第三章推理几何学2

初等几何与几何教学研究之,云南师范大学,“国培计划中西部初中数学骨干教师培训”,第三章推理几何学(二),推理几何学就是以实验几何的基本概念和基本性质为基础，运用逻辑推理去论证、推演空间其它的性质和解答各种几何问题。项武义,提纲,三、全盛时期数学大师的工作1.圆与角2.球、柱和锥3.圆锥曲线4.欧几里得以后几何学的进展,约在公元前五世纪后半叶，不可公度量的发现奠定了整个推理几何学的理论基础。公元前四世纪和三世纪，古希腊推理几何学进入蓬勃发展的全盛时期，主要的一些研究成果有：,三、全盛时期数学大师的工作,1.圆与角在各种平面形中，三角形最简单、也是最基本的；而圆形则是最对称的，所以圆也是最有用的。对圆的几何性质的研究，在希腊几何学中占有主要地位。（1）圆的定义。圆是平面上和定点的距离等于定长的所有点组成的轨迹。该定点叫做圆心，该定长叫做半径。由此定义可得圆的作法，进而发展出圆规。,人教社编小学数学第11册圆的认识教材设计：圆形物的辨认描圆、画圆、剪圆对折（发现圆的几何特征）：轴对称、中心对称圆中的线段：直径、半径、弦及这些线段的关系圆的画法做一做。,课例,著名特级教师华应龙在教学圆的认识,（2）不共线三点定一圆,（3）同弧的圆周角等于其圆心角之半。（见初等几何研究（第二版）P.19）（4）四点共圆的充要条件是：该四边形对角之和为一个平角。,（5）切线和过切点的半径垂直，圆周角等于弦切角,设l1是过点A且和OA垂直的直线，则由任何直角三角形的斜边恒大于直角边。得知：l1上任何异于A的点y1和圆心O的距离：,即y1一定不在圆O上，因此l1与圆O只有一个交点A，反之l2是过点A但不与OA垂直的任一直线，过点O作l2的垂线OD(D为垂足)，令A为点A关于直线OD的对称点,则称A点在l2上，,即点A在圆O上，或者l2与圆O交于两点A、A，于是，我们证明了，过点A的直线只有和OA垂直的那一条才与圆O交于一点A，即为圆O的切线，也即l1=l.,次证弦切角等于夹角同弧的圆周角。,（6）圆幂定理（参看初等几何研究（第2版）p.116-117例4）设P为圆外一点，由P点向圆任引一截线交圆于A、B两点，则恒有：,图（1）,图（2）,（7）圆周率和圆的面积公式首先，易知所有的圆都是相似的，若两圆半径分别为R1、R2，则它们之间的相似比为R1/R2事实上，如下图，,事实上，如上图，作共顶点O的两个直角三角形OA1B1和OA2B2，其底边为R1与R2，以OA2为轴旋转，即得半径为R1与R2的两个圆，它们分别位于两平行平面1和2上,上述作图说明，两个半径分别为R1、R2的圆可以处于两个平行面上互相投影的位置，由本章2相似形基本定理推论3知，这两个圆相似。既然所有的圆都相似，因此它们的周长与直径之比彼此相等，因而，,.,计算半径为R的圆的面积。,半径为R的圆的周长为2R,例：（两圆的交角）设两圆交于点A，定义它们在该交点有向切线之间的夹角为两圆的交角。试证：两圆正交的充要条件为：,圆和圆的位置关系,C市外国语学校数学组GD老师,2009年12月22日,一、引言,2009年12月22日，“国培计划培训者项目”为参加培训的学员准备的教学观摩课是北师大版课标实验教材九年级下册第三章第6节“圆和圆的位置关系”。承担教学任务的是C市某市级重点中学九年级的G老师，教学对象是该校九年级八班的同学。该校对承担这次教学观摩课的任务特别重视，经选择课题，多次试讲调整教学方案，以探寻如何在课堂教学中去实施有效教学。,二、教材设计,三、教学任务分析,1.本节课主要内容是圆和圆的位置关系。圆和圆的位置关系是圆章节中位置关系的最后一种情况，起着一种归纳总结的作用。本节课是学生在已经掌握了直线和圆的位置关系等知识的基础上，进一步研究平面上两圆的位置关系，是学生对圆的知识应用的基础，也为今后到高中继续研究平面与球的位置关系，球与球的位置关系打下坚实的基础。因此本节课的内容对知识起到了承上启下的作用。,2.圆和圆的位置关系教材处理的方式主要是利用平移实验，让学生从实验入手，采用观察、猜想、概括的方法直观地探索得到圆和圆的五种位置关系，再通过“议一议”这个环节，探索出用两圆圆心距d，半径R和r的数量关系去刻画两圆的五种位置关系。