三信道及信道容量PPT课件

1,1,信息论与编码,第3章信道和信道容量,2,2,信息论与编码,主要内容3.1信道的基本概念3.2离散单个符号信道及其容量3.3离散序列信道及其容量3.4连续信道及其容量3.5信源与信道的匹配,3,3,信息论与编码,3.1信道分类和表示参数重点：信道矩阵,4,4,信息论与编码,信道中存在的干扰使输出信号与输入信号之间没有固定的函数关系，只有统计依赖的关系。因此可以通过研究分析输入输出信号的统计关系来研究信道。一、信道的分类1、根据用户数量分为单用户信道：只有一个输入端和一个输出端，信息单向传输。多用户信道：输入端和输出端至少有一方存在两个以上的用户，信息双向传输。2、根据信道输入端和输出端的关系分为无反馈信道：输出端对输入端没有影响。反馈信道：输出信号通过一定的途径反馈到输入端，致使输入端信号发生变化。,5,5,信息论与编码,3、根据信道参数与时间的关系分为固定参数信道：信道参数（统计特性）不随时间的变化而变化。例如光纤、电缆等信道。时变参数信道：信道参数随时间变化而变化。例如无线信道。4、根据信道中所受噪声种类的不同分为随机差错信道：噪声独立随机地影响每个传输码元。例如以白噪声为主体的信道。突发差错信道：干扰的影响是前后相关的，错误成串出现。例如衰落信道、码间干扰信道。,6,6,信息论与编码,5、根据信道参数与时间的关系分为离散信道：输入输出信号在时间、幅度上均为离散。连续信道：信号幅度连续、时间离散。半离散半连续信道：输入输出信号中一个离散、一个连续。波形信道：在时间和幅度上均连续，一般可以用随机过程来表示。限时限频的随机过程可以分解为离散的随机序列，所以波形信道可以被分解为离散信道、连续信道和半离散半连续信道。,7,7,信息论与编码,二、离散信道的信道参数1、基本离散信道（单符号离散信道）输入输出信号都是取值离散的单个随机变量，可用信道转移概率来描述。其中并满足：信道转移概率：条件概率其中,ai为信道输入，bj为信道输出。,8,8,信息论与编码,单符号离散信道可以用图形描述如下,9,9,信息论与编码,信道矩阵的每一行之和必定等于1。,10,10,信息论与编码,2、一般离散信道（多维离散信道）输入输出信号都是平稳随机矢量，其数学模型可用概率空间X，p(Y/X)，Y来描述。其中为输入信号，为输出信号。X中Y中其中P(Y/X)是信道的传递概率，反映输入和输出信号之间统计依赖关系。根据信道是否存在干扰以及有无记忆，将信道分为：1）无干扰（噪声）信道：2）有干扰无记忆信道：3）有干扰有记忆信道：,11,11,信息论与编码,1）无干扰（噪声）信道：已知信道输入X就知道信道输出Y。无噪无损信道：疑义度H（X/Y）=0，噪声熵H（Y/X）=0无噪有损信道：疑义度H（X/Y）0，噪声熵H（Y/X）=0有噪无损信道（严格意义上，不能称为无噪声信道）：疑义度H（X/Y）=0，噪声熵H（Y/X）0,12,12,信息论与编码,无噪无损信道：输入输出一一对应，信道矩阵为单位阵,13,13,信息论与编码,无噪有损信道（确定信道）：H（X/Y）0，H（Y/X）=0信道输出端接收到某个bj后不能判定是哪个输入符号aj,14,14,信息论与编码,有噪无损信道：H（X/Y）=0，H（Y/X）0,15,15,信息论与编码,2）有干扰无记忆信道：每个信道输出只与当前输入信号之间有转移概率关系，而与其它时刻的输入输出信号无关。这种情况下，不需要矢量形式，只要分析单个符号的转移概率p(yi/xi)即可。