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4可解出导数的一阶隐式方程,由隐式方程给出的一阶微分方程：,从方程中解出导数的方程：,解：,原方程可化为：,解此二方程得：,解：,原方程可化为：,得：,解：,原方程可化为：,得：,Dec.14Wed.Review,一阶线性齐次微分方程的解,一阶线性非齐次微分方程的解,非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解,Bernoulli方程,可解出导数的一阶隐式方程,可降阶的微分方程,从方程中解出导数的方程：,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,5可降阶的二阶微分方程,型方程型方程型方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,不显含y,解题步骤：,Step1.,做变量变换,Step2.,求解一阶微分方程,Step3.,求解,得出,解:,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,解：,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,解题步骤：,Step1.,做变量变换,Step2.,求解一阶微分方程,Step3.,解出,再求出,例4.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例5.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与x轴围成的三角形面,例6.,二阶可导,且,上任一点P(x,y)作该曲线的,切线及x轴的垂线,区间0,x上以,解:,于是,在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99考研),再利用y(0)=1得,利用,得,两边对x求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,两类特殊二阶微分方程,1.,令,则,两边积分,2.,令,则,两边积分可求出解。,内容小结,可降阶微分方程的解法
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