工科数学分析-分部积分法、初等函数积分

2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,1,分部积分法几种特殊类型函数的积分有理函数三角函数有理式简单无理函数,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,2,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、分部积分法,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,3,例1求积分,解（一）,令,显然，选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,4,例2求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数),2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,5,例3求积分,解,令,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,6,例4求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,7,例5求积分,解,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,8,例6求积分,解,注意循环形式,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,9,例7求积分,解,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,10,令,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,11,解,两边同时对求导,得,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,12,练习题,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,13,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,14,练习题答案,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,15,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,16,有理函数的定义：,两个多项式的商表示的函数称之.,二、有理函数的积分,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,17,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例,难点,将有理函数化为部分分式之和.,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,18,（1）分母中若有因式，则分解后为,有理函数化为部分分式之和的一般规律：,特殊地：,分解后为,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,19,特殊地：,分解后为,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,20,真分式化为部分分式之和的待定系数法,例9,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,21,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将值代入,例10,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,22,例11,整理得,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,23,例12求积分,解,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,24,例13求积分,解,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,25,例14求积分,解,令,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,26,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,27,说明,将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：,多项式；,讨论积分,令,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,28,则,记,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,29,这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.,结论,有理函数的原函数都是初等函数.,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,30,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,三、三角函数有理式的积分,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,31,（万能置换公式）,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,32,例15求积分,解,由万能置换公式,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,33,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,34,例16求积分,解（一）,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,35,解（二）,修改万能置换公式,令,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,36,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,37,例17求积分,解,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,38,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,39,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例18求积分,解令,四、简单无理函数的积分,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,40,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,41,例19求积分,解令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,42,例20求积分,解,先对分母进行有理化,原式,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,43,简单无理式的积分.,有理式分解成部分分式之和的积分.,（注意：必须化成真分式）,三角有理式的积分.（万能置换公式）,（注意：万能公式并不万能）,总结,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,44,练习题,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系,45,2011年10月,南京航空航天大学理学院数学系