离散无记忆信道（DMC）二进制对称信道（BSC）,16,16,信息论与编码,离散无记忆信道(DMC)：输入和输出信号的符号数大于2但为有限值,即,二进制对称信道（BSC）：输入和输出信号的符号数都是2，即XA=0,1和YB=0，1的对称信道。,17,17,信息论与编码,3）有干扰有记忆信道：每个信道输出不但与当前输入信号之间有转移概率关系，而且与其它时刻的输入输出信号也有关。在实际的数字信道中，当信道特性不理想，存在码间干扰时，输出信号不但与当前的输入信号有关，还与以前的输入信号有关。常用的处理方法有两种：将记忆很强的L个符号当作矢量符号，各矢量符号之间认为无记忆。这时会引入误差，L越大，误差越小。将转移概率看作记忆长度有限的马尔科夫链的形式，这种处理方法很复杂，通常取一阶时稍简单。,18,18,信息论与编码,三、离散输入、连续输出信道信道输入符号选自一个有限的、离散的输入符号集Xa1,a2,an，而信道输出Y-，+,这种信道模型就称为离散时间无记忆信道。它的特性由离散输入X、连续输出Y以及一组条件概率密度函数来决定。这类信道中最重要的就是加性高斯白噪声（AWGN）信道Y=X+G式中，G是一个零均值，方差为2的高斯随机变量。当X=ai给定后，Y是一个均值为ai，方差为2的高斯随机变量。,19,19,信息论与编码,四、波形信道当信道输入和输出都是随机过程x(t)和y(t)时，该信道就称为波形信道，在实际模拟通信系统中，信道都是波形信道。如果波形信道为频宽受限信道，在有限的观察时间内，输入和输出的随机过程可以化为L个时间离散，取值连续的平稳随机序列。这样，波形信道化为多维连续信道，信道转移概率密度函数为其中：,20,20,信息论与编码,如果多维连续信道的转移概率密度函数满足这样的信道称为连续无记忆信道即在任一时刻输出变量只与对应时刻的输入变量有关，与以前时刻的输入输出都无关。一般情况下，上式不能满足，也就是连续信道任一时刻的输出变量与以前时刻的输入输出有关，则称为连续有记忆信道。,21,21,信息论与编码,噪声分为两类：加性噪声和乘性噪声，分析较多的是加性噪声信道(噪声与信号是相加的关系，通常相互独立。)单符号加性噪声信道可以表示为：x(t)是带限信号，y(t)是输出值，n(t)是加性噪声过程的一个样本函数说明：条件熵Hc(Y/X)是由于噪声引起的，它等于噪声信源的熵Hc(n)。所以称条件熵Hc(Y/X)为噪声熵。,22,22,信息论与编码,加性多维连续信道中，输入矢量、输出矢量和噪声矢量的关系表示为：以后主要讨论加性信道，噪声源则主要是加性高斯白噪声。,23,23,信息论与编码,五、信道模型的选取在分析问题时选用何种信道模型完全取决于分析者的目的如果感兴趣的是设计和分析编码器和译码器的性能，常采用DMC信道模型或其简化形式BSC信道模型。如果分析性能的理论极限，则多采用离散输入、连续输出信道模型。如果设计和分析数字调制器和解调器的性能，则可采用波形信道模型。因为本书后面的内容主要讨论编码和译码，所以DMC信道模型使用最多。,24,24,信息论与编码,作业：3-1,25,25,信息论与编码,3.2离散单个符号信道及其容量一、几个定义二、干扰离散信道的信道容量三、对称DMC信道四、准对称DMC信道五、一般DMC信道六、串联信道的信道容量重点：无干扰信道、对称信道和准对称信道的信道容量,26,26,信息论与编码,一、几个定义1、信息传输率：信道中平均每个符号所能传送的信息量2、信息传输速率t：信道中单位时间平均传送的信息量,即收信者在单位时间内接收到的信息量。单位：bit/秒,27,27,信息论与编码,3、信道容量C1）理论基础：对于固定的信道，平均互信息I(X;Y)是信源概率分布P(x)的上凸函数。