数值分析第六章学习小结

第六章学习总结姓名：张亚杰班：机器1505班号： s一、本章的学习体验1、工程实际上若几个原函数难以表现，或者原函数的公式过于复杂，积函数以离散的数值给出，则本科时代学习的牛顿莱布尼茨公式无法计算，本章表示基于上述情况近似求出确定积分的计算方法。2、数值积分的基本思想是，通过用单纯的函数近似被积分函数，确立多项式的积分公式，将积分评价问题变换成被积分函数的数值的计算，避免牛顿莱布尼茨公式求出原函数。 3、数值积分是数值近似的重要内容，也是插值函数的直接应用。 4、本章的重点是牛顿竞赛的积式和高斯型的积式。二、知识构图：求积式一般形式求积节点求积系数(1)求出积式(6.1)在f(x )为m以下的多项式的情况下定义为式，在f(x )为m 1次多项式的情况下定义为不成为式，求出积的式(6.1)定义为具有m次代数精度(2)判定方法：在求出积的式中，在f(x )为的情况下定义为式，在f(x )为的情况下定义为式.代数精度利用上一拉格朗日插值公式的知识，在积公式中通过插值基函数积分求出。 两个定理： 1，n 1个节点的插值型求积公式是插值型求积公式，如果其至少具有n阶代数度2，n 1个节点的求积公式。内插型积式另外，也称为求等长节点的积的式子(将区间n等分，使步骤h相等)。 形式：其中。 2、n=1时梯形式n=2时为抛物线式。 n=3时为辛普森3/8式n=4时为Cotes式。 3 .了解和掌握以上四个公式的代数精度和截止误差。牛顿科特斯公式牛顿路线的求法，由于n大于8时会变得不稳定，所以不能通过提高次数的方法来提高精度，将区间进行等分，每个区间使用低次式称为复合求法。 1、将梯形式的公式与截止误差复合化，梯形式的收敛具有数值稳定性。 2 .使辛普森式的一般形式和截止误差复杂化，复杂化辛普森式收敛，具有数值稳定性。 3、缺点：精确度高则计算量大，为达到所要求的精确度，一般不能选择合适的步骤。复合乘积法公式数值积分高斯求积公式这个加权积分式如果有次代数精度的话，节点是高斯点，对应的式子是求高斯型的积的式子。 优点：使用节点少，精度高。定义高斯-文艺复兴乘积公式一般形式：区间为-1，1 ，高斯点为文艺复兴多项式的零点高斯-拉盖尔乘积公式在一般形式中，区间高斯点是拉格多项式的零点.一般形式：区间是高斯点或埃米尔多项式的零点。高斯-埃米尔乘积公式高斯切比雪夫乘积式一般形式：其中高斯点是切比雪夫多项式的零点。三、思考问题牛顿竞赛积和高斯积节点分布的差异是什么？ 对于相同数量的节点，两种方法中哪一种更准确？ 为什么？a :牛顿路线求积时，等分积分区间，求积的节点是等节距节点，高斯求积式的节点称为高斯点，一般是不等节距点。对于相同数量的节点求高斯型的积的式子是求代数精度最高的积的式子，更正确。什么是高斯型求积式？ 那个累计节点是如何决定的？ 代数精度为何称为具有最高代数精度的积和式？ a :对于求各个乘积的节点，求乘积的式子具有次代数精度的话，将该节点称为高斯点，求对应乘积的式子称为求高斯型乘积的式子。插值型积式节点为高斯点的充分条件是这些节点为零点的多项式与不超过任何阶数的多项式带的权重正交，即高斯型积计算式的代数精度是各个积节点的积计算式的代数精度最高的。四、检查问题如果用梯形计算积分的结果证明大于正确值，并阐述几