复变函数论-liuVIP

,复变函数论,背景,复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域.但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”.直到十八世纪，J.DAlembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展.,二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.,1.复数的概念2.代数运算3.共轭复数,一复数及其代数运算,1.复数,复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任意的实数，i是虚数单位(的平方根）.x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：,注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等.如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.,2.复数的四则运算,复数的四则运算定义为：,全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域.记为C，复数域可以看成实数域的扩张.注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.,z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.,运算规律,复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，,共轭复数的性质,3.共轭复数,定义若z=x+iy,称z=xiy为z的共轭复数.,(conjugate),1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法,二复数的表示方法,1.点的表示,2.向量表示法,称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z0时),辐角无穷多：Argz=0+2k，kZ，,z=0时，辐角不确定.,3.三角表示法,非零复数的三角表示定义为：,复数加、减法的几何表示如右图：,4.指数表示法,例4用复数方程表示:（1）过两点zj=xj+iyj(j=1,2)的直线；,解：z=z1+t(z2-z1)（-t+）,（2）中心在点(0,-1),半径为2的圆.,1.复数的乘积与商2.复数的乘幂3.复数的方根,三复数的乘幂与方根,定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.,证明：设z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2则z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2)=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)=r1r2ei(1+2),1.数的乘积与商,因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2,几何意义：将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.,定理1可推广到n个复数的乘积.,要使上式成立,必须且只需k=m+n+1.,定理2两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,于是Argz=Argz2-Argz1即,由复数除法的定义z=z2/z1，即z1z=z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（z10）,证明,由公式有：,由三个是内角容易得到：,设z=rei，由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn=rn(cosn+isinn)=rnein.,2.复数的乘幂,定义,问题给定复数z=rei，求所有的满足n=z的复数.,3.复数的方根,（开方）乘方的逆运算,当k=0，1，n-1时