也就是说，存在一个使某一特定信道的平均互信息达到极大值的信源分布，该极大值可以用来表述信道传送信息的最大能力，即信道容量。,28,28,信息论与编码,2）信道容量的定义对于某特定信道，可找到某种信源的概率分布p(ai)，使得I（X；Y）达到最大。注：对于特定的信道，信道容量是个定值，但是在传输信息时信道能否提供其最大传输能力，则取决于输入端的概率分布。一般相应的输入概率分布称为最佳输入分布。,29,29,若平均传输一个符号需要t秒钟，则信道单位时间内平均传输的最大信息量为：,即信道传输速率。,信道容量C已与输入信源的概率分布无关，它只是信道传输概率的函数，只与信道的统计特性有关。所以，信道容量是完全描述信道特性的参量，是信道能够传输的最大信息量。,30,30,例：二进制对称信道,设p(0)=1/2时，,31,31,信息论与编码,二、无干扰离散信道的信道容量1、无噪无损信道：输入输出一一对应，信道矩阵为单位阵疑义度H(X/Y)=0，噪声熵H(Y/X)=0,32,32,信息论与编码,2、无噪有损信道（确定信道）：H（X/Y）0，H（Y/X）=0信道输出端接收到某个bj后不能判定是哪个输入符号ai,33,33,信息论与编码,3、有噪无损信道：H（X/Y）=0，H（Y/X）0,34,34,我们可以进一步用维拉图来表述有噪无损信道和无噪有损信道中平均互信息、损失熵、噪失熵以及信源熵之间的关系。,有噪无损信道,无噪有损信道,I(X;Y),I(X;Y),H（X）=I（X；Y）,H（Y）=I（X；Y）,H（Y）,H（X）,H（Y/X）,H（X/Y）,35,35,综合上述三种情况，若严格区分的话，凡损失熵等于零的信道称为无损信道；凡噪声熵等于零的信道称为无噪信道，而前面讨论的一一对应的无噪信道则为无噪无损信道。对于无损信道，其信息传输率R就是输入信源X输出第个符号携带的信息量（信源熵H（X），所以其信道容量为式中假设输入信源X的符号共有r个符号，所以等概率分布时信源熵H（X）最大。,36,36,同理，对于无噪信道，信道容量为式中假设输出信源Y的符号共有s个符号，所以等概率分布时信源熵H（Y）最大。而且一定能找到一种输入分布使输出符号Y达到等概分布。,37,37,信息论与编码,三、对称DMC信道1、定义：如果转移概率矩阵P的每一行包含同样元素，则为输入对称矩阵；如果转移概率矩阵P的每一列包含同样元素，则为输出对称矩阵；如果输入输出都对称，则为对称DMC信道。例如:,38,38,若输入符号和输出符号个数相同，都等于r,且信道矩阵为则此信道称为强对称信道或均匀信道。这类信道中的错误概率为p,对称地平均分配给r-1个输出符号。它是对称离散信道的一类特例。二元对称信道就是r=2的均匀信道。对均匀信道，其信道矩阵中各列之和也等于1（一般信道的信道矩阵中各列之和不一定等于1）,39,39,信息论与编码,2、信道容量对称离散信道的平均互信息为I(X;Y)=H(Y)-H(Y/X)，而这一项是固定X=x时对Y求和，即对信道矩阵的行求和。由于信道的对称性，所以H(Y/X=x)与x无关，为一常数，即,40,40,这就变换成求一种输入分布P(x)使H(Y)取最大值的问题了。现已知Y的符号集共有s个符号，则H(Y)=logs。只有当P(y)=1/s（等概率分布时），H(Y)才达到最大值logs。一般情况下，不一定存在一种输入符号的概率分布P(x)，能使输出符号达到等概率分布。