从而实现从感性认识到理性认识的逐步深化。,3.根据本节课的教学内容设计特点，可以将两圆相对运动产生“交点个数”的形成过程及两圆的半径与圆心距的数量关系作为教学重点；教学难点是通过学生动手操作和互相交流探索出圆和圆之间的几种位置关系；及其两圆圆心距d，半径R和r数量关系的过程。,4.教材中的例题,估计有一部分老师对这个题目的几何背景不太清楚。从几何上说TPN实际表示的是图3-32中右图两圆的交角。,（几何中利用两曲线交点处的有向切线表示这两曲线在该点的交角。易知这个交角可用OPO表示，当这个角为90时，称两圆正交。）,教材中放入这个例题，估计一方面是为了拓展学生的知识，另一方面也利用这个例题说明直线与圆的位置关系、圆和圆位置关系的具体应用。但是例题中的条件不明，教师处理起来会感觉到比较难以处理，而且感觉到这个例题似乎会影响对本节课教学重难点的处理。,独立感悟，勇于思考，才能真正做到“温故而知新”，从而成为驾驭学习的主人.,四、教学过程实录,在上课前，教师给出了下面的一段话：,一.复习提问,直线和圆的位置关系有哪几种情况？如何判定?,圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则:,公共点个数,(这个教学环节设计得很有创意，既是对已学过内容的复习,又对今天的探究有提示和迁移的作用。),二、创设情境,圆和圆的位置关系,三.新课讲解,在用课件展示了两个圆的位置关系后，G老师让同学们用准备好的两个圆纸片（半径不等），再次通过平移演示两圆的五种位置关系。G老师作了如下的说明：如果这两个圆的半径相等，则两个圆的位置关系是：相离、外切、相交、重合。（这里，“重合”是两圆的位置关系吗？一般探讨两圆的位置关系时，均回避两圆半径相等的情况，教师这样处理是否合理？而且处理的过程显得比较仓促。教师对两圆的位置关系作了如下的归纳：）,0个,一个,两个,一个,0个,外离,外切,相交,内切,内含,两个不等的圆有五种位置关系：,电视塔,海螺,葡萄丰收了,骑自行车,吹泡泡,这些图形是轴对称图形吗？,两个圆一定组成一个轴对称图形.其对称轴是通过两圆圆心的直线(连心线).,当两圆相切时，切点一定在连心线上.,当两圆相交时，公共弦被连心线垂直平分.,（课后，听课的一部分老师认为这部分的内容是教材中没有的，放在这里显得本节课的信息量过大。还有一部分老师认为，这部分内容可以补充，但是考虑到九年级的同学学习几何主要是要学习用演绎推理的方法对图形进行定性研究，所以既然补充这部分内容，最后能够证明一下。）,如果设两圆的半径分别为和r(Rr),两圆心之间的距离（简称圆心距）为d,则在圆与圆位置不同的情况下d与、r之间有怎样的数量关系？,想一想，议一议,（教师处理“想一想、议一议”的方法是让同学们采用同桌互助的方式进行讨论和交流，教师再板书：外离：dR+r外切：d=R+r相交：R-rdR+r内切：d=R-r内含(包含同心圆的情况)：0dR-r,从课堂现场观察，感觉这部分内容处理得比较快，对为什么要研究两个圆的位置关系，以及怎样研究两个圆的位置关系启发和提示不够，也没有与教学开始时的复习提问形成有效衔接。数学教学是数学思想方法的教学，怎么研究两圆的位置关系呢？就是要比较d、R-r、R+r的关系（相等、小于、大于），这是一个观察思考表述的过程，感觉上教师处理得不够深入。下面教师利用课件再次探究：）,圆心距和两圆半径的数量关系,圆和圆的位置关系及对应的数量关系：,dR+r,d=R+r,R-rdR+r,d=R-r,dR-r,0个,一个,两个,一个,0个,外离,外切,相交,内切,内含,（从听课的现场观察看，学生同桌互助、探究并交流、教师板书，与教师再次用课件探究有重复之处。这一方面浪费时间，另一方面课件与板书怎样配合，是我们一线教师应该考虑的。重复常常是为了强调，可是要考虑方式，避免机械重复。教师通过下面这组练习巩固两圆的位置关系。）