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文档简介

第三章常见曲面,本章的讨论均在右手直角坐标系中进行,1球面和旋转面,1.1球面的普通方程,其中，,(3.1),球心为，半径为的球面的方程.,(3.2)式没有交叉项，平方项系数相同，反之，形如(3.2)的方程在时表示一个球面，时表示一个点，而时表示虚球面。,1.2球面的参数方程，点的球面坐标,1.如果球心在原点，半径为，在球面上任取一点，从作面的垂线，垂足为，连.设轴到的角度为，到的角度为,(3.3),(3.3)称为球心在原点，半径为的球面的参数方程，有两个参数其中称为经度，称为纬度.,2.除z轴外，空间中的任一点都可由有序三元组唯一确定，我们称该三元组为空间中点的球面坐标（或空间极坐标）,1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程,1.从球面的普通方程(3.2)和参数方程(3.3)可看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程.曲面的参数方程是含两个参数的方程：,其中，对于的每一对值，由(3.5)确定的点在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可以由的某一对值通过(3.5)表示.于是通过曲面的参数方程(3.5)，曲面上的点（可能要除去个别点）便可以由数对来确定，因此称为曲面上点的曲纹坐标.,2.空间中曲线的普通方程可表为两个三元方程的联立方程组：,即空间中曲线可以看成是两个曲面的交线.,曲线的参数方程是含有一个参数的方程：,3.例球面与平面相交所得的圆的普通方程为,而这个圆的参数方程是：,1.4旋转面,球面可以看成是一个半圆绕它的直径旋转一周所形成的曲面.现在来研究更一般的情形.,1.定义3.1一条曲线绕一条直线旋转所得的曲面称为旋转面.称为轴，称为母线.,母线上每个点绕旋转一周得到一个圆，称为纬圆，它与轴l垂直。过轴的半平面与旋转面的交线称为经线（或子午线）.经线可以是母线，但母线不一定是经线。,点在旋转面上的充分必要条件是在经过母线上某一点的纬圆上（如图3.2）.,因此有：,从这个方程组中消去参数,就得到的方程，它就是所求旋转面的方程.,3.现在设旋转轴为轴，母线在平面上，方程为:,则点在旋转面上的充分必要条件是：,消去参数，得,这个曲面称为旋转抛物面（如图3.3）.,这个曲面称为旋转双叶双曲面（如图3.4）.,绕y轴旋转所得曲面的方程为,这个曲面称为旋转单叶双曲面（如图3.5）.,即,这个曲面称为环面（如图3.6）.,7.例3.4设和是两条异面直线，它们不垂直.求绕旋转所得曲面的方程.,解设和的距离为.以为z轴，以和的公垂线为x轴，并且设与轴x的交点为，建立一个右手直角坐标系.设的方向向量为,因为与x轴垂直,所以，得.因为异面，所以，于是.因此可设v的坐标为.因为与不垂直，所以.于是.,因此，的参数方程为,点M(x,y,z)在旋转面上的充要条件是,消去参数，得,即,这是一个旋转单
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