但对于对称离散信道，其信道矩阵中每一列都是由同一概率集的诸元素的不同排列组成，所以保证了当输入符号是等概率分布，即P(x)=1/r时，输出符号Y一定也是等概率分布，这是H(Y)=logs。,41,41,由此得对称离散信道的信道容量为,42,42,信息论与编码,例题：已知信道转移矩阵为计算信道容量。解：,在这个信道中，每个符号平均能够传输的最大信息为0.082比特。而且只有当信道的输入符号是等概率分布时才能达到这个最大值。,43,43,信息论与编码,例题：已知信道转移矩阵为该信道输入符号和输出符号的个数相同，都为n，且正确的传输概率为1-，错误概率被均匀分给n-1个输出符号，此类信道称为强对称信道或均匀信道，计算信道容量。解：,44,44,二元对称信道就是r=2的均匀信道。由式子可计算得到信道容量是,45,45,信息论与编码,四、准对称DMC信道1、定义：如果转移概率矩阵P是输入对称而输出不对称，即转移概率矩阵的每一行包含同样元素，而各列的元素可以不同，则为准对称矩阵。例如:,46,46,2、信道容量,准对称DMC信道信道容量的求解方法：方法一：根据信道容量的定义式来计算。方法二：将转移概率矩阵划分为若干个互不相交的对称的子集。根据下面的公式来计算。,47,47,当输入等概分布时，以上两式都与x无关。,48,48,信息论与编码,例题：已知信道转移矩阵为计算信道容量。方法一：该信道为准对称DMC信道，计算信道容量即为输入等概时的平均互信息量。由信道转移矩阵可得条件熵输入等概时，由信道转移矩阵可得联合概率：所以,容易得到输出符号的概率分别0.4，0.4，0.2。所以,49,49,信息论与编码,例题：已知信道转移矩阵为计算信道容量。方法二：将上面的信道矩阵分解为两个子集：根据下面的公式可以求得信道容量：因为：所以信道容量为:,50,50,作业,设信道转移矩阵为（1）求信道容量。（2）若矩阵P中的p=0，则所得到的是二元纯对称删除信道，计算此信道的信道容量。,51,51,解（1）由转移矩阵得到得信道容量为（2）若p=0,则得信道容量为C=1-q(bit/符号),52,52,信息论与编码,五、一般DMC信道如何求得一般DMC信道的信道容量？说明：该结论只给出了达到信道容量C时输入符号概率p(ai)分布的充要条件，并没有给出具体的计算公式。一般情况下，最佳分布不一定是唯一的，只要使得互信息量最大即可。,53,53,由Blahut-Arimoto算法，得出一结论：当信道平均互信息达到信道容量时，输入信源符号集中每一个信源符号x对输出端Y提供相同的互信息，只是概率为0的除外。,54,54,例：设信道如下图，输入符号集为0，1，2，输出符号集为0，1。信道转移矩阵为：这个信道不是对称信道。但可得用B-A算法，求其信道容量,55,分析：仔细考察此信道，可设想若输入符号1的概率分布等于零，该信道就成了一一对应的信道，接收到Y后对输入端X是完全确定的。若输入符号1的概率分布不等于零，就会增加不确定性。所以，首先假设输入概率分布为p(0)=p(2)=1/2,p(1)=0,然后检查它是否满足B-A定理。若满足则该分布就是我们要求的最佳输入分布，若不满足可再另找最佳分布。于是，解：,可见，此分布满足B-A定理：因此，求得这个信道的信道容量为：C=log2=1(比特/符号)而达到信道容量的输入概率分布就是前面假设的分布p(0)=p(2)=1/2,p(1)=0,56,56,例：设离散信道如下图所示，输入符号集为输出符号集为.信道矩阵为求信道容量。,57,57,由于输入符号a3传递到b1和b2是等概率的，所以a3可以省去.而且a1，a2与a4，a5都分别传递到b1和b2，因此可只取a1和a5.