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第三节,实对称矩阵,1,对称矩阵,例如,方阵A为对称矩阵,矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等,2,定理2实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。,设A是对称矩阵,实对称矩阵的性质,定理1实对称矩阵的特征值必为实数。,证明,定理3设A是n阶对称矩阵，是A的特征方程的重根，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量。,3,实对称矩阵的对角化,4,例用正交变换把下列对称矩阵对角化,解（）求方阵的特征值,由,得特征值,（）求特征向量,对于,对于,解方程组,得一个基础解系,解方程组,得一个基础解系,5,（）将特征向量组正交化、单位化,令,正交化,单位化,6,（）构造矩阵，写出相应的对角形矩阵,令,则有,7,求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：,1、求矩阵A的特征值2、求特征向量3、将特征向量正交化、单位化4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵,8,练习,设实对称矩阵,解,A的特征多项式为,A的特征值为,求正交矩阵P,使,为对角矩阵.,9,当,解方程组,即,得到两个线性无关的特征向量,对于,得到特征向量,取,是矩阵A的正交特征向量组,10,单位化,令,则有,11,定义,性质,(1)实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.,(2)奇数阶反对称阵对应的行列式为0.,(3)非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.,反对称矩阵,12,定义,性质,(1)幂等矩阵的特征值为0或1.,幂等矩阵,13,幂零矩阵,定义,性质,(1)幂零矩阵的特征值为0.,()非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.,14,作业,P107-P10
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