山东大学数学分析10

第十章隐函数定理及其应用,1隐函数,一隐函数概念,二隐函数存在性条件分析,三隐函数定理,四隐函数求导举例,1隐函数,一隐函数概念：,在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如,这种形式的函数称为显函数.但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的.这种形式的函数称为隐函数.,二隐函数存在性条件分析,三隐函数定理,隐函数可微性定理,解,令,则,均连续。,四隐函数求导举例,函数的一阶和二阶导数为,解,令,则,解,令,则,解1：,于是，,思路2：,解2：,令,则,整理得,整理得,整理得,设,求,解,令,则,故,例,求方程,所确定的,函数,的偏导数。,解,令,则,故,例,10.2由方程组确定的隐函数的求导法,设方程组,确定函数,求,想一想，怎么做？,问题1,一、隐函数组概念,运用克莱满法则解此二元一次方程组,移项，得,当,时，,方程组有唯一解：,这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式(之一)。,问题2,设方程组,确定函数,求,利用问题1的结论，你可能已经知道应该怎么做了。,依葫芦画瓢哦！,将x或y看成常数,自己动手做！,当,时，,将y看成常数,公式,当,时,将x看成常数,公式,二、方程组的情形,下面推导公式：,即，,等式两边对x求导，,现,这是关于,的,二元线性方程组。,方程组有唯一解。,类似，对,等式两边对y求导，,得关于,的线性方程组。,解方程组得,特别地，方程组,例1设,解1：,令,则,解2：,方程两端对x求导。,注意：,即,得,即,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法。,将所给方程的两边对x求导并移项:,将所给方程的两边对y求导，用同样方法得,设,确定函数,求,解,令,则,例3,同理可得,问题1和问题2的方法可以推广到更一般的情形。,定理(隐函数存在定理),设,1.,2.,3.,其中，,方程组,则,在,内唯一确定一组函数,且,雅可比行列式,当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：,1.,2.,1.反函数组存在定理,三、反函数组和坐标变换,定理18.5（反函数组定理）设函数组及其一阶偏导数在某区域上连续，点是,D的内点，且,则在点的某邻域内存在唯一的一组反函数,使得,且当时，有,2.坐标变换:两个重要的坐标变换.,例2直角坐标与极坐标之间的变换为,所以除原点外，在一切点上都能确定出反函数组,由于,例3直角坐标与球坐标变换,其Jacobian行列式为,所以在的一切点，,可唯一确定出的函数,隐函数的求导法则,四、小结,（分下列几种情况）,常用解法：,公式法方程两边求导法,10.3几何应用,一平面曲线的切线与法线,二.空间曲线的切线与法平面,三曲面的切平面与法线,四小结,问题的提出,我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量,切线方程为,法线方程为,的某邻域内满足隐函数定理条件，则,一.平面曲线的切线与法线,求曲线上过点的切线方程，这里,设曲线用参数方程表示为,二.空间曲线的切线与法平面,由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点的割线方程,在上式各端的分母都除以,由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，就得到曲线在点的切线方程：,由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是,曲线在点的法平面就是过点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是,如果曲线的方程表示为,可以把它写成如下的以为参数的参数方程,于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：,一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：,设，设上述方程组在点确定了一对函数,由这两个方程可解出,这时容易把它化成刚才讨论过的情形：,从而可得曲线在点的切线方程：,和法平面方程,解：,在（1，1，1）点对应参数为t=1,切线方程：,例1求曲线在点处的切线及法平面方程。,例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。,法平面方程：x-z=0,切线方程：,解,在曲线方程中分别对求导，得,对应于点的参数，于是,从而切线方程为,法平面方程为,解,在方程组,中分别对求导数，得,于是,从而在点有：,所以切线方程为：,即,此直线可看作是平面与平面的交线。,三曲面的切平面与法线,设曲面方程为,过曲面上点任作一条在曲面上的曲线，设其方程为,显然有,在上式两端对求导，得,曲线在M处的切向量,上式说明向量与切线向量正交。,从而曲面在点的切平面方程为,由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。