所以设输入概率分布p(a1)=p(a5)=1/2,p(a2)=p(a3)=p(a4)=0.可计算得p(b1)=p(b2)=1/2.于是按B-A定理，有,可见，此分布满足B-A定理：因此，求得这个信道的信道容量为：C=log2=1(比特/符号)而达到信道容量的输入概率分布就是前面假设的分布p(a1)=p(a5)=1/2,p(a2)=p(a3)=p(a4)=0,58,58,若设输入概率分布p(a1)=p(a2)=p(a4)=p(a5)=1/4,p(a3)=0.同理，可计算得p(b1)=p(b2)=1/2.于是按B-A定理，也得于是输入分布p(a1)=p(a2)=p(a4)=p(a5)=1/4,p(a3)=0也是最佳分布。当然还可找到此信道其他的最佳输入分布。可见，这信道的最佳输入分布不是惟一的。从仅直接与信道传递概率及输出概率分布有关，因而达到信道容量的输入概率分布不是惟一的，但输出概率分布是惟一的.,59,59,作业,设某信道的转移概率矩阵为:(1)若p(a1)=1/3，求I(a1;Y);I(a2;Y);I(X;Y);(2)求该信道的容量和达到容量时的输入、输出分布,60,60,比特/符号,比特/符号,比特/符号,该信道为准对称信道,达到信道容量时,信道的输入分布应为等概分布,即:对应的输出分布为:,解(1),61,61,此时,输入输出平均互信息等于信道容量:或由,比特/符号,62,62,平均互信息是输入概率分布p(x)的上凸函数，因此极大值必定存在。在信道固定的条件下，平均互信息是r个变量的多元函数，且满足约束条件，故可用拉格朗日乘子法来求这个条件极值。即在设辅助函数：，当时求得的的值即为信道容量。通过计算可得平均互信息的极大值，即,的条件下求的极值。,对于一般的离散信道，我们很难利用B-A定理来寻求信道容量和对应的输入概率分布。用求解?,63,63,这样得到的信道容量有一个参数。在某些情况下可以消去得到信道容量值。1当输入概率分布只有一个变量时，例如r=2，可以设输入概率分布为和，因此输入概率分布只有一个变量，这时我们可以直接对求导求出，从而得出的极大值C。2对于信道矩阵为可逆矩阵的信道，我们可以采用解方程组的方法。在一般信道的信道容量的推导中我们推出了下式：,64,64,移项得当r=s，且信道矩阵是可逆矩阵时，该方程组有唯一解。这时就可以求出，然后根据求出信道容量：,令,则,所以,65,65,由和C就可以求得输出概率分布（1）由列方程组求出；（2）由求出C；（3）由求出；（4）由列方程组求。,再根据,列方程组求,将计算步骤总结如下：,66,66,【例】求如下信道的信道容量：,解：可列方程组,67,67,解之得：,68,68,例：设离散无记忆信道输入X的符号集为：输出Y的符号集为：其信道转移概率矩阵是求信道容量、输入、输出概率分布。,69,69,分析：这个信道是个非对称信道，而且也无法利用B-A定理来计算信道容量。但这信道矩阵为方阵r=s，且为非奇异矩阵，所以根据一般求离散信道容量的公式，有解：,70,70,71,71,作业,一个Z信道的转移概率如图所示,求信道容量,72,72,解：,73,73,信息论与编码,六、串联信道的信道容量根据教材2.2.4节中的信息不增性可得所以：可以看出，串联的信道越多，其信道容量可能会越小。当串联信道数无限大时，信道容量就可能趋于0。,74,74,信息论与编码,作业：,75,75,信息论与编码,3.3离散序列信道及其容量一、离散序列信道二、无记忆离散信道的信道容量重点：无记忆离散序列信道的容量,76,76,信息论与编码,一、离散序列信道：输入输出信号都是平稳随机矢量,可用概率空间来描述。