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常微分方程数值解法,1,欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法欧拉法的收敛性龙格库塔方法、线性多步法、预估校正法*。一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*,2,第十二讲主要知识点,3,问题的提出,在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。这里着重讨论一阶方程初值问题,的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，其基本思想是完全一样的解初值问题有多种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题的数值解法，就是寻求方程的解,在自变量,的一系列离散节点上的近似值。,4,问题的提出(续1),初值问题,相邻两节点间的距离称为步长，通常在计算上采用相等的步长，这时等距节点，初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的求出。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。,5,问题的提出(续2),6,问题的提出(续3),将微分方程两端从,到,积分，得,这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解,利用各种求积公式就可以得到一些求,的近似公式。,差商方法,7,Euler方法(推导2）,数值积分方法,8,Euler方法,数值积分方法,9,Euler方法(续),向后差商,10,隐式Euler方法,中心差商,11,二步Euler方法,12,梯形公式,梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式Euler方法的算术平均。梯形公式的精度为二阶。例：用梯形公式求下列初值问题的解在,13,梯形公式(续),改进的Euler方法为Euler方法和梯形公式的结合，也称作预估-校正法。,14,改进的Euler方法,嵌套形式,15,改进的Euler方法(续1),16,改进的Euler方法(续2),称一种数值方法是p阶的，如果其局部截断误差为。Euler方法和隐式Euler方法的精度是一阶的。二步Euler方法的精度是二阶的。,17,局部截断误差,改进的Euler方法也可写成,18,龙格-库塔方法,19,二阶龙格-库塔方法,要使二阶方法的局部截断误差为，四个系数值应满足下列关系式：,20,二阶龙格-库塔方法(续1),特例1：,21,二阶龙格-库塔方法(续2),特例2：,22,二阶龙格-库塔方法(续3),23,三阶龙格库塔方法,24,四阶龙格库塔方法,25,例题分析,26,两点说明,27,变步长的龙格库塔方法,28,公式,29,线性多步法,30,线性多步公式的导出,31,线性多步公式的导出(续1),32,线性多步公式的导出(续2),33,线性多步公式的导出(续3),34,线性多步公式的导出(续4),35,线性多步公式,36,常用的线性多步公式,37,常用的线性多步公式(续),38,利用数值积分方法求线性多步公式,39,利用数值积分方法求线性多步公式(续1),40,利用数值积分方法求线性多步公式(续2),41,利用数值积分方法求线性多
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