,相交,外离,内含,内含,内切,练习,例1：两个圆的半径的比为2:3,内切时圆心距等于8cm,那么这两圆相交时,圆心距d的取值范围是多少?,8cmd40cm,解：,设大圆半径R=3x,小圆半径r=2x,依题意得：3x-2x=8,x=8,R=24cmr=16cm,两圆相交,R-rdR+r,外切d=R+r,相交R-rdR+r,内切d=R-r,内含dR-r,0个,一个,两个,一个,0个,结论1：当两圆相交时，公共弦被连心线垂直平分.2：当两圆相切时,切点一定在连心线上.,(1)若两圆相切,圆心距为10,其中一圆的半径为3,则另一圆的半径是_,7或13,(2)如图,施工工地的水平地面上,有三根外径都是1米的水泥管,两两相切地堆放在一起,则其最高点到地面的距离是.,练习,思考题,某厂的王师傅要在长25cm,宽为18cm的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆.他先画出了如下的草图,但他在求小圆半径时遇到了困难,请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径.,O1,O2,O,25cm,18cm,18cm,解:如图,连结OO1、O1O2、O2O，则OO1O2是等腰三角形.,作OAO1O2，垂足为A，则O1A=O2A.,由图可知大圆的半径是9cm.设小圆的半径为xcm，,在RtOAO1中，依题意，得(9+x)2=(9-x)2+(25-9-x)2.,整理，得x2-68x+256=0.解得x1=4，x2=64.,x2=649，不合题意，舍去.x=4.,答：两个小圆的半径是4cm.,选做题:知识技能第1题.,必做题:随堂练习第1题.,课外作业,不管你是否愿意,数学将无处不在.知识来自生活中仔细的观察与思考、不断的创新和百折不挠的探索与研究.望你们乘上数学之舟，科学之箭，闯荡未来的人生.,评析,在课后的评课中，G老师对本节课的教学设计作了简单地说课：本节课教学设计的指导思想是以学生为中心，多媒体为载体。今天的课，学生活动得比较好。但是，教学内容多了一些，有些地方的处理还不够好。,来自湖北省孝感市教研室、成都市教科院、昆明市五华区教科所、河南省新乡市教研室的四位教研员代表听课的50位老师评课。对本节课肯定性的评价有：教师的教学基本功扎实、教态大方、教案的书写很规范；在进行教学设计时对教材作了较好地分析，体现了用教材教的思想，而且教学目标明确、可操作性强。G老师的课件制作很好，用数量关系表示两圆的位置关系处理得很精彩，例如情境的创设用了日全食配合多媒体的演示，达到了很好的效果。,教学过程流畅，教学各环节的安排合理、衔接紧密；教师对教学语言使用的把握比较好，数学思想方法渗透得比较好。此外教学的重点突出，难点突破比较好，对教学过程一些环节的处理，如概念的强化、提问时的追问、对实际问题的提炼有特色。从G老师教学设计和教学实施看，教学策略到位，表明学校数学教研活动开展得很好，形成了良好的教学团队。,听课的教师也对这节课，提出了一些建议：教学设计对教材的改动比较大，为什么要改动教材，应该做到心中有数。建议G老师对例题、课堂练习和习题的关系，对课件与板书的区别、联系做进一步的思考。本节课的数学思想方法渗透得很好，但是能否在教学时对这些思想方法进行明晰化？虽然教学目标设计明确、可操作性强，但是教学目标的书写却不规范。学生的活动和讨论应该再充分一些。,2.球、柱和锥在古希腊，由于天文学和几何学的进展，不但早已正确的认识到地球是一个球体，而且还相当准确地估计到地球半径的大小。在公元前3世纪，住在埃及亚历山大城（古希腊文明中心之一）的依刺都山尼发现：在夏至正午时分，位于亚历山大城正南方的辛尼城（现为阿斯旺），有一口古井，阳光正射井底而无阴影。在同一时刻，亚历山大城的水井的井壁和阳光之间约有周角的1/50夹角（约72）。,依刺都山尼推导地球半径的示意图,基于大地是球体和太阳光互相平行这个知识，辛尼城和亚历山大城与地球球心的夹角也应该是1/50周角（同位角相等），他再用骆驼队由辛尼城到亚历山大城所走的时间来估计两城的距离（弧长），约为5000希腊里。