐含函数求 设 2, y y 求 9 三、求解下列各题三、求解下列各题(续续) Chapter 4 导数的应用导数的应用 0 0 10 中值定理中值定理 罗尔中值定理罗尔中值定理 拉格郎日中值定理拉格郎日中值定理 柯西中值定理柯西中值定理 泰勒公式泰勒公式 泰勒定理泰勒定理 简单函数在一点的泰勒展开简单函数在一点的泰勒展开 常用基本初等函数的麦克劳林公式常用基本初等函数的麦克劳林公式 用泰勒公式求极限（了解）用泰勒公式求极限（了解） 洛比塔法则洛比塔法则 00 0 1 , 0 洛比塔法则练习题见本课件第二章洛比塔法则练习题见本课件第二章 最值应用题最值应用题: : 会利用微分理论解决经济中的最值问题会利用微分理论解决经济中的最值问题. . 11 单调性单调性: :会用导数确定函数增减区间会用导数确定函数增减区间. . 确定函数的极值和最值确定函数的极值和最值. . 凹向与拐点凹向与拐点: :会确定函数的上下凸区间和拐点会确定函数的上下凸区间和拐点 渐近线渐近线: :会确定函数的渐近线会确定函数的渐近线. . 函数作图：会画函数草图（导数的综合应用）函数作图：会画函数草图（导数的综合应用） 利用利用 导数导数 研究研究 函数函数 0 1.( ) , ,( , ), ( )( )0 ,:( , ), ( )( )0 2.( )( ) , ,( , ), ( )( )0.( , ), ( )( )( )0 3.( )0,1,(0,1),(0)(1)0. : f xa ba b f af ba b ff f xg xa ba b f af ba b ffg f xff x 设函数在上连续 在内可导且 证明 存在使得 设函数和在上连续 在内可导 且 证明：存在使得 设函数在区间上连续 在内可导 且 证明 对任意 0 (0,1) ,(0,1),( )() 4.( ),( , ), ( )( ):,( , ),( )0,( )0 . 5.( )0,1,(0,1),(0)0,(1)1. :01,0,( )( ) ff x f xa ba b af ba bff f xff a bafbfab 存在使得 设不恒为常数的函数在上连续 在内可导 且证明 存在使 设函数在上连续内可导 且 证明存在使得对于任意有 12 一、证明下列各题 3 13 3 6.( ) 1,1,( 1,1), (0)0(1)1.: (1)(0,1)( )1 (2),(0,1)( )( )1 1 7.tan, 0 32 arctan 8.10ln 1, 0 1 2(1) 9.ln f x ff f ff xxxx x xxxx x x x 已知函数在区间上连续 在内可导 且，证明 存在使得 存在两个不同的点，使得 证明不等式 证明：当且时， （） 证明不等式 , 0 1 x x 2 2 52 33 2 3 33 1.( )1 52 3 2.( ). 2 (3) 3.( ), 4(1) , 2 4., ,. f xxx f xxx x f x x yx x 求 的单调区间和极值。 求 的单调区间和极值 确定函数的定义域 单调区间 凹凸区间 极值点 拐点以及渐进线 并画出函数的图象。 求函数的定义域 单调区间 凹凸区间 极值 拐点和渐近线 并作出函数的草图 14 二、求解下列各题（利用导数或微分） 2 1 5.( )25000200() 40 (1),? (2)500,? 6.50, 10.502 ,. . (1). (2) xC xxx QppQ 已知某厂生产 件产品的成本为元 要使平均成本最小 应生产多少件产品 若产品以每件元价格售出 要使利润最大 应生产多少件产品 某企业生产某产品的固定成本为万元 每生产一件产品 成本增加万元 已知该产品的需求函数其中 为价格为产量 该产品在市场上畅销 求 总成本函数和总收益函数 该产品的最大利 2 . 7., 1500.5(). ( )40000.25 (1),? (2),? ,1%,? x px xC xx 润及相应价格 某服装公司正在推广某款套装公司确定 为卖出该款服装 套 其单价应为元 已知生产 套服装的总成本， 生产并销售多少套服装 可使总利润最大 最大总利润是多少 在总利润达到最大时 服装的单价是多少 此时 若价格下降总收益增加还是减少 将变化百分之多少 15 不定积分不定积分 原函数的概念原函数的概念 不定积分公式表不定积分公式表 求不定积分方法求不定积分方法 第一类换元法第一类换元法(凑微分法凑微分法) 第二类换元法第二类换元法 分部积分法分部积分法 Chapter 5 不定积分不定积分 16 不定积分的定义，几何意义，性质不定积分的定义，几何意义，性质 不定积分基本公式不定积分基本公式 17 1 2 2 2 22 (1)() 1 (2)(0, 1)(3)ln| 1 1 (4)arctancot 1 1 (5)arcsinarccos 1 (6)cossin(7)sincos (8)sectan(9)cs cossin kdxkxCk x x dxCdxxC x dxxCarcxC x dxxCxC x xdxxCxdxxC dxdx xdxxC xx 是常数 2 ccot (10)sec tansec(11)csc cotcsc (12)tanln cos(13)cotln sin xdxxC xxdxxCxxdxxC xdxxCxdxxC 2222 22 22 22 (14)(15) ln (16)secln sectan(17)cscln csccot 1111 (19)ln(20)ln 22 111 (18)arctan(21)arcsin 1 (22)l x xxx a e dxeCa dxC a xdxxxCxdxxxC xaax dxCdxC xaaxaaxaax xx dxCdxC axaaa ax dx xa 22 2 2222 2222222 n 1 (23)arcsin 22 1 (24)(ln() 2 xxaC ax ax dxx axC a xa dxx xaaxxaC 18 不定积分基本公式不定积分基本公式(续续) 要求：熟记公式要求：熟记公式( (1)1)(21)(21)背下来，会推导公式背下来，会推导公式( (22)22)(24)(24) 4 2 2 2 2 1.( )( ) 1 2.( ),. ( ) 3.ln( )( ) 4.( )(0,2),( , ) ,( ). 1 5.()() 1 6.(1)( x x x xxxx x x f xefx dx x f x dxxeCdx f x xf xxfx dx yf xx y xef x e f e dxCef e dx e f edxxxcf 设的一个原函数为，求 已知求 已知是的一个原函数，求 已知曲线过点且其上任一点处切线 的斜率为求 设，求 已知，求 2 2 2 ). 7.( ), 3. x x x F xye xdx 已知是函数的一个原函数 利用这个已知条件 求不定积分 一、求解下列各题 19 二、求下列不定积分 2 2 2 2 2 2 1 1. (13 ) 2. 618 2 3. 23 1 4. 21 5