1、无记忆离散信道：每个信道输出只与当前输入信号之间有转移概率关系，而与其它时刻的输入输出信号无关。2、有记忆离散信道：每个信道输出不但与当前输入信号之间有转移概率关系，而且与其它时刻的输入输出信号也有关。目前还没有有效的方法来计算信道容量。,77,77,信息论与编码,二、无记忆离散信道的信道容量1、平均自信息量的定义：性质：1、如果信道无记忆，则2、如果输入矢量中的各个分量相互独立，则,78,78,信息论与编码,2、L次离散无记忆序列信道：当输入矢量XL各个分量相互独立，而且信道无记忆时，信道容量若信道平稳，则3、L个相互独立的信道进行并联：将L个相互独立的信道进行并联，每个信道的输出只与本信道的输入有关。独立并联信道的容量为：只有当输入符号Xl相互独立时，并联信道的容量为各自信道之和。,79,79,信息论与编码,例题：已知单符号信道的转移矩阵为则该BSC信道的二次扩展无记忆信道的转移矩阵为解：容易看出，上述信道均为对称信道，容易计算求得。假设p=0.1，可以求得：二次扩展信道：单符号信道：结论：二次扩展无记忆信道的信道容量正好是单符号信道的信道容量的2倍,计算它们的信道容量，并比较结果。,注意单位,80,80,信息论与编码,3.4连续信道及其容量重点：香农公式,81,81,信息论与编码,一、连续单符号加性信道1、加性高斯噪声的连续熵：信道的输入和输出都是取值连续的一维随机变量，加入信道的噪声是均值为0，方差为2的加性高斯噪声。根据2.4.3节所述，该噪声的连续熵为：,82,82,信息论与编码,2、连续单符号加性高斯信道的容量式中：Hc(Y)要取得最大值，只有当信道输出Y为正态分布时。由于信道输入和噪声统计独立，假设信道输入功率为S，噪声功率为2，则信道输入功率为P=S+2值为0。当信道输入X是均值为0，方差为S的高斯分布随机变量时，得到信道容量：可见，加性高斯信道的容量仅取决于信道的信噪比。需要注意的是，计算时输入信号的功率S应是经过信道损耗后的功率。,83,83,信息论与编码,3、连续单符号加性非高斯信道容量的上下界对于均值为0，平均功率为2的非高斯加性噪声信道，其信道容量的上下界为：式中，Hc(n)是噪声熵，P为输出信号的功率物理意义：先看不等式的右边，因为所以当噪声为非高斯时，如果输入信号的分布使得输出信号y为高斯分布时，Hc(Y)达到最大值，此时信道容量就达到上限。再看不等式的左边，因为其中第二项考虑的是高斯噪声的熵，它是噪声熵最坏的情况，所以是信道容量的下限值。在同样平均功率受限情况下，非高斯噪声信道的容量大于噪声信道的容量。所以，在处理实际问题时，通常采用计算高斯噪声信道容量的方法保守地计算信道容量。,84,84,信息论与编码,二、多维无记忆加性连续信道1、多维无记忆加性信道等价于L个独立信道并联加性：信道的输入和输出都是取值连续的一维随机变量，加入信道的噪声是均值为0，方差为2的加性高斯噪声。根据2.4.3节所述，该噪声的连续熵为：,85,3.5信源与信道的匹配,信道的信道容量是固定的，但只有当信源符号的概率分布满足一定的条件，才能使信息传输率R=I(X;Y)达到信道容量。如果某一信源通过该信道传输时，信息传输率达到了信道容量，则称信源与信道达到匹配，否则，我们认为有冗余。,平均互信息I(X;Y)=,1、信源与信道匹配的概念及有关定义,定义：信道冗余度C-I(X;Y),信道相对冗余度,相对冗余度,H(X),信道容量为C=,logr,因而可通过编码降低信源冗余度来提高信息传输率。,