运用弧长与圆心角之间的公式估计地球的半径为：（5000希腊里50）7270千米该距离与近代人造地球卫星的测量数据6378米，仅差15,（1）球面面积公式的推导约在公元前3世纪，阿基米德证明了：一个半径为R的球面面积为4R2【关键性想法】一个底面半径为R，高为2R的圆柱体的侧面积也是4R2可运用“细分逼近”原理指导球面的面积公式。,【阿基米德的证法】将一个以R为半径的圆和它们两条平行的，长度为2R的切线绕中轴旋转，得一球面和一个高为2R和球相切于“赤道”的圆柱面。,用一组垂直于中轴的平行平面截球面和圆柱面，得两组环状的曲面。平行平面束截圆柱面所得环状曲面剪开后是高为hi，长为2Ri的矩形。平行平面束截面所得的环状曲面是一个球台的表面，,（2）锥体体积公式引言：讨论多面体体积时，最基本的公式是：长方体体积长宽高由此可导出：柱体体积底面积高最基本的问题：三角锥体的体积公式是什么？若知道三角锥体的体积公式，可将任意多面体分割成若干三角锥体来求体积。,【注】平面图形的面积：,在古埃及的实验几何中已知：圆锥的体积1/3同底等高的柱体体积1/3底面积高,阿基米德是怎样证明这个公式呢？基本思路：（1）分割；（2）求和；（3）取极限,【证明】在锥体的情形，用（n-1）个相距h/n为的平行平面将锥截成厚度为h/n的三角台体（第一个仍是锥体），,将上述不等式逐一相加，得：,【证明】将球体分为上、下两半，每半看成个顶点在球心底面在球面上的小锥体的和。结合锥体体积公式和球面面积公式，在极限的情况下，有：,球的体积和表面积,高中数学选修课9.10.2-3,案例,怎样求球的体积?,1.思考,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,实验：排液法测小球的体积,H,小球的体积等于它排开液体的体积,实验：排液法测小球的体积,曹冲称象,假设将圆n等分，则,A2,A1,An,O,A3,回顾圆面积公式的推导,割圆术,早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的“极限”思想。,已知球的半径为R,用R表示球的体积.,2.球的体积,O,R,O,A,球的体积,球的体积,球的体积,定理:半径是R的球的体积,高等于底面半径的旋转体体积对比,阅读材料以及思考题,1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的几倍?2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,求这个球的体积.,课堂练习,8倍,钢球直径是5cm,.,把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?,用料最省时,球与正方体有什么位置关系?,球内切于正方体,侧棱长为5cm,两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.,两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上,球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?,回忆球的体积公式的推导方法,得到启发，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式。,3.球的表面积,球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。,球(即球体):球面所围成的几何体。,它包括球面和球面所包围的空间。,半径是R的球的体积：,球的表面积,第一步：分割,球面被分割成n个网格，表面积分别为：,则球的表面积：,则球的体积为：,球的表面积,第二步：求近似和,由第一步得：,球的表面积,第三步：化为准确和,如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥,球的表面积,球的表面积是大圆面积的4倍,R,1.