数学分析课件6.2不定积分的计算

【数学分析课件】,1,一、“凑”微分法,例如：,例1.,2.不定积分的计算,【数学分析课件】,2,“凑”微分法:,设法凑成,积分公式,带回x,实质上是一种简单换元积分法.,【数学分析课件】,3,例2.,例3.,【数学分析课件】,4,例4.,例5.,【数学分析课件】,5,二、换元积分法,例6.,【数学分析课件】,6,Theorem:,则,证明：,【数学分析课件】,7,例7.,解：,【数学分析课件】,8,例8.,解：,【数学分析课件】,9,例9.,解：,例10.,解：,【数学分析课件】,10,注：,“凑”微分法与换元积分法比较,“凑”微分法将函数替换为变量：,【数学分析课件】,11,换元积分法将变量替换为函数：,注：对某些函数的不定积分，有时可用不同的方法、不同的函数作变量替换，因之所得结果在形式上可能不相同.,【数学分析课件】,12,例如：,注：积分方法以“化繁为简”为目的.,【数学分析课件】,13,三、分部积分法,or,作不定积分运算,即得,or,称之为分部积分公式.,【数学分析课件】,14,注1.不能直接求,改写,转化,【数学分析课件】,15,解：,例11.,【数学分析课件】,16,例12.,解：,例13.,【数学分析课件】,17,例14.求,解：,【数学分析课件】,18,例15.,解：,联立,解之得：,【数学分析课件】,19,注2.类似的,下列函数,的不定积分常可用分部积分法可得.,注3.使用分部积分法，有时须连续使用若干次；有时使用若干次之后，常会重新出现原来所求的那个积分，从而成为求积分的方程式，解之可得所求积分；有时应特别注意如下情形：,【数学分析课件】,20,将不定积分视为一个数进行运算是错误的,不定积分是原函数的集合.此时,使用分部积分公式还可得到一些有用的递推公式,例如：,【数学分析课件】,21,初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示,如,是非初等函数,即,初等函数的原函数不一定是初等函数.,【数学分析课件】,22,（多项式）,四、有理函数积分法,1.代数的预备知识,设P(x)与Q(x)都是多项式,则有理函数的一般形式是,例如：,【数学分析课件】,23,【数学分析课件】,24,根据代数分项分式定理,有,【数学分析课件】,25,方法一：将()式右端通分，得,方法二：,使用“赋值法”简化对待定系数的求解.,【数学分析课件】,26,例16.,解：,比较两端分子的同次幂系数,得,【数学分析课件】,27,例16.,解：,【数学分析课件】,28,2.有理函数的不定积分,【数学分析课件】,29,Infact,【数学分析课件】,30,【数学分析课件】,31,（分部积分法）,【数学分析课件】,32,【数学分析课件】,33,注2.有理函数总存在初等函数的原函数.,注1.,例16.,解：,【数学分析课件】,34,例17.求,解：,【数学分析课件】,35,例18.求,解：,【数学分析课件】,36,五、其他类型的不定积分,（一）简单无理函数的不定积分,原则：,简单无理函数,变量替换,有理函数,符号R(u,v)表示以u和v为变量的有理函数.,【数学分析课件】,37,积分,有理化,有理化求解.,【数学分析课件】,38,例1.,解：,【数学分析课件】,39,例2.,解：,【数学分析课件】,40,例3.,解：,【数学分析课件】,41,例4.,解：,【数学分析课件】,42,分以下情况考虑：,【数学分析课件】,43,此积分形式同：,或,例5.,解：,【数学分析课件】,44,【数学分析课件】,45,此积分形式同：,或,【数学分析课件】,46,例6.,解：,【数学分析课件】,47,（二）三角函数的不定积分,【数学分析课件】,48,就有,这样就把积分有理化了.从而三角函数R(sinx,cosx)存在初等函数的原函数.,【数学分析课件】,49,例7.,解：,【数学分析课件】,50,例8.,解：,【数学分析课件】,51,关于R(sinx,cosx)具有某种性质时的一些特殊变量替换：,例9.,解：,【数学分析课件】,52,【数学分析课件】,53,例10.,解：,【数学分析课件】,54,例11.,解：,【数学分析课件】,55,【数学分析课件】,56,【数学分析课件】,57,例12.,解：,【数学分析课件】,58,a)含有sin2x或cos2x的奇次幂，此时可由(1)求之；,将被积函数化简,其结果：,b)含有sin2x或cos2x的偶次幂，用上述三角公式化简,化成含sin4x与cos4x的函数，依次类推.,【数学分析课件】,59,例13.,解：,【数学分析课件】,60,解：,利用三角函数的积化和差公式可解.,【数学分析课件】,61,例14.,解：,【数学分析课件】,62,三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为,1、三角函数有理式的积分,五、其它形式的不定积分,【数学分析课件】,63,（万能置换公式）,【数学分析课件】,64,例7求积分,解,由万能置换公式,【数学分析课件】,65,【数学分析课件】,66,例8求积分,解（一）,【数学分析课件】,67,解（二）,修改万能置换公式,令,【数学分析课件】,68,解（三）,可以不用万能置换公式.,结论,比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,【数学分析课件】,69,例9求积分,解,【数学分析课件】,70,【数学分析课件】,71,讨论类型,解决方法,作代换去掉根号.,例10求积分,解令,2.简单无理函数的积分,【数学分析课件】,72,【数学分析课件】,73,例11求积分,解令,说明,无理函数去根