,在点（设点对应于参数）有,过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为,该法线的一组方向数为：,综上所述若曲面方程为,则该曲面在点的切平面方程为,过点的法线方程为,设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为,若曲面方程为,容易把它化成刚才讨论过的情形：,于是曲面在（这里）点的切平面方程为,法线方程为,若曲面方程为参数形式：,如果由方程组可以确定两个函数：,于是可以将看成的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。,代入方程，得,因此需分别计算对的偏导数。,将分别对求导，注意到为的函数按隐函数求导法则有,解方程组，得,法线方程,于是曲面在点的切平面方程为,例1求球面在点的切平面及法线方程,解,设,则,所以在点处球面的切平面方程为,法线方程,曲面的夹角,两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。,如果两个曲面在该点的夹角等于90度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。,例2证明对任意常数，球面与锥面是正交的。,即,证明,球面的法线方向数为,锥面的法线方向数为,在两曲面交线上的任一点处，两法向量的内积,因在曲面上，上式右端等于0，所以曲面与锥面正交。,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,2空间曲线的切线与法平面,3曲面的切平面与法线,四小结,1平面曲线的切线与法线,10.4极值和条件极值,一、极值,若函数在点的某个邻域内成立不等式,则称在点取到极大值，点称为函数的极大点；,类似地，,若函数在点的某个邻域内成立不等式,则称在点取到极小值，点称为函数的极小点；,极大值与极小值统称为极值；极大点与极小点统称为极值点。,由定义可见，若在点取得极值，则当固定时，一元函数必定在取相同的极值。,同理，一元函数在也取相同的极值。于是由一元函数极值的必要条件，可得,上述条件不是充分的，例如函数在原点（0，0）有,但此函数的图形是一马鞍面，因而在原点没有极值。,设二元函数在点的偏导数存在，若在取得极值，则,于是得到二元函数取得极值的必要条件如下：,称满足上式的点为的驻点或稳定点。,此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：,这是交于Y轴的两个平面。虽然，的点都是函数的极小点，但是当时，偏导数不存在。,综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数不存在的点中产生。因此要求函数的极值，首先要求出所有使偏导数等于零的点（驻点）和偏导数不存在的点。然后考察该点周围函数的变化情况，以进一步判定是否有极值。,如何从驻点中找出极值点，关键在于判定表达式,为此我们考察,当点在附近变动时是否有恒定的符号。,的符号。,设的二阶偏导数连续，且，由泰勒公式有,由于的二阶偏导数连续，所以,记,从而,于是,因为当时，都是无穷小量，所以当,时，存在点的一个邻域，使得的符号与的符号相同，而当，的符号便取决于的符号了。,对于二次型,它的判别式为,实二次型为正定的必要条件是行列式,实二次型为正定的充要条件是矩阵A的顺序主子式都大于零。,实二次型为负定的充要条件是矩阵A的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。,那末有以下结论：,当时，函数有极值；,若，则函数有极大值。,若，则函数有极大值。,当时，函数没有极值；,当时，函数有无极值还需进一步考察判定。,例1求的极值。,解,分别对和求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得的稳定点,再求的二阶偏导数在的值：,因为,且,所以有极小值：,例2讨论是否存在极值。,解,分别对和求偏导数并令其等于零，得方程组,解方程组得的稳定点为原点：,再求的二阶偏导数在的值：,因为,所以无极值。,最大值、最小值问题,设函数在某一有界闭区域中连续且可导，则必在上达到最大值（或最小值）。若这样的点位于区域的内部，那末在这点函数显然有极大值（或极小值）。因此在这种情形，函数取到最大值（或最小值）的点必是极值点之一。然而函数的最大值（或最小值）也可能在区域的边界上达到。因此，为了找出函数在区域上的最大值（或最小值），必需要找出所有有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数极值相比较，这些数值中的最大者（或最小者）就是函数在闭域上的最大值（或最小值）,例3有一块薄铁皮，宽24厘米，把两边折起，做成一槽，求和倾角，使槽的梯形截面的面积最大。,解,槽的梯形截面面积为,问题归结为求的最大值，先求稳定点,解方程组，得符合题意的唯一一组稳定点,由于在这个问题中，最大值必达到，因此当,时，槽的梯形截面积最大，这时截面积为,条件极值：对自变量有附加条件的极值,二条件极值拉格朗日乘数法,求解方程组,解出x,y,z,t即得可能极值点的坐标.,解,则,例4求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为x,y，z.体积为V.,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2),(1)及(3),(2)得,由(2),(1)及(3),(2)得,于是，,代入条件，得,解得