地球和火星都可以看作近似球体，地球半径约为6370km，火星的直径约为地球的一半。求地球的表面积和体积；火星的表面积约为地球表面积的几分之几？体积呢？,课堂练习,解：,（1）,（2）,例1.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.,证明:,(2),例2.如图，已知球O的半径为R,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，求证：,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O切于这个正方体的六个面，则有R=,(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍。(2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍。(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是。(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是。(5)若两球表面积之差为48,它们大圆周长之和为12,则两球的直径之差为。,题组一:,题组二:,1.一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）,A3,B4,C,D6,2.若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切。求球的表面积。,小结：,（1）有关球和球面的概念。,（2）球的体积公式：球的表面积公式：,（3）用“分割-求近似和-化为准确和”的数学方法推出了球的体积和表面积公式：,（4）球的体积公式和表面积的一些运用。,作业,习题9.10第5，6，7，8题,3.圆锥曲线古希腊的几何学不但对圆、球、柱、锥进行研究，而且还对其它多种曲线如椭圆、抛物线、双曲线等进行研究，并取得了杰出的成果。关于椭圆、抛物线、双曲线等等性质的研究工作，首推公元前四世纪的孟奈奇姆和公元前三世纪的阿波罗尼。,（1）圆柱与椭圆将一条直线绕另一条和它平行的直线旋转，得一圆柱面，用一个不与旋转轴垂直的平面去截圆柱面，截口曲线是一个椭圆。问题：如何描述椭圆的几何特性呢？补充知识：球幂定理,设想从圆柱上、下方各放入一个和圆柱面等于半径的球，两球碰到斜截平面后受阻力影响不再运动，上球切斜截面于点F1，下球切斜截面于点F2.上、下球面与圆柱面的截口曲线是圆C1和圆C2.在椭圆上任取一点P，柱面上过点P的母线分别交圆C1和圆C2于点Q1和Q2，于是：,椭圆性质的推导示意图,（2）圆锥与圆锥曲线,圆锥曲线是我们生活中常见的曲线，她兼具曲线美和对称美，被人们称之为世间最美的线条。,宇宙中也存在着圆锥曲线，太阳系中九大行星及其卫星都是椭圆，而彗星运动轨道分椭圆，双曲线形，和抛物线形，例如著名的哈雷彗星，平均每隔76年我们就可以观测一次。,圆锥曲线,设l1、l2是相交于点O的两条直线，l2绕l1旋转得圆锥面，用不过点O的平面去截面锥面，所得截口曲线称为圆锥曲线。设半锥顶角为，截平面和旋转轴l1的交角为（锐角），则时，截线为椭圆；=时，截线为抛物线；0时，截面和圆锥面两叶都相交，截线为双曲线。,设圆锥面的母线与轴所成的角为，截面与轴所成的角为通过观察可以发现，当/2，0，=时，我们可以得到三种不同形状的曲线：,（3）圆锥曲线的性质依然作一个上切球和圆锥面相切于圆C，和割平面相切于点F1。作一个下切球和圆锥面相切于圆C2和割平面相切于点F2，设P是截线上任一点，连直线OP，交圆C1、C2于点Q1、Q2，,椭圆的性质,古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切(切点分别为F1，F2)，又分别与圆锥面的侧面相切(两球与侧面的公共点分别构成圆C1和圆C2)过P点作圆锥面的一