巧用二次求导解决函数单调性和极值问题ppt课件

巧用二次求导解决函数单调性和极值问题,深圳市民办学校高中数学教师欧阳文丰制作,1,导言,在历年高考试题中，导数部分是是以导数作为压轴题来考查。这类题主要考察函数的单调性、求函数的极值与最值以及利用导数的有关知识解决恒成立、不等式证明等问题。解决这类题的常规解题步骤为：求函数的定义域；求函数的导数；求的零点；列出的变化关系表；根据列表解答问题。而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出导函数的符号，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。若遇这类问题，则可试用求函数的二阶导数加以解决。,2,一二阶导数与凸性,一二阶导数与凸性定义1.设在区间I上连续，如果对I上任意两点与，恒有，那么称在I上的图形是凹的；如果恒有，那么称在I上的图形是凸的；定理1设在上连续，在内可导，那么：（1）若在内单调增加，则在上的图形是凹的；（2）若在内单调减少，则在上的图形是凸的；,3,一二阶导数与凸性,定理2设在上连续，在内二阶可导，那么：（1）若在内，则在上的图形是凹的；（2）若在内，则在上的图形是凸的凸性作为函数的一种重要性质,其准确刻画需要涉及到高等数学中的二阶导数等知识,因此,它不属于高中数学的研究范畴,但是,近年来的高考试题中有许多与二阶导数的凸性有关的高考题。凹凸性是函数图像的主要形状之一。结合的关系可以方便地判断一个函数与其导函数图像的关系。,4,二二阶导数与极值,二二阶导数与极值在高中，判断函数是否在取得极值，经常是利用函数导数在两侧的符号来判断。实际上，还可以利用二阶导数的符号来判断是否为函数的极值点。有如下的判定定理：定理3设函数在点处具有二阶导数且，那么（1）当时，函数在处取得极大值；（2）当时，函数在处取得极小值,5,典型例题讲解,例题1、已知函数，求函数的单调区间。解：的定义域是.,设,则,6,典型例题讲解,当,当,时,所以,函数,上是减函数.,当,当,所以，函数的单调递增区间是，递减区间是.,7,典型例题讲解,例题2、设函数,（）若,求的单调区间；,（）若当时，,。求的取值范围。,8,典型例题讲解,（2）、解：当a0时，在区间上显然，综上(1)可得在区间上成立。故a0满足题意。当a0时，显然，当在区间上大于零时，为增函数，满足题意。而当在区间上为增函数时，也就是说，要求在区间上大于等于零，又因为在区间上为增函数，所以要求，即，解得。综上所述，a的取值范围为。,9,典型例题讲解,例题3、已知函数.（）若，求的取值范围；（）证明：解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用去分析的单调性受阻。,10,典型例题讲解,我们可以尝试再对求导，可得，显然当时，；当1时，0，即在区间上为减函数，所以有当0x时，我们通过二次求导分析的单调性，得出当0x时，则在区间上为增函数，即，此时，则有成立。下面我们在接着分析当1x时的情况，同理，当1x时，0，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立。综上，得证。,11,典型例题讲解,例题4、设a为实数，函数。（）求的单调区间与极值；（）求证：当a且x0时，。（）解：设，则：,12,典型例题讲解,由上表可知，而,由a知0，所以0，即在区