数学北师大版高中二年级上册 解排列问题的常用方法

解排列问题的常用方法,解排列问题的常用方法,解排列问题，首先必须认真审题，明确问题是否是排列问题，其次是抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面就不同的题型介绍几种常用的解题方法。,一.特殊元素（位置）分析法,例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？,解由于首位和末位有特殊要求,所以考虑优先安排首位和末位。,先排末位共有_,然后排首位共有_,最后排其它位置共有_,由分步计数原理得,=288,位置分析法和元素分析法是解决排列问题最常用也是最基本的方法。,分析先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：,根据分步及分类计数原理，不同的站法共有,6个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？,练习,2）若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有种，1位的排法有种,第2、3、6、7位的排法有种，根据分步计数原理，不同的站法有种。,1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有种方法.,二.捆绑法,某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个“大”元素，与其他元素排列后，然后再对大元素内部排列的方法。,例2有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其他学科书3本，将这些书排成一列放书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？,运用捆绑法解决排列问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是“先捆绑，再排列”。,分析把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，两本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其他3本书一起看成5个元素，共种排法，又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法，根据分步乘法原理共有排法,练习,7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.,5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起,有多少种不同的排法?,三.插空法,某些元素要求不相邻时，可以先安排其它元素，再将这些不相邻元素插入空位的方法。,例3停车场划出一排12个停车位，现有8辆车需要停放，要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？,分析先排好8辆车共有种排法，要求空位置连在一起（剩下4个空位在一起，来插入8辆车，有9个空位可以插），将空位置插入其中共有种方法，所以共种方法。,（1）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？,插空法：,（2）如果有两个男生、四个女生排成一排，要求男生之间不相邻，有几种不同排法？,插空法：,练习,例4用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字的三位数，其中1不在个位的数共有_种。,四.间接法,对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。,分析五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。,（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？,（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，那么不同的站法有（）A.120B.96C.78D.72,练习,五.平均分组问题除法策略,例56本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少种分法？,平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。,分析分三步取书有种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为A，B，C，D，E，F。若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF，该分法记(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)，(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。,（1）五人排队，甲在乙前面的排法有几种？,练习,（2）三个男生，四个女生排成一排，其中甲、乙、丙三人的顺序不变，有几种不同排法？,分析若不考虑限制条件，则有种排法，而甲，乙之间排法有种，而甲在乙前面的排法只有一种，故符合条件的排法有种.,六.直排法,把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理.,例6六人坐两排座位，第一排坐2人，第二排坐4人，则有多少种不同的坐法？,分析6个人，可以在前后排随意就坐，再无其他限制条件，故两排可看作一排处理，所以不同的坐法有种.,（1）三个男生，四个女生排成两排，前排三人、后排四人，有几种不同排法？,或：七个人可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，所以,两排可看作一排来处理不同的坐法有种,（2）八个人排成两排，有几种不同排法？,练习,七.线排法,例78人围桌而坐，共有多少种坐法？,解围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有种排法，即,一般地，n个不同元素作圆形排列，共有种排法。如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有种。,八.定序问题空位插入倍缩法,例88个人排队,其中甲，乙，丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？,解（空位法）设想有8把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法,（插入法